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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 So 09.12.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Betrachte die Kurve f : [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR^2
[/mm]
f(t) := [mm] (t^2 [/mm] -1, [mm] t^3-t)
[/mm]
Es gilt [mm] f(\IR) [/mm] = [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 : y^2 = x^3 +x^2 \} [/mm] |
Die Stelle stammt aus einem Buch..
Wie kommt man auf [mm] f(\IR) [/mm] = [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 : y^2 = x^3 +x^2 \}?
[/mm]
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Hallo,
> Betrachte die Kurve f : [mm]\IR[/mm] -> [mm]\IR^2[/mm]
> f(t) := [mm](t^2[/mm] -1, [mm]t^3-t)[/mm]
> Es gilt [mm]f(\IR)[/mm] = [mm]\{ (x,y) \in \IR^2 : y^2 = x^3 +x^2 \}[/mm]
>
> Die Stelle stammt aus einem Buch..
> Wie kommt man auf [mm]f(\IR)[/mm] = [mm]\{ (x,y) \in \IR^2 : y^2 = x^3 +x^2 \}?[/mm]
Es ist offensichtlich [mm] x=t^2-1 [/mm] und [mm] y=t^3-t [/mm] für alle [mm] t\in\IR.
[/mm]
Eliminiere nun t von x(t) oder t von y(t) und setze es in die andere Gleichung ein, so erhältst du eine Gleichung y(x) und insbesondere die gegebene Funktion [mm] y^2 [/mm] = [mm] x^3 +x^2
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:47 So 09.12.2012 | | Autor: | sissile |
Hallo,danke
"darf ich das " aber auch umstellen wegen den impliziten Funktionensatz?
x= [mm] t^2 [/mm] -1
<=> t = [mm] \sqrt{x+1}
[/mm]
y= [mm] (x+1)^{3/2} [/mm] - [mm] (x+1)^{1/2}
[/mm]
?
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Hallo,
Es ist
[mm] x=t^2-1 \gdw t^2=x+1 [/mm] (1)
[mm] y=t^3-t=t(t^2-1)=tx
[/mm]
Quadriert ergibt sich [mm] y^2=t^2x^2\stackrel{(1)}=(x+1)x^2
[/mm]
Also direkt [mm] y^2=x^3+x^2, [/mm] genauso, wie verlangt.
Man schreibt ja lediglich eine parametrisierte Kurve, wieder um in eine Funktion y(x).
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