Kugelkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:16 Sa 23.02.2008 | | Autor: | ebarni |
| Aufgabe | | Aus der Kugel [mm] x^{2}+y^{2}+z^{2} < 4R^{2}[/mm] wird der Kreiszylinder [mm] x^{2}+y^{2} < R^{2}[/mm] ausgebohrt. Berechnen Sie das Volumen des Restkörpers. Verwenden Sie Kugelkoordinaten! |
Hallo zusammen, also ich habe mal eine Skizze gemacht:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Nun soll man Kugelkoordinaten verwenden, also [mm] r,\Phi,\Theta.
[/mm]
Laut Skript ist die Vollkugel mit den Kugelkoordinaten folgendermaßen definiert:
[mm]G = [(r,\Phi,\Theta)^{T}|0
Nun habe ich ein Problem, das auf meinen Fall zu übertragen.
r und [mm] \Phi [/mm] sind mir klar. Nämlich
Für r: R<r<2R
Für [mm] \Phi: -\pi<\Phi<\pi
[/mm]
Nun ist mir nicht klar, welche Grenzen sich für [mm] \Theta [/mm] ergeben, also
[mm] -??<\Theta<+??
[/mm]
Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar, viele Grüße, Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 Sa 23.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo subclasser, danke für deinen post, ich werde es so mal ausprobieren!
Grüße, Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:11 So 24.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo, also ich hab das mal so gerechnet (habe [mm] \Theta [/mm] von [mm]-\bruch{\pi}{2}<\Theta<\bruch{\pi}{2}] [/mm] laufen lassen, da kommt aber ein anderes Ergebnis heraus als im Skript.
Wenn ich mir das betrachte:
[Dateianhang nicht öffentlich]
dreht es sich ja um das rot markierte Bogenmaß, d.h. ich brauche die Länge der roten Markierung als Angabe im Bogenmaß.
Wie erhalte ich die?
Für eure Hilfe bereits im Voraus vielen Dank!
Viele Grüße, Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Andreas!
Ich habe im letzten Post eine Hohlkugel berechnen wollen. Tschuldigung dafür! Hoffentlich kann ich dir jetzt ein wenig mehr helfen. Mir ist leider nicht ganz klar, das Volumen welchen Körpers du berechnen sollst. Ich habe auch einmal eine Skizze angefertigt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Falls du tatsächlich einen Zylinder ausschneiden sollst, müsstest du auch den oberen und unteren blauen Bereich beachten. Ansonsten erhälst du meiner Meinung nach keinen Zylinder mit einem Kreis als Grundfläche , sondern mit abgerundeten Enden (ein Art Leuchtturm). In diesem Fall kannst du auch ohne Kugelkoordinaten das Volumen des Restkörpers einfach berechnen. Mit dem Satz von Pythagoras bekommst du die Höhe des Zylinders und kannst dann das Volumen einfach von dem der Kugel abziehen und du bist fertig (vergl. Skizze). Willst du es trotzdem mit Kugelkoordinaten machen, geht es ähnlich wie im zweiten Fall:
Ist deine Skizze richtig, dann erhälst du voneinander abhängige Integralgrenzen. Ist [mm] $\theta [/mm] > [mm] \frac{\pi}{6}$, [/mm] so musst du über alle Radien aufsummieren, deren Projektion auf die x-Achse größer als R ist (vergl. Skizze). Ich würde dafür nur die obere Halbkugel berechnen und das Ergebnis verdoppeln, weil du sonst unten [mm] $\theta$ [/mm] analog einschränken müsstest. Der Inhalt müsste sich dann folgendermaßen berechnen lassen:
$$I = 2 * [mm] \int_{0}^{2\pi}{\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}}{\int_{\frac{R}{\sin \theta}}^{2R}{r^2*\sin \theta \ dr \ } d\theta \ } d\phi} [/mm] $$
Hoffentlich stimmt's jetzt 
Gruß!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 So 24.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo Stephan, vielen Dank für Deine ausführliche Antwort!
Sorry für meine späte Antwort, aber ich bin erst jetzt wieder nach Hause gekommen.
Jetzt muss ich mir erst mal in Ruhe anschauen, was Du geschrieben hast, ob es mir dann klar ist.
Danke vorerst mal, ich melde mich auf jeden Fall nochmal!
Viele Grüße, Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:19 Mo 25.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo Stephan, ich habe mir aufgrund Deiner Skizze folgendes überlegt:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Falls du tatsächlich einen Zylinder ausschneiden sollst,
> müsstest du auch den oberen und unteren blauen Bereich
> beachten.
Also den oberen und unteren blauen Bereich muss ich nicht beachten.
Wenn ich auf Deiner Skizze vom Viertelkreis die [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] abziehe, so komme ich doch dann auf mein Theta von
[mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] - [mm] \bruch{\pi}{6} [/mm] = [mm] \bruch{\pi}{3}
[/mm]
Insgesamt habe ich also:
Mein r läuft von R < r < 2R
Mein Phi läuft von [mm] -\pi [/mm] < [mm] \Phi [/mm] < [mm] \pi
[/mm]
Mein [mm] \Theta [/mm] läuft von [mm] -\bruch{\pi}{3} [/mm] < [mm] \Theta [/mm] < [mm] \bruch{\pi}{3}
[/mm]
Und mein Volumen ergibt sich zu
$ I = [mm] \int_{R}^{2R} \int_{-\pi}^{\pi} \int_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}}{r^{2}cos\theta \ d\theta \ d\phi \ dr}$
[/mm]
wobei [mm] r^{2}cos\theta [/mm] die Transformationsdeterminante ist.
Was meinst Du?
Viele Grüße, Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:36 Mo 25.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Überlegungen sind richtig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mo 25.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo leduart, vielen Dank für Deine Anmerkung!
ich habe jetzt mal gerechnet und habe meine Rechnung mal als pdf-Dokument angehängt.
Das Ergebnis unterscheidet sich allerdings von dem im Skript was herauskommen soll.
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Kannst Du mal meine Rechnung kontrollieren, ob ich mich an einer Stelle verrechnet habe?
Das wäre Nett, vielen Dank.
Viele Grüße, Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hallo, Andreas!
Deine Rechnungen sind meiner Meinung nach richtig. Meiner Meinung nach stimmen aber die Integralgrenzen nicht. Die beiden Winkelbereiche sind in Ordnung (du trägst nur [mm] $\theta$ [/mm] anders auf, dafür ändert sich dann die Funktionaldeterminante).
Ich kann aber mit euch nicht darüber übereinstimmen, dass $r$ unabhängig von [mm] $\theta$ [/mm] ist. Du willst schließlich einen Zylinder (mit einem Kreis als Grundfläche und gerundeten Enden  ) ausschneiden.
Schau' dir dazu noch einmal die Skizze an. Wir wollen uns einmal nur die linke Berandung für $r = R$ anschauen. Für die verschiedenen Werte von [mm] $\theta$ [/mm] erhälst du für gleichbleibendes $r$ ein Kreisfragment. Du schneidest also eine gewölbte Figur (mit einem Bauch in der Mitte) aus deiner Kugel. Wir wollen jetzt einmal den senkrechten Schnitt abfahren (wie immer linker, oberer Viertelskreis). Wenn wir jetzt [mm] $\theta$ [/mm] von der horizontalen x-Achse messen, müssen wir für wachsendes [mm] $\theta$ [/mm] den anfänglichen Radius von $r = R$ erhöhen, um auf der senkrechten Schnittlinie zu bleiben, bis wir für [mm] $\theta [/mm] = [mm] \frac{\pi}{3}$ [/mm] bei $r = 2R = [mm] \frac{R}{\cos \frac{\pi}{3}}$ [/mm] angelangt sind.
Deswegen sollten die Grenzen, wie oben von mir geschrieben, voneinander abhängen.
Eine zweite Meinung wäre hierzu aber nicht schlecht .
Wir werden diese Aufgabe schon noch meistern,
Stephan
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Hallo Andreas!
Ich gebe dir mal eine Art Schritt für Schritt Anweisung, dann kannst du genau da einhaken, wo du meinen Erklärungen nicht folgen kannst. Am besten arbeitest du parallel mit Papier und Stift.
1) Schau' dir noch einmal meine Skizze an. Wir müssen über den blau schraffierten Bereich (vergl. meine Skizze) integrieren (außer dem Bereich oben und unten), da dieser NICHT herausgeschnitten wurde.
2) Wir werden das ganze jetzt nur zweidimensional, also in Polarkoordinaten $(r, [mm] \theta)$ [/mm] machen (also wie in der Skizze). Wir schauen nur den rechten Halbkreis an. Den linken bekommen wir dann durch die Rotation um die y-Achse (und damit das Volumen des Rotationskörpers, dazu später mehr).
3) Wir sind uns einig, dass uns nur der Bereich [mm] $-\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{\pi}{3}$ [/mm] interessiert (wenn wir [mm] \theta [/mm] wie du von der x-Achse aus abtragen).
4) Nun zeichne einen Punkt im gültigen Winkelbereich beliebig ein und zeichne die Strecke vom Ursprung des Koordinatensystems zu diesem Punkt ein.
5) Nun gibt es ja zwei Möglichkeiten: der Punkt liegt im blauen Bereich (er liegt im Integrationsbereich) oder er liegt nicht im blauen Bereich, ist also Teil des Zylinders, der herausgeschnitten wird.
6) Wann liegt der Punkt im blauen Bereich? Genau dann, wenn die x-Koordinate des Punktes größer gleich als $R$ ist. Die x-Koordinate lautet in Polarkoordinaten aber $x = [mm] r*cos(\theta)$.
[/mm]
7) Damit muss [mm] $r*cos(\theta) \ge [/mm] R$ gelten oder äquivalent $r [mm] \ge \frac{R}{\cos \theta}$ [/mm] (*). Beachte, dass [mm] $\cos \theta$ [/mm] für die Einschränkung aus 3) nicht Null wird.
8) Damit haben wir die Abhängigkeit zwischen unseren beiden Koordinaten gefunden! Der Ausdruck in (*) wird für [mm] $\theta [/mm] = 0$ minimal = R und für [mm] $\theta [/mm] = [mm] \pm \frac{\pi}{3}$ [/mm] maximal = 2R. Aber es gilt $r = [mm] r(\theta)$! [/mm] Das habe ich oben gemeint.
9) Also können wir das Integral jetzt angeben. [mm] $\phi$ [/mm] besitzt von den beiden anderen Koordinaten unabhängige Integrationsgrenzen und somit können wir jetzt das Volumen ausrechnen (evtl. auf die Grafik klicken um eine größere Darstellung zu erhalten):
$$V = [mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{-\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{3}} \integral_{\frac{R}{\cos \theta}}^{2R} r^2\cos \theta [/mm] \ dr \ [mm] d\theta [/mm] \ [mm] d\phi$$
[/mm]
10) Ausrechnen, und hoffen, dass das richtige Ergebnis herauskommt . Beachte, dass [mm] $\frac{d}{dx} \tan [/mm] x = [mm] \frac{1}{\cos^2 x}$
[/mm]
Viel Erfolg,
Stephan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mo 25.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn dus nicht so kompliziert hinschreibst hast du eine Summe von Integralen: einmal (Konstanten weggelassen) über [mm] cos\Theta [/mm] einmal über [mm] 1/cos^2\Theta
[/mm]
Denk dran (tanx)'=1/cos^2x
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mo 25.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hi leduart, alles klar jetzt kann ich mal drauf los rechnen.
Danke und viele Grüße!
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Di 26.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo Stephan, hallo leduart,
vielen Dank für eure liebe Unterstützung.
Ich habe jetzt mal mit den neuen Grenzen gerechnet und mein Ergebnis ist:
Volumen = [mm] 4\wurzel{3} \pi R^3
[/mm]
Meinen Rechenweg habe ich als pdf-datei mal mitgepostet.
Datei-Anhang
Wäre schön, wenn ihr mal drüber sehen könntet und mir ein feedback geben.
Viele Grüße und vielen Dank!
Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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Hallo Andreas!
Deine Rechnung scheint richtig zu sein. Kommt jetzt auch das Gewünschte heraus?
Gruß,
Stephan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:41 Di 26.02.2008 | | Autor: | ebarni |
Hallo Stephan,
ja das tut es. Deine "Anleitung" ist wirklich perfekt!
Vielen Dank noch Mal und viele Grüße nach Ulm!
Andreas
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![[]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ad/Spherical_coordinate_surfaces.png){kind=small}
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ad/Spherical_coordinate_surfaces.png![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]"){kind=small}
