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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 So 05.02.2006 | | Autor: | Kesandal |
| Aufgabe | Bestimme die Nullstellen sowie Extremstellen im Intervall 0 kleiner-gleich t kleiner-gleich 4:
f(t) = [mm] \bruch{1}{2}e^{-2t+3} [/mm] * sin(2t) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
könnt Ihr mir bitte helfen bei der folgenden Funktion die Nullstellen und Extremwerte zu bestimmen ?
Komme einfach nicht weiter. =/
Danke im vorraus,
Kesa
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Hallo,
um die Nullstellen zu bestimmen musst du dir überlegen wann die f(t) gleich Null ist. Und das ist der Fal wenn entweder der exponentialteil Null wird, sonder der Sinusteil. Von der e-funktion wissen wir aber, dass sie nie Null wird. Also setze sin(2t)=0.
Das Sinus eine periodische Funktion ist, für die gilt sin 0=0, und die Periode pi ist, erhält man für die Nullstellen tnull=0+n(pi/2) für n [mm] \in \IN.
[/mm]
(denk daran, das die Sin-Fkt pro Periode zwei NST hat, darum pi/2)
und jetzt leite mal die Funktion ab.
Viele Grüße,
//Sara
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:44 So 05.02.2006 | | Autor: | Kesandal |
Das Ableiten ist bei mir das Problem :(
Ich weiß das beim Ableiten Konstanten wegfallen. Wenn ich das richtig sehe ist [mm] \bruch{1}{2} [/mm] eine Konstante.
Also bleibt [mm] e^{-2t+3} [/mm] * sin(2t) übrig.
Jetzt müsste ja eigentlich die Summenregel zum Einsatz kommen.
D.h. f ' (x) = u'v + u v'
Habe jedoch Probleme mit dem [mm] e^{-2t+3}
[/mm]
Ich weiß nur das f(x) = e , f'(x) = e ist..
Danke im vorraus ...
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ok, ableiten musst du natürlich üben.
das [mm] \bruch{1}{2} [/mm] kannst du natürlich nicht einfach weglassen. Aber die Regel die du geschrieben hast, auch wenn sie Profuktregel heißt) ist richtig.
Also musst du einmal [mm] \bruch{1}{2}e^{-2t+3} [/mm] ableiten. Die Regel dafür müsstet ihr doch schon in der Schule gehabt haben, ließ nochmal nach.
Mit einfachen Worten ausgedrückt, leitest du den Exponenten -2t+3 ab, das ist -2, und schreibst die Ableitung des Exponenten vor eine Ausgangsfunktion.
Dann steht da: -2* [mm] \bruch{1}{2}e^{-2t+3} [/mm] und das kannst du noch kürzen.
Hast du das soweit verstanden?
Um den Sinusterm abzuleiten braucht man eigentlich die Verkettung, obwohl da hier noch sehr einfach ist. Sinus abgeleitet ergibt den Cosinus, nachfifferenziert mit der inneren Funktion kommt raus: 2cos(2t).
Jetzt hast du beide Teile einzeln abgeleitet, und kannst die Produktregel anwenden.
Nochmal zusammen gefasst:
u= [mm] \bruch{1}{2}e^{-2t+3}
[/mm]
[mm] u'=-e^{-2t+3}
[/mm]
v=sin(2t)
v'=2cos(2t)
Was ist also die erste Ableitung der Kompletten Funktion?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 So 05.02.2006 | | Autor: | Kesandal |
Die Ableitung sollte dann wie folgt lauten:
f ' (x) = = [mm] -e^{-2t+3} [/mm] * sin(2t) + [mm] \bruch{1}{2}e^{-2t+3} [/mm] * cos(2t)
Im Zusammenfassen bin ich ganz schlecht :D
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Am Ende hast du eine 2 bei dem Cosinus Term vergessen.
Jezt musst du das ganze zum leichteren weiterrechnen noch zusammen fassen. Du kannst zum beispiel erst mal [mm] e^{-2t+3} [/mm] ausklammern.
Dann steht da: [mm] e^{-2t+3}*(cos(2t)-sind(2t))
[/mm]
Du sollst ja eine Kurvendiskusion machen oder? Dann brauchst du für die Extrema noch eine Ableitung, und für die Wendepunkte sogar die dritte.
Berechne mal die zweite Ableitung, indem du wieder die Produktregel anwendest. Und versuche das dann auch gleich zusammen zufassen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 So 05.02.2006 | | Autor: | Kesandal |
f'(x) = [mm] e^{-2t+3}*(cos(2t)-sin(2t))
[/mm]
u = [mm] e^{-2t+3}
[/mm]
u' = [mm] -2e^{-2t+3}
[/mm]
v= (cos(2t)-sin(2t))
v'=(-sin(2t)-cos(2t)) => v'=(sin(2t)+(cos(2t)) (?)
d.h.
f''(t) = [mm] -2e^{-2t+3} [/mm] * (cos(2t)-sin(2t)) + [mm] e^{-2t+3} [/mm] * (sin(2t)+(cos(2t))
Ist das so richtig ?
Beim Zusammenfassen scheiter ich wieder :(
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nein, es ist nicht richtig abgeleitet.
der exponentialteil ist richtig, den hatten wir vorhin ja schon gemacht. Aber bei dem trigonometrischen (sind und cos) hast du vergessen den Term mit der Inneren Ableitung zu multiplizieren.
cos(2t) abgeleitet ist -sin(2t) multipliziert in der Ableitung von 2t.
also -2sin(2t). klar?
also ist cos(2t)-sin(2t) abgeleitet -2sin(2t)-2cos(2t)
for die zweite Ableitung der Ausgangsfunktion ergibt sich:
[mm] f''(t)=-2*e^{-2t+3}*(cos(2t)-sin(2t))-2*e^{-2t+3}*(sin(2t)+cos(2t))
[/mm]
das ganz kannst du wieder vereinfachen, indem du [mm] -2*e^{-2t+3} [/mm] ausklammerst. Dann kürzen sich die Sinusterme weg, und es bleibt:
[mm] f''(t)=-2*e^{-2t+3}*(2cos(2t)).
[/mm]
Um jetzt die Extrempunkte auszurechnen, musst du die zweite Ableitung Null setzten. Wann wird die zweite Ableitung Null?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 So 05.02.2006 | | Autor: | Kesandal |
Soweit verstehe ich alles .
Jedoch kann ich einen Schritt bei Dir nicht nachvollziehen.
Die Formel heißt ja: f'(x) ) u' v + u v'
u' = [mm] -2\cdot{}e^{-2t+3}
[/mm]
v = (cos(2t)-sin(2t))
u= [mm] e^{-2t+3}
[/mm]
v'= (-2sin(2t) -2cos(2t)) bzw. (-2sin(2t)+2cos(2t))
Müsste es nicht so heißen
[mm] f''(t)=-2\cdot{}e^{-2t+3}\cdot{}(cos(2t)-sin(2t))+ e^{-2t+3}\cdot{}(sin(2t)+cos(2t))
[/mm]
anstatt
[mm] f''(t)=-2\cdot{}e^{-2t+3}\cdot{}(cos(2t)-sin(2t))-2\cdot{}e^{-2t+3}\cdot{}(sin(2t)+cos(2t))
[/mm]
So wie ich das sehe hast Du für u = [mm] -2\cdot{}e^{-2t+3} [/mm] genommen
Die Zweite Ableitung wird Null wenn ich (2cos(2t)) = 0 setze.
Oder ?
Gruß,
Kesa
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ich verstehe deine problem nicht.
genau wie du habe ich als Terme der Produktregel
[mm] u=e^{-2t+3} [/mm] also u'= [mm] -2*e^{-2t+3}
[/mm]
v=(cos(2t)-sin(2t)) also v'=(-2sin(2t) -2cos(2t))
warum hast du bei v' eigentlich 2 Varianten? es gibt nur eine!
nach der Produktregel u'*v + u*v' folgt:
[mm] f''(t)=-2*e^{-2t+3}*(cos(2t)-sin(2t)) [/mm] + [mm] e^{-2t+3}*(-2sin(2t) [/mm] -2cos(2t))
jetzt den exponentialtherm ausgeklammert:
[mm] f''(t)=e^{-2t+3}*( [/mm] -2*(cos(2t)-sin(2t)) -2sin(2t) -2cos(2t) )
nun kann man noch die -2 ausklammern und es folgt:
[mm] f''(t)=-2*e^{-2t+3}*( [/mm] cos(2t) - sin(2t) + sin(2t) + cos(2t) )
- sin(2t) + sin(2t) haben sich gegenseitig auf, und es folgt:
[mm] f''(t)=-2*e^{-2t+3}*( [/mm] cos(2t) + cos(2t) ).
cos(2t) + cos(2t) = 2cos(2t) und damit hast du die zweite Ableitung, die ich dir schon gesagt hatte.
Ich denken du hast bei v' wieder das nachdifferenzieren vergessen, Obwohl du es hier richtig hin geschrieben hast.
Um die Extrema zu Berechnen muss die tweite Ableitung Null werden, und das ist der Fall wenn 2cos(2t) Null wird. (Denn die e Funkton kann ja nicht Null werden. Ist dir das klar?)
Jetzt musst du dir überlegen wie die Cos-Fkt aussieht, an welchen Stellen sie im allgemeinen Null ist, und wann das hier bei der speziellen der Fall ist.
Zur Kontrolle ob du einen Hochpunkt oder einen Tiefpunkt hast, musst du auch noch die dritte Ableitung machen.
Zur Kontrolle:
[mm] f'''(t)=8*e^{-2t+3}*( [/mm] cos(2t) - sin(2t) ).
Lass den Kopf nicht hängen und beiß dich durch!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:47 So 05.02.2006 | | Autor: | Kesandal |
Langsam komm ich mir blöd vor bei meinen Fragen :(
Naja. muss ich durch ;)
Vielen Dank aber für Deine Mühe !
Wollt gleich die dritte Ableitung bilden...
[mm] f''(t)=-2*e^{-2t+3}*( [/mm] 2cos(2t))
Demnach ist ja
u = [mm] -2*e^{-2t+3}
[/mm]
v = 2cos(2t)
Ist also folgendes richtig ?
u' = [mm] 4*e^{-2t+3}
[/mm]
v' = -4sin(2t)
=>
[mm] f'''(t)=4*e^{-2t+3}* [/mm] (2cos(2t) [mm] -2*e^{-2t+3}*( [/mm] -4sin(2t))
Ist das dann soweit auch richtig ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:04 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kesandal!
Deine 3. Ableitung stimmt soweit. Du kannst hier aber noch [mm] $8*e^{-2t+3}$ [/mm] ausklammern zu:
$f'''(t) \ = \ [mm] 8*e^{-2t+3}*\left[\cos(2t)+\sin(2t)\right]$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 So 05.02.2006 | | Autor: | Kesandal |
Bin jetzt ein bischen durcheinander :)
Hab hier zwei Lösungen:
Deine:
$f'''(t) \ = \ [mm] 8*e^{-2t+3}*\left[\cos(2t)+\sin(2t)\right]$ [/mm]
Von kampfsocke:
$f'''(t) \ = \ [mm] 8*e^{-2t+3}*\left[\cos(2t)-\sin(2t)\right]$ [/mm]
Was stimmt denn jetzt ? =/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:13 So 05.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kesandal!
Wo hast du denn plötzlich die zweite Lösung mit dem Minuszeichen her? Das ist doch oben bei Dir richtig, da Du beim zweiten Term zwei Minuszeichen hast, die zum Pluszeichen werden.
Richtig ist jedenfalls: [mm]f'''(t) \ = \ 8*e^{-2t+3}*\left[\cos(2t)+\sin(2t)\right][/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 Mo 06.02.2006 | | Autor: | kampfsocke |
oh ja! Asche auf mein Haupt, ich hab beim zusammenfassen einen fehler gemacht!
Loddar hat natürlich recht!
//Sara
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