Kugeln auf Fächer verteilen < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:52 Di 15.11.2016 | | Autor: | Paivren |
Hallo ihr,
kurze Aufgabe, bei der ich hängen bleibe:
Gegeben sind r ununterscheidbare Kugeln und n Fächer.
Dann gibt es [mm] \vektor{n+r-1 \\ n-1} [/mm] Möglichkeiten, die Kugeln auf die Fächer zu verteilen.
Bei n Fächern hat man (n-1) Fächergrenzen (zum Beispiel die Seitengrenzen von n nebeneinander liegenden Schubladen).
Diese Fächergrenzen muss man nun auf die Anzahl der möglichen Plätze verteilen. Anscheinend gibt es n+r-1 verschiedene Plätze, aber ich hab keine Ahnung, wie man darauf kommt.
Man weiß ja gar nicht, ob in jedem Fach mindestens eine Kugel liegen muss, oder ob es mehr Kugeln als Fächer gibt etc.
Jemand einen Tipp?
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Beispiel:
Verteile 20 ununterscheidbare Kugeln auf 8 Fächer. Wieviele Mgl. gibt es?
Die Mgl. unterscheiden sich nur dadurch, dass sich die Anzahl der Kugeln in den Fächern ändert.
Male 20+8-1 = 27 Kästchen hintereinander (1. Reihe).
[Dateianhang nicht öffentlich]
Markiere davon 8-1=7 Kästchen. (2. bzw. 3. Reihe).
Dadurch bleiben genau 20 Kästchen unmarkiert, die durch die 7 markierten in 8 Bereiche getrennt werden. In der zweiten Zeile entfallen auf diese Bereiche der Reihe nach
2,2,0,6,2,3,2,3 unmarkierte Felder = Kugeln, in der dritten Zeile stattdessen
0,8,7,0,0,3,2,0 Kugeln.
Die Zahlenfolgen sagen dir, wie viele Kugeln im 1., 2.,..., 8. Fach liegen sollen. Nun Gilt:
Jeder Veränderung der Markierungen entspricht eine veränderte Verteilung auf die 8 Fächer, und umgekehrt kann man zu jeder Verteilung der 20 Kugeln auf die 8 Fächer genau eine eindeutige Markierung mit 7 markierten Feldern angeben.
Also gibt es genau so viele Mgl., wie es Markierungsmöglichkeiten gibt, also [mm] \vektor{27 \\ 8}. [/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 Mo 21.11.2016 | | Autor: | Paivren |
Vielen Dank für deine Ausführung,
nur am Ende sind es 27 über 7, nicht über 8, nicht wahr?
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Ja klar. Habe zum Schluss nicht aufgepasst - aber du!
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