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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:46 Sa 07.10.2006 | | Autor: | Loon |
| Aufgabe | | f(x) = [mm] x^4 [/mm] - 6x² + 8 |
Ich habe eine Kurvendiskussion für die obenstehende Funktion durchgeführt und wüsste gerne, ob sie richtig ist!
Definitionsbereich: D = R
Nullstellen:
[mm] x^4-6x²+8 [/mm] = 0
x = 2 ; x=-2
x = [mm] \wurzel{2} [/mm] ; [mm] x=-\wurzel{2}
[/mm]
Verhalten im Unendlichen:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (x^4 [/mm] -6x² +8) --> positiv unendlich
für x gegen negativ unendlich: --> positiv unendlich
Extremstellen:
1. Ableitung: f'(x) = 4x³-12x
Kriterium für Extrempunkt: f'(x) = 0
4x³-12x= 0
x(4x²-12) = 0
x = 0
oder 4x²-12 = 0
x² - 3 = 0
x = [mm] \wurzel{3}
[/mm]
x= [mm] -\wurzel{3}
[/mm]
Einsetzen der Werte in die Ursprungsgleichung:
f(0) = 8
[mm] f(\wurzel{3}) [/mm] = -1
[mm] f(-\wurzel{3}) [/mm] = -1
Es liegen 3 Extrempunkte vor:
EP1 ( 0/8)
EP2 [mm] (\wurzel{3} [/mm] /-1)
EP3 [mm] (-\wurzel{3} [/mm] / -1)
Bestimmen der 2. Ableitung: f''(x) = 12x-12
Einsetzen der Werte der Extrempunkte in die 2. Ableitung:
f''(0) = -12 --> Hochpunkt
Zu den anderen beiden Ergebnissen habe ich eine Frage: Ich bekommen für [mm] f''(-\wurzel{3}) [/mm] ein negatives Ergebnis, obwohl es sich bei diesem Extrempunkt um einen Tiefpunkt handeln muss; wegen der Symmetrie.
Wendepunkt:
Kriterien: f''(x) = 0
f'''(x) [mm] \not=0
[/mm]
2. Ableitung = 0 setzen; daraus folgt x=1
Einsetzen in die Ursprungsgleichung: y = 3
möglicher Wendepunkt: (1/3)
f'''(x) = 12 --> (1/3) ist ein Wendepunkt.
Symmetrie: f(-x) = [mm] x^4 [/mm] -6x²-8
F(x) = f(-x)
Der Graph ist achsensymmetrisch, da nur gerade Exponenten vorliegen und f(x) = f(-x) ist. Eine Punktsymmetrie liegt nicht vor.
Auf Grund der Symmetrie lässt sich auf einen 2. Wendepunkt bei (-1/3) sowie auf ein 2. Minimum [mm] (-\wurzel{3} [/mm] / -1) schließen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:09 Sa 07.10.2006 | | Autor: | Loon |
Dankeschön, immer diese Flüchtigskeitsfehler ;)
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier hast Du doch glatt ein [mm] $(...)^{\red{2}}$ [/mm] unterschlagen:
