Kurve - Polarkoordinaten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:24 Di 24.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Es sei [mm] \gamma [/mm] eine ebene Kurve welche folgende Parametrisierung in Polarkoordinaten besitzt: [mm] \rho(\eta) [/mm] = [mm] \eta²+1 [/mm] mit [mm] 0\le\eta\le2\pi. [/mm]
Finden sie den Tangenten- und Normal-versor auf dem Rand von [mm] \gamma [/mm] im Punkt [mm] \gamma(\pi) [/mm] und schreiben sie die Gleichung der Tangente in diesem Punkt |
Hallo alle zusammen.
Also ich hatte mich an dieses Beispiel herangewagt und gehofft es wäre einfach, jedoch war dem irgendwie nicht so.
Hier mein Lösungsansatz:
Also die Kurve ist so eine Art Schnecke, startend bei 1 und verläuft dann im UZS nach ausen. Im Punkt [mm] \pi [/mm] haben wir folgenden Funktionswert: [mm] \pi²+1.
[/mm]
Also am ehesten kann ich mir die Tangente in diesem Punkt herleiten durch eine Ableitung welche in der Steigung der Tangente resultieren sollte:
[mm] \partial\eta [/mm] = [mm] 2\eta
[/mm]
Aber ich sehe hier keinen Ansatz das irgendwie in einer parametrisierten Form auszudrücken. Die Tangene geht durch den Punkt [mm] \pi, [/mm] ok. Mein Versuch wäre dann:
T:= [mm] \vektor{\pi \\ \pi²+1} [/mm] + t* [mm] \vektor{2 \\ 1}
[/mm]
Wahrscheinlich kommt man auf die Tangente indem man zuerst Normalversor und Tangentenversor berechnet, deshalb betrachte ich nun einmal diese:
Beim Tangenten - Normalversor habe ich ein kleines Problem, und zwar:
Der Versor wird ja so definiert:
[mm] \bruch{xe1 +ye2}{\wurzel(x²+y²)} [/mm] oder in unserem Fall
[mm] \bruch{2\pi}{Laenge},\bruch{\pi²+1}{Laenge}
[/mm]
Die Länge ist welche mir fehlt. Ich hätte auch einen Lösungsansatz dafür, nur fehlt mir die Vertiefung. Man könnte doch die Länge durch ein Kurvenintegral berechnen, oder? Welches zwischen 0 und pi verläuft und auf der Funktion [mm] \gamma [/mm] durchgeführt wird. Nur ob man hierbei das richtige Ergebnis herausfindet ist mir ein Rätsel.
Vielleicht könnt ihr mir helfen
Dankeschön
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:48 Di 24.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
0. Auf deutsch heissen die Dinger Vektoren, die offensichlich auf it. versor heissen.
1. du brauchst doch nicht den Einheitsvektor der Tangente, um die Gerade darzustellen. Gerade ist gegeben durch Punkt [mm] +\alpha*Richtungsvektor.
[/mm]
kannst du denn die Tangente finden, wenn c gegeben ist durch s(t)=(x(r,t),y(r,t)? dann machs doch so.
dein [mm] \rho=r [/mm] dein [mm] \mu=t
[/mm]
[mm] dein\prtial [/mm] t=2t ist nichts sinnvolles! [mm] \partial r/\partial [/mm] t=2t was gibt das an? die Änderung von r, wenn ich in Richtung t gehe! zeichne das mal für ein vergrößertes [mm] \Delta [/mm] t ein!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Di 24.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo
> 0. Auf deutsch heissen die Dinger Vektoren, die
> offensichlich auf it. versor heissen.
Nein, Vektor = Vettore - Versor = Versore ( Bsp: Versor i,j,k welches Einheitsvektoren der x,y,z Achsen sind, so habe ich mir das jedenfalls übersetzt)
> 1. du brauchst doch nicht den Einheitsvektor der Tangente,
> um die Gerade darzustellen. Gerade ist gegeben durch Punkt
> [mm]+\alpha*Richtungsvektor.[/mm]
> kannst du denn die Tangente finden, wenn c gegeben ist
> durch s(t)=(x(r,t),y(r,t)? dann machs doch so.
Ich nehme an mit "c" meinst du den Punkt [mm] \gamma(\pi)?
[/mm]
Die Koordinaten wären ja nicht das Problem, somit wäre ja der Punkt gefunden; nun fehlt mir eben [mm] \alpha*Richtungsvektor. [/mm] Der Richtungsvektor besitzt ja die gleiche Steigung wie die Ableitung der Funktion in diesem Punkt (soweit kein Problem, nur in diesem Fall ist meine Funktion parametrisiert, was mir mein Problem bereitet)
> dein [mm]\rho=r[/mm] dein [mm]\mu=t[/mm]
> [mm]dein\prtial[/mm] t=2t ist nichts sinnvolles!
Wie kommst du jetzt auf [mm] \rho?
[/mm]
[mm]\partial r/\partial[/mm]
> t=2t was gibt das an? die Änderung von r, wenn ich in
> Richtung t gehe! zeichne das mal für ein vergrößertes
> [mm]\Delta[/mm] t ein!
Also in Richtung t das wäre im UZS. Also der Vektor würde ja nach ausen Zeigen, da sich r ja ändert und das ins positive, also größer wird. Dieser Vektor würde ja in diesem Fall auch parallel zu der Strecke ds auf [mm] \gamma [/mm] stehen welcher von dt definiert wird. Somit wäre das ja die Steigung der Tangente, oder nicht? Wäre das dann nicht, so wie ich geschrieben habe [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] ?
Dankeschön
lg und schönen Abend
Zuggel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Di 24.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Tangentialvektor ist falsch.
so wie du schreibst, gilt der Tangentialvektor für (x(t),y(t)
dann ist ein Tangentialvektor (x'(t),y'(t)) oder [mm] e_x*x'(t)+e_y*y'(t)
[/mm]
Wenn du den Einheitsvektor willst noch durch den Betrag.
Deine Kurve ist gegeben durch [mm] (r(t),\phi(t)) [/mm] mit [mm] \phi(t)=t, r(t)=t^2+1 [/mm] dazu gehören die Einheitsvektoren [mm] e_r [/mm] und [mm] e_\phi
[/mm]
und der Tangentialvektor in dem System wäre [mm] e_r*r'(t)+r*e_{\phi}*\phi'(t) [/mm] hier mit [mm] \phi'(t)=1 [/mm] r'=2t
Aber wie willst du die Tangente in Polarkoordinaten beschreiben? Geraden beschreibt man besser in kartes , also x,y Koordinaten:
also [mm] \vec{x}=(r(t)*cost,r(t)*sint)^T [/mm] mit [mm] r(t)=t^2+1, [/mm] dein gegebener Punkt, [mm] (-(\pi^2+1),0) [/mm] und die Tangente :
[mm] (\pi^2+1,0) [/mm] +d/dt [mm] (\vec{x(\pi)})
[/mm]
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Mi 25.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
Hallo leduart, Danke für deine Antwort. Ich habe noch einige Fragen dazu:
> Hallo
> Dein Tangentialvektor ist falsch.
> so wie du schreibst, gilt der Tangentialvektor für
> (x(t),y(t)
> dann ist ein Tangentialvektor (x'(t),y'(t)) oder
> [mm]e_x*x'(t)+e_y*y'(t)[/mm]
> Wenn du den Einheitsvektor willst noch durch den Betrag.
> Deine Kurve ist gegeben durch [mm](r(t),\phi(t))[/mm] mit
> [mm]\phi(t)=t, r(t)=t^2+1[/mm] dazu gehören die Einheitsvektoren
> [mm]e_r[/mm] und [mm]e_\phi[/mm]
> und der Tangentialvektor in dem System wäre
> [mm]e_r*r'(t)+r*e_{\phi}*\phi'(t)[/mm] hier mit [mm]\phi'(t)=1[/mm] r'=2t
Wieso haben wir hier [mm] r*\phi'(t)*e_{\phi} [/mm] und nicht [mm] \phi'(t)*e_{\phi}, [/mm] es wird ja hier die Änderung des Winkels ausgedrückt und nicht die Änderung der Strecke auf der Kurve. Oder liege ich falsch damit, dass hier die Änderung der Strecke auf der Kurve angegeben wird?
Ich hatte mir das zwar aufgezeichnet, aber ich habe wohl nur die Resultierende angeschaut und nicht aufgesplittet in [mm] e_{r} [/mm] und [mm] e_{\phi}
[/mm]
> Aber wie willst du die Tangente in Polarkoordinaten
> beschreiben? Geraden beschreibt man besser in kartes , also
> x,y Koordinaten:
> also [mm]\vec{x}=(r(t)*cost,r(t)*sint)^T[/mm] mit [mm]r(t)=t^2+1,[/mm] dein
> gegebener Punkt, [mm](-(\pi^2+1),0)[/mm] und die Tangente :
> [mm](\pi^2+1,0)[/mm] +d/dt [mm](\vec{x(\pi)})[/mm]
[mm] cos(\pi)=-1 [/mm] , [mm] sin(\pi)=0
[/mm]
Somit die Tangente:
[mm] \vektor{\pi²+1 \\ 0}+\alpha*[(2t)*cost-(t²+1)*sint,(2t)sint+(t²+1)cost]
[/mm]
in [mm] \pi: [/mm]
[mm] \vektor{-(\pi²+1) \\ 0}+\alpha*[-(2\pi+1),-(\pi²+1)]
[/mm]
Oder in kartesischen Koordinaten:
[mm] y=\bruch{\pi²+1}{2\pi}x+\bruch{(\pi+1)²}{2\pi}
[/mm]
Für den Versor müsste ich durch den Betrag dividieren, wie meintest du das? Ich müsste die Länge von [mm] r(\pi) [/mm] wissen, oder? Wäre das [mm] \wurzel(\pi²+1)?
[/mm]
Danke
lg
Zuggel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Mi 25.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Den Einheitsvektor brauchst du doch nicht! heisst der versor? versuch hier die deutschen Begriffe zu verwenden, ich kann nur ein Minimum an Reiseit.
> Wieso haben wir hier [mm]r*\phi'(t)*e_{\phi}[/mm] und nicht
> [mm]\phi'(t)*e_{\phi},[/mm] es wird ja hier die Änderung des Winkels
> ausgedrückt und nicht die Änderung der Strecke auf der
> Kurve. Oder liege ich falsch damit, dass hier die Änderung
> der Strecke auf der Kurve angegeben wird?
[mm] \phi' [/mm] gibt die Änderung von [mm] \phi [/mm] an, unabhängig von r.
aber in dem Polarkoordinatensystem sind ja [mm] e_r,e_{\phi} [/mm] vom Ort abhängig.
Wie willst du [mm] \phi' [/mm] irgendwie einzeichnen, das ist ja keine Länge!
> Ich hatte mir das zwar aufgezeichnet, aber ich habe wohl
> nur die Resultierende angeschaut und nicht aufgesplittet in
> [mm]e_{r}[/mm] und [mm]e_{\phi}[/mm]
>
>
>
> [mm]cos(\pi)=-1[/mm] , [mm]sin(\pi)=0[/mm]
>
> Somit die Tangente:
>
> [mm]\vektor{-(\pi²+1) \\ 0}+\alpha*[(2t)*cost-(t²+1)*sint,(2t)sint+(t²+1)cost][/mm]
>
> in [mm]\pi:[/mm]
>
> [mm]\vektor{-(\pi²+1) \\ 0}+\alpha*[-(2\pi+1),-(\pi²+1)][/mm]
Ein Fehler, richtig:
[mm]\vektor{-(\pi²+1) \\ 0}+\alpha*[2\pi,-(\pi²+1)][/mm]
> Oder in kartesischen Koordinaten:
>
> [mm]y=\bruch{\pi²+1}{2\pi}x+\bruch{(\pi+1)²}{2\pi}[/mm]
auch falsch.
> Für den Versor müsste ich durch den Betrag dividieren, wie
> meintest du das? Ich müsste die Länge von [mm]r(\pi)[/mm] wissen,
> oder? Wäre das [mm]\wurzel(\pi²+1)?[/mm]
Du brauchst ihn nicht, solltest aber einfach sehen, dass [mm] /r(\pi)|=\pi^2+1 [/mm] ist!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:50 Do 26.06.2008 | | Autor: | Zuggel |
> Hallo
> Den Einheitsvektor brauchst du doch nicht! heisst der
> versor? versuch hier die deutschen Begriffe zu verwenden,
> ich kann nur ein Minimum an Reiseit.
Ich verusche eig. schon immer den korrekten dt. Ausdruck zu verwenden, mir war jedenfalls bis jetzt immer geläufig, dass es im deutschen Versor heist und nicht Einheitsvektor. Entschuldige.
>
>
> > Wieso haben wir hier [mm]r*\phi'(t)*e_{\phi}[/mm] und nicht
> > [mm]\phi'(t)*e_{\phi},[/mm] es wird ja hier die Änderung des Winkels
> > ausgedrückt und nicht die Änderung der Strecke auf der
> > Kurve. Oder liege ich falsch damit, dass hier die Änderung
> > der Strecke auf der Kurve angegeben wird?
> [mm]\phi'[/mm] gibt die Änderung von [mm]\phi[/mm] an, unabhängig von r.
> aber in dem Polarkoordinatensystem sind ja [mm]e_r,e_{\phi}[/mm] vom
> Ort abhängig.
> Wie willst du [mm]\phi'[/mm] irgendwie einzeichnen, das ist ja
> keine Länge!
> > Ich hatte mir das zwar aufgezeichnet, aber ich habe
> wohl
> > nur die Resultierende angeschaut und nicht aufgesplittet in
> > [mm]e_{r}[/mm] und [mm]e_{\phi}[/mm]
> >
> >
> >
> > [mm]cos(\pi)=-1[/mm] , [mm]sin(\pi)=0[/mm]
> >
> > Somit die Tangente:
> >
> > [mm]\vektor{-(\pi²+1) \\ 0}+\alpha*[(2t)*cost-(t²+1)*sint,(2t)sint+(t²+1)cost][/mm]
>
> >
> > in [mm]\pi:[/mm]
> >
> > [mm]\vektor{-(\pi²+1) \\ 0}+\alpha*[-(2\pi+1),-(\pi²+1)][/mm]
> Ein
> Fehler, richtig:
> [mm]\vektor{-(\pi²+1) \\ 0}+\alpha*[2\pi,-(\pi²+1)][/mm]
> > Oder in
> kartesischen Koordinaten:
> >
> > [mm]y=\bruch{\pi²+1}{2\pi}x+\bruch{(\pi+1)²}{2\pi}[/mm]
> auch falsch.
So ist es jedenfalls auch in der Lösung gestanden, mit welcher ich mein Ergebnis abgeglichen hatte.
> > Für den Versor müsste ich durch den Betrag dividieren, wie
> > meintest du das? Ich müsste die Länge von [mm]r(\pi)[/mm] wissen,
> > oder? Wäre das [mm]\wurzel(\pi²+1)?[/mm]
> Du brauchst ihn nicht, solltest aber einfach sehen, dass
Doch ich brauche ihn, da er gefragt ist in der Aufgabenstellung. Die Lösung für den von mir als "Normal-Versor" oder ich denke richtig ausgedrückt den "Betrag des Normalvektors" wäre:
[mm] \bruch{-2\pi}{\wurzel(\pi^{4}+6*\pi²+1)},-\bruch{\pi²+1}{\wurzel(\pi^{4}+6*\pi²+1)}
[/mm]
Und ich frage mich eben, wie man auf [mm] \wurzel(\pi^{4}+6*\pi²+1), [/mm] das müsste ja die Länge von "irgendetwas" sein, durch welche ich dividiere...
lg
Zuggel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Do 26.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Der Betrag des Vektors (a,b) ist doch [mm] \wurzel{a^2+b^2}
[/mm]
dein Tangentenvektor ist [mm] (-2\pi [/mm] , [mm] -(\pi^2+1)) [/mm] also sein Betrag genau das was deine Wurzel sagt. und nen Einheitsvektor ist immer Vektor/|Vektor|
In deiner Lösung ist vielleicht nur ein Schreibfehler:
du hast
$ [mm] y=\bruch{\pi²+1}{2\pi}x+\bruch{(\pi+1)²}{2\pi} [/mm] $
ich habe
$ [mm] y=\bruch{\pi²+1}{2\pi}x+\bruch{(\pi^2+1)²}{2\pi} [/mm] $
Hier noch ne Zeichnung, warum der Tangentenvektor durch [mm] r'+r*\phi' [/mm] bestimmt wird![Dateianhang nicht öffentlich]
Gruss leduart
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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