Kugeln in einer Urne < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Wir betrachten eine Urne mit höchstens $N$ Kugeln. Sei [mm] $X_n$ [/mm] die Anzahl der Kugeln in der Urne nach $n$-maliger Durchführung des folgenden Verfahrens: Falls die Urne nicht leer ist, wird eine Kugel entnommen und durch Münzwurf entschieden, ob sie zurückgelegt wird oder nicht. Falls die Urne leer ist, wird durch Münzwurf entschieden, ob sie leer bleibt oder mit $N$ Kugeln neu gefüllt wird. Beschreiben Sie diese Situation als Markovkette und bestimmen Sie die Übergangsmatrix. Wie ist [mm] $X_n$ [/mm] für $n [mm] \in [/mm] N$
verteilt? |
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Als der Professor die Übergangsmatrix erklärt hat, war ich krankheitshalber abwesend und kann darum leider keinen eigenen Ansatz vorweisen, obwohl man in solchen Foren immer zuerst sagen sollte, was man versucht hat und wie weit man gekommen ist. Das bin ich mir bewusst.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=556637
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:06 Mo 25.05.2015 | | Autor: | chrisno |
Wikipedia hilft, ich versuche es auch ein wenig.
Du hast einen Zustand vorher, als Vektor gegeben. Dann passiert etwas und ein neuer Zustand ist entstanden. Der wird wieder als Vektor dargestellt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit was passiert, steht in der Übergangsmatrix.
Ausgangszustand ist $0 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] N$ Kugeln in der Urne. Das schreibe ich Vektor, mit dem Beispiel N = 5 und k = 3: [mm] $X_0 [/mm] = (0; 0; 1; 0; 0; 0)$
Mit p = 0,5 bleibt dieser Zustand, also [mm] $X_1 [/mm] = [mm] X_0$ [/mm] und mit p = 0,5 wird daraus
[mm] $X_1 [/mm] = (0; 0; 0; 1; 0; 0)$.
Nun schreib eine Matrix, die das Ergebnis [mm] $X_1 [/mm] = (0; 0; 0,5; 0,5; 0; 0)$ erzeugt, wenn [mm] $X_0$ [/mm] mit ihr multipliziert wird. Dann bau sie so aus, dass sie für jeden möglichen Startvektor das entsprechende Ergebnis erzeugt.
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