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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:55 Mi 08.09.2004 | | Autor: | Marie |
Ich war leider 8 Monate im Ausland und habe die ganze reihe zur Kurvendiskussion nicht mitbekommen.. :(( und jetzt hab ich wieder schule nur mir fällt gar nix dazu ein:
f(x)= [mm] -1/3x^4 [/mm] + [mm] 4/3x^3 [/mm] - 7
a) Berechne alle möglichen Extrema und Wendepunkte und zeige, dass die Tangente in P(0 / -7 ) parallel zur x-Achse verläuft.
b) Gibt es eine Stelle x0 (0 unten) ist Element von R derart, dass die tangente an den Graphen die Steigung m=5 1/3 hat ?
Ich wäre euch soooooooooo dankbar wenn ihr mir helfen könntet!!!
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Mi 08.09.2004 | | Autor: | Youri |
Hallo Marie!
> Ich war leider 8 Monate im Ausland und habe die ganze reihe
> zur Kurvendiskussion nicht mitbekommen.. :(( und jetzt hab
> ich wieder schule nur mir fällt gar nix dazu ein:
Willkommen im Matheraum erstmal! 
>
> f(x)= [mm]-1/3x^4[/mm] + [mm]4/3x^3[/mm] - 7
>
> a) Berechne alle möglichen Extrema und Wendepunkte und
> zeige, dass die Tangente in P(0 / -7 ) parallel zur x-Achse
> verläuft.
So - weisst Du denn schon, was Extrema und Wendepunkte sind?
Ich geb Dir mal die Vorgehensweise vor... dann kannst Du schonmal loslegen, und wir sehen, wo Deine Probleme liegen 
1.) Erste und zweite Ableitung bestimmen.
2.) Die Nullstellen der ersten Ableitung sind die "möglichen" Extremstellen.
Das überprüfst Du dann, indem Du die ermittelten x-Werte in die zweite
Ableitung einsetzt.
3.) Die Nullstellen der zweiten Ableitung sind die "möglichen" Wendestellen.
4.) Zur Tangente: Die Tangente an eine Funktion in einem bestimmten Punkt hat die selbe Steigung, wie die eigentliche Funktion in demselben Punkt. Nun ist in der Aufgabenstellung vorgegeben, dass die Tangente parallel zur X-Achse verläuft...
Kannst Du DIr vorstellen, was das für die Steigung bedeutet?
> b) Gibt es eine Stelle x0 (0 unten) ist Element von R
> derart, dass die tangente an den Graphen die Steigung m=5
> 1/3 hat ?
Hier musst Du ganz ähnlich vorgehen.
Die Steigung der Funktion kannst Du generell mit der ersten Ableitung bestimmen.
Um den Punkt zu finden, in dem die Steigung m= 5 1/3 beträgt, setzt Du die erste Ableitung mit diesem Wert gleich - und stellst nach x um.
Also:
[mm] f(x)= -1/3x^4 + 4/3x^3 - 7[/mm]
[mm] f'(x) = 4* (-1/3)*x³ + 3*4/3x² [/mm]
[mm] f'(x) = - 4/3 *x³ + 4* x²[/mm] <= erste Ableitung
Und nun gleichsetzen mit der gesuchten Steigung:
[mm] f'(x) = -4/3*x³ + 4*x² = 5 1/3 [/mm]
Jetzt nach x umstellen...
DAnn hast Du die gesuchte Stelle, an der die Steigung vorliegt.
Versuch Dich doch erstmal an den Tips - bestimme die Ableitungen, die möglichen Extrempunkte, und den in b) gesuchten Wert -
Bin auf Deine Vorschläge gespannt.
Lieben Gruß,
Andrea.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:34 Mi 08.09.2004 | | Autor: | Marie |
das hat mir schon sehr geholfen..also hab ich gleich angefangen zu rechnen aber jetz ist da das problem mit den nullstellen..
die erste ableitungsfunktion ist ja f(x)= - 4/3x³ + 4x² aber wie bestimme ich da die nullstellen?? Mit p q Formel geht das doch nicht weil es nur für quadratische gleichungen geht oder??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mi 08.09.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Marie!
Du kannst hier aber [mm] $x^2$ [/mm] ausklammern!
Gruß,
Hanno
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 18:55 Mi 08.09.2004 | | Autor: | Marie |
ohh ja!!!
sind dann die Extremstellen 0 und -1 ?? und dabei -1 das rel.Maximum? und die Nullstellen bzw Wendepunkte dann 2 und 0 ??
aber wie zeigt man denn das P ( 0 / -7 ) parallel zur x-Achse verläuft? muss man das dann irgendwo einsetzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:17 Mi 08.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Marie!
> sind dann die Extremstellen 0
Dies ist zumindestens eine Nullstelle der ersten Ableitung. Aber ist es dadurch unbedingt schon ein Extremum? Wenn ja, warum? Wenn nein, was muss ich dann noch überprüfen? Ist das hier erfüllt? Und jetzt? Versuche mal meine Fragen zu beantworten oder dir zumindestens Gedanken dazu zu machen und dich dann wieder zu melden.
> und -1 ??
Das definitiv nicht. Wir haben doch zu lösen:
[mm] $x^2 \cdot \left( - \frac{4}{3}x + 4 \right)$.
[/mm]
Wie kommst du da auch $-1$? Versuche es bitte noch einmal. Du musst doch nur noch
[mm] $-\frac{4}{3} [/mm] x + 4=0$
nach $x$ auflösen.
> und dabei -1 das
> rel.Maximum? und die Nullstellen bzw Wendepunkte dann 2
> und 0 ??
Letzters stimmt, ja. Wir haben ja:
$f''(x) = [mm] -4x^2 [/mm] + 8x$
und
$0= [mm] -4x^2 [/mm] + 8x = x [mm] \cdot [/mm] (-4x+8)$
wird gelöst durch $x=0$ oder $x=2$.
Dies sind wegen
$f'''(x)=-8x+8$,
also:
$f'''(0) = 8 [mm] \ne [/mm] 0$,
$f'''(2)= -8 [mm] \ne [/mm] 0$,
Wendestellen.
> aber wie zeigt man denn das P ( 0 / -7 ) parallel zur
> x-Achse verläuft? muss man das dann irgendwo einsetzen?
Was bedeutet es denn, dass die Tangente in $P(0/-7)$ parallel zur $x$-Achse verläuft? Das bedeutet, dass die Steigung der Tangente gleich $0$ ist. Und ich meine mal gehört zu haben, dass die Steigung was mit der ersten Ableitung zu tun hat. Kann das sein? Versuche es mal...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mi 08.09.2004 | | Autor: | Marie |
hmm stimmt! die zweite nullstelle ist 3 und diese ist ein rel. maximum (eingesetzt in die zweite ableitungsfunktion und dabei kommt heraus -12, denn es gilt doch: f' (x0)=0 und f''(x0)<0 = maximum ) oder?
mit dem Punkt komm ich immernoch nich zurecht.. ich hab jetzt die steigung der tangente mit der ersten ableitungsfkt. gleichgesetztund dabei x= o erhalten aber was soll ich denn mit 0 / -7 anfangen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:06 Mi 08.09.2004 | | Autor: | Andi |
> hmm stimmt! die zweite nullstelle ist 3 und diese ist ein
> rel. maximum (eingesetzt in die zweite ableitungsfunktion
> und dabei kommt heraus -12, denn es gilt doch: f' (x0)=0
> und f''(x0)<0 = maximum ) oder?
Das ist richtig. Denn wenn die zweite Ableitung bei [mm] x_0 [/mm] kleiner als Null, also nEgativ ist, dann ist sie in diesem punkt rEchts gekrümmt. Was bedeutet, dass es sich um einen Hochpunkt handelt.
Du kannst dir das mit der Krümmung so vorstellen, dass du mit dem Fahrad von links nach rechts auf dem Graphen fährst, wenn du den Lenker nach rechts einschlagen muss um auf dem Graphen zu bleiben, dann ist der Graph dort rechtsgekrümmt.
> mit dem Punkt komm ich immernoch nich zurecht.. ich hab
> jetzt die steigung der tangente mit der ersten
> ableitungsfkt. gleichgesetztund dabei x= o erhalten aber
> was soll ich denn mit 0 / -7 anfangen??
Wenn du die Steigung der Tangente an einem Punkt des Graphen bestimmen willst (oder sollt ) dann musst du den x-wert des Punktes in die erste Ableitung einsetzen. Die Zahl die du nun erhällst ist die Steigung der Tangente.
Probier nun mal aus was f'(0) ergibt.
Was bedeutet das Ergebnis ?
Oder anders gefragt. Welche Steigung hat eine Gerade, die parallel zu x-achse ist?
mfg Andi
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