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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 So 05.09.2004 | | Autor: | Ute |
Ich muss die Funktion f(x)= x³/ x² - 1 auf Symmetrie, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte untersuchen.
Außerdem muss ich den Definitionsbereich bestimmen.
Ich habe bis jetzt nur herausgefunden, dass die Funktion punktsymmetrisch ist.
Wie setze ich die Funktion denn null? Bzw. was klammere ich dann aus, oder kann man die pq-Formel anwenden, um die Nullstellen rauszukriegen?
Um die Éxtrema rauszukriegen, leite ich die Funktion ab und setze dies dann gleich 0.
f'(x)= 3x² * x² -1 - x³ * 2x / [mm] x^4 [/mm] + 1
Stimmt das?
Aber wie setze ich den Bruch =0?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:51 So 05.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo Ute!
Hier nochmal die Funktion:
[mm] $f(x)=\frac{x^3}{x^2-1}$
[/mm]
Symmetrie:
Das hast du schon richtig erkannt, die Funktion ist punktsymmetrisch.
Nullstellen:
Willst du die Nullstellen ausrechnen, so musst du den Funktionsterm mit Null gleichsetzen - das kennst du ja.
Also:
$f(x)=0$
[mm] $\gdw \frac{x^3}{x^2-1}=0$
[/mm]
Wenn du einen Bruch hast, der Null ergeben soll, dann muss dafür der Zähler schonmal Null sein:
[mm] $\gdw x^3=0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x=0$.
Wichtig ist nun noch, dass du prüfst, ob der Nenner für den errechneten $x$-Wert ungleich Null ist. Genau dann hast du
eine Nullstelle gefunden. Wenn der Nenner ebenfalls Null ist, dann lautet der Funktionswert an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] nämlich [mm] $\frac{0}{0}$, [/mm] was undefiniert ist.
Setzt du also $0$ in den Nennerterm [mm] $x^2-1$ [/mm] ein, so erhältst du [mm] $-1\not=0$. [/mm] Damit liegt die einzige Nullstelle der Funktion bei $0$.
Extremstellen:
Deine Ableitung stimmt nicht ganz.
Nach der Quotientenregel [mm] ($f(x)=\frac{u(x)}{v(x)} \Rightarrow f'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{v^{2}(x)}$) [/mm] ergibt sich:
[mm] $f'(x)=\frac{3x^2\cdot (x^2-1)-x^3\cdot 2x}{(x^2-1)^2}=\frac{3x^4-3x^2-2x^4}{(x^2-1)^2}$
[/mm]
Den Bruch musst du nun wieder mit Null gleichsetzen - und, wie bei den Nullstellen schon erwähnt, reicht es vorerst, wenn du den Zähler
gleich Null setzt. Du erhältst also:
[mm] $x^4-3x^2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2(x^2-3)=0$
[/mm]
Ein Produkt ist genau dann Null, wenn einer der beiden Faktoren gleich Null ist.
Also
1.)
[mm] $x^2=0$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] x=0$
2.)
[mm] $x^2-3=0$
[/mm]
[mm] $\gdw x^2=3$
[/mm]
[mm] $\gdw x=\pm\sqrt{3}$
[/mm]
Wir prüfen den Nenner und stellen wieder fest, dass keine Konflikte auftreten.
Nun muss noch die zweite ableitung gebildet werden, um die Extremstellen prüfen zu können (Extremstelle dann, wenn $f'(x)=0$ und [mm] $f''(x)\not= [/mm] 0$).
Die zweite Ableitung folgt wieder aus der Quotientenregel. Ich schreibe nur das Ergebnis auf, du kannst dann ja selber nachrechnen:
[mm] $f''(x)=\frac{2\cdot x\cdot (x^2+3)}{(x^2-1)^3}$.
[/mm]
Setzen wir nun die erste potentielle Nullstelle [mm] $x_{0}=0$ [/mm] in die zweite Ableitung ein, so stellen wir fest, dass diese Null ist. D.h. also, an der Stelle $0$ befindet sich kein Extrem-, sondern ein Sattelpunkt.
Wendepunkte:
Ich weiß, ich habe dir schon einiges vorgerechnet. Aber möchtest du nun zum Schluss versuchen, die Nullstellen der zweiten Ableitung eigenständig auszurechnen?
Ich hoffe, dass ich dir soweit geholfen habe.
Gruß,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 So 05.09.2004 | | Autor: | Ute |
Ich verstehe nicht, wie man auf die zusammengefasste 1. Ableitung kommt.
Und warum darf man den Nenner nicht ausklammern zu [mm] x^4 [/mm] + 1 ?
Bei der ersten Ableitung hast du auch geschrieben, dass man wieder den Zähler =0 setzt. Der Zähler ist aber doch [mm] 3x^4 [/mm] - 3x² - [mm] 2x^4 [/mm] ? Oder wurde das irgendwie zusammengefasst, wenn ja, wie?
Bei den Wndepunkten muss ja die zweite Ableitung =0 und die dritte ungleich Null sein.
Ist die zweite Ableitung
[mm] f''(x)=(12x³-6x-8x³)*(x²-1)^4 [/mm] - [mm] (3x^4 [/mm] -3x² - [mm] 2x^4) [/mm] * (4x³) / (x² - [mm] 1)^4 [/mm]
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:09 So 05.09.2004 | | Autor: | Fry |
Hallo Ute !
> Ich verstehe nicht, wie man auf die zusammengefasste 1.
> Ableitung kommt.
Was verstehst du denn nicht ? Er hat doch sogar die Quotientenregel hingeschrieben, einfach die Funktionen samt Ableitungen einsetzen und du hast sie !
> Und warum darf man den Nenner nicht ausklammern zu [mm]x^4[/mm] + 1
> ?
Nach der binomischen Formel [mm] (a-b)^2=a^2-2*a*b+b^2 [/mm] gilt: [mm] (x^2-1)^2=x^4-2x^2+1
[/mm]
> Bei der ersten Ableitung hast du auch geschrieben, dass man
> wieder den Zähler =0 setzt. Der Zähler ist aber doch [mm]3x^4[/mm] -
> 3x² - [mm]2x^4[/mm] ? Oder wurde das irgendwie zusammengefasst, wenn
> ja, wie?
Also: [mm] 3x^4-3x^2-2x^4=x^4-3x^2
[/mm]
3 Äpfel - 3 Bananen - 2 Äpfel = 1 Apfel - 3 Bananen :)
> Bei den Wndepunkten muss ja die zweite Ableitung =0 und die
> dritte ungleich Null sein.
> Ist die zweite Ableitung
> [mm]f''(x)=(12x³-6x-8x³)*(x²-1)^4[/mm] - [mm](3x^4[/mm] -3x² - [mm]2x^4)[/mm] * (4x³)
> / (x² - [mm]1)^4[/mm]
> ?
>
Meine lautet: [mm] \bruch{6(x^2+1)(x^2-1)^3-(2x^3+6x)(x^2-1)}{(x^2-1)^6}
[/mm]
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Mo 06.09.2004 | | Autor: | Ute |
danke für deine Antwort. Ich habe alles verstanden bis auf die 2. Ableitung.
Naja, vielleicht erfahre ich den Weg dahin morgen im Unterricht 
Liebe Grüße,
Ute
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