Kugelradius und -mittelpunkt < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:39 Mo 31.01.2011 | | Autor: | a-c |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes und den Radius der Kugel, die A (0/0/8), B(0/24[mm] \wurzel{3} [/mm]/8), C (-36/ 12 [mm] \wurzel{3} [/mm]/ 8) und D (-12/ 12[mm] \wurzel{3} [/mm]/ 41) enthält.
KOntrollergebnisse: M(-12/ 12[mm] \wurzel{3} [/mm]/ [mm] \bruch{347}{22} [/mm]) ; r=[mm] \bruch{555}{22} [/mm] |
Aus vorangegangenen AUfgaben muss ich noch folgende Anmerkungen machen:
Die Punkte A,B und C beschreiben ein gleichseitiges Dreieck und haben den Schwerpunkt S (-12/ 12 [mm] \wurzel{3} [/mm]/8).
D ist der PUnkt, der 33m oberhalb von S liegt.
Leider bin ich gerade etwas planlos und hätte gerne einen kleinen Denkanstoß, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll.
Vielen Dank im Voraus!
a-c
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:16 Mo 31.01.2011 | | Autor: | Walde |
Hi a-c,
du kennst sicher die allgemeine Form der Punkte X, die auf der Kugel mit Mittelpunkt M und Radius r liegen:
[mm] (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{m})^2=r^2
[/mm]
Wenn du die vier Punkte einsetzt, hast du vier Gleichungen mit vier Unbekannten. Sollte aufzulösen sein, könnte aber viel zu rechnen sein.
Anderer Ansatz, der evtl. einfacher zu rechnen ist:man bedenkt, dass der Mittelpunkt der Kugel von allen drei Ecken des Dreiecks gleichweit entfernt sein muss. Dann muss er genau über/unter dem Schwerpunkt liegen (weils ein gleichseitiges Dreieck ist), also irgendwo auf einer Geraden g, die durch S und D läuft. Die kannst du schonmal aufstellen.
Zusätzlich müssen ja alle Abstände der Kugelpunkte vom Mittelpunkt gleich sein,du musst also nur einen Punkt [mm] $M\in [/mm] g$ finden, für den zB. gilt [mm] |\overrightarrow{MD}|=|\overrightarrow{MA}|.
[/mm]
LG walde
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:38 So 06.02.2011 | | Autor: | weduwe |
ich würde überwiegend die trigonometrie bemühen.
mit der höhe des gleichseitigen 3ecks h = 36 und [mm] 2\cdot r_U= [/mm] 48 als sehne und d = 33 hat man:
[mm] tan\alpha=\frac{r_U}{d}=\frac{24}{33}
[/mm]
[mm] x=\frac{r_U}{ tan2\alpha} [/mm] und [mm] r=\frac{r_U}{ sin2\alpha}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OS}+x\cdot\vektor{0\\0\\1}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:44 So 06.02.2011 | | Autor: | weduwe |
eine vektorielle alternative:
schneide die zu AD senkrechte ebene durch den mittelpunkt von AD mit der zu z = 8 senkrechten geraden durch S
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