Kurvendiskussion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:58 Mi 09.05.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Symmetrie:
Keine Symmetrie vorhanden, weil gerade als auch ungerade Exponente vorhanden sind.
Verhalten für x gegen unendlich:
f(x)=x³+3x²-9x
[mm] \limes_{x\rightarrow\pm\infty}x=\infty
[/mm]
Nullstellen
f(x)=x³+3x²-9x
0=x(x²+3x-9)/:x
0=x
0=x²+3x-9
Pq:
[mm] x1/2=-\bruch{3}{2}\pm\wurzel{\bruch{3}{2}+9}
[/mm]
[mm] x1/2=-1,5\pm3,35
[/mm]
x1=1,85; x2=-4,85
Extremstellen
f´(x)=3x²+6x-9/:3
x²+2x-3
Pq:
[mm] x1/2=-\bruch{2}{2}\pm\wurzel{\bruch{2}{2}+3}
[/mm]
[mm] x1/2=-1\pm2
[/mm]
x1=1; x2=-3
Y-Werte
f´´(x)=6x+6
f´´(1)=6*1+6=12>0=TP
f´´(-3)=6*(-3)+6=-12<0=HP
Wendestellen
f´´(x)=6x+6=0
x=0
0=6x+6/-6x
-6x=6/:(-6)
x=-1/Wurzel <-Geht nicht.
f´´´(x)=6/ <-Werte für x sind nicht einsetzbar.
Kann das jemand überprüfen, ob die Kurvendiskussion so in Ordnung ist?
danke im voraus!
mfg m.styler
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:11 Mi 09.05.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> f(x)=x³+3x²-9x
>
> Hallo!
>
> Symmetrie:
> Keine Symmetrie vorhanden, weil gerade als auch ungerade
> Exponente vorhanden sind.
Korrekt.
Besser noch [mm] f(-x)\ne{f(x)} [/mm] und [mm] f(-x)\ne-f(x)
[/mm]
>
> Verhalten für x gegen unendlich:
> f(x)=x³+3x²-9x
> [mm]\limes_{x\rightarrow\pm\infty}x=\infty[/mm]
Nicht ganz: [mm] x\to\infty\Rightarrow f(x)\to\infty
[/mm]
[mm] x\to-\infty\Rightarrow f(x)\to-\infty
[/mm]
>
> Nullstellen
> f(x)=x³+3x²-9x
> 0=x(x²+3x-9)/:x
> 0=x
>
> 0=x²+3x-9
>
> Pq:
> [mm]x1/2=-\bruch{3}{2}\pm\wurzel{\bruch{3}{2}+9}[/mm]
> [mm]x1/2=-1,5\pm3,35[/mm]
> x1=1,85; x2=-4,85
Sieht gut aus.
>
> Extremstellen
> f´(x)=3x²+6x-9/:3
> x²+2x-3
>
> Pq:
> [mm]x1/2=-\bruch{2}{2}\pm\wurzel{\bruch{2}{2}+3}[/mm]
> [mm]x1/2=-1\pm2[/mm]
> x1=1; x2=-3
>
> Y-Werte
> f´´(x)=6x+6
> f´´(1)=6*1+6=12>0=TP
> f´´(-3)=6*(-3)+6=-12<0=HP
>
Die y-Werte berechnet man, indem man die x-Werte in die Originalfkt. einsetzt. mit der zweiten Abl. überprüft man lediglich, ob ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vorhanden ist.
> Wendestellen
> f´´(x)=6x+6=0
> x=0
> 0=6x+6/-6x
> -6x=6/:(-6)
> x=-1/Wurzel <-Geht nicht.
>
Wozu Wurzelziehen?
0=6x+6
[mm] \gdw-1=x
[/mm]
> f´´´(x)=6/ <-Werte für x sind nicht einsetzbar.
Und f'''(-1) sowie f(-1) kann man ohne Probleme berechnen.
>
>
> Kann das jemand überprüfen, ob die Kurvendiskussion so in
> Ordnung ist?
>
>
> danke im voraus!
> mfg m.styler
>
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Mi 09.05.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Danke!
Kann mir erklärt werden, wie ich die Tangenten berechne, und wie ich diese auf ihre Lage zueinander überprüfen kann?
danke im voraus!
mfg m.styler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mi 09.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin m.,
I. allgemein berechnet man tangenten so:
1. gegeben ist i.d.R. ein bestimmter x-Wert bzw. ein bestimmter Punkt P der funktion, z.b. P [mm] (x_{t} [/mm] / [mm] f(x_{t})
[/mm]
2. eine tangente ist eine gerade, hat also i.a. die gleichung
y= m*x +b
3. m (die steigung) der tangente ist gleich der steigung der funktion in dem vorgegebenen Punkt.
d.h. m = [mm] f'(x_{t}) [/mm]
4. b (y-achsenabschnitt) erhalte ich wenn ich in meine tangentengleichung den gegebenen Punkt P einsetzt, sowie die steigung, dann kannst du b ausrechnen. denn der Punkt P liegt ja sowohl auf dem graphen von f als auch auf der tangente.
II. hast du zwei geradengleichungen ermittelt, kannst du diese auf ihre gegenseitige lage prüfen.
y1 = m1 *x + b1
y2 = m2 *x + b2
a) ist m1 = m2 => so sind die geraden parallel
b) ist m1 * m2 = -1 => so stehen die geraden senkrecht zu einander
c) wenn weder a) noch b) zutrifft, kann man durch gleichsetzen den schnittpunkt herausfinden und ggf. den schnittwinkel berechnen...
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:32 Mi 09.05.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Danke!
Wie kann ich in meiner Kurvendiskussion die Tangenten behandeln?
Ich weiß net welche Funktion ich mir herauspicken soll, ob f´´´ oder andere?
danke im voraus!
mfg m.styler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:43 Mi 09.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
welche Tangenten willst du genau berechen?
Es gibt nämlich bei den Kurvendiskussionen zwei verschiedene:
Einmal eine Tangente an einen Punkt des Graphen, wo dann der Punkt gegeben ist, der auf dem Graphen liegt.
Oder das andere mal ist ein Punkt gegeben, er nicht auf dem Graphen von f liegt, durch den die Tangente verlaufen soll.
Welche Art von Tangente willst du nun berechnen?
Nun gut, erzähl ich trotzdem mal zu beiden, wie das geht:
Hast du einen Punkt gegeben, der auf dem Graphen liegt, so berechnest du mit Hilfe der ersten Ableitung die Steigung des Graphen in dem Punkt.
Da die Tangente die selbe Steigung hat, wie die Funktion in dem Punkt, gilt (wie hase-hh schon sagte):
[mm] m=f'(x_{b})
[/mm]
Dann kennst du schon das m aus der allgemeinen Gleichung für eine Gerade y=mx+n
Das n bekommst du heraus, indem du den Berührpunkt in die Gleichung y=mx+n einsetzt.
Zweite Aufgabe:
Es sei ein Punkt gegeben, durch den die Tangente verläuft, der nicht auf dem Graphen liegt.
Dann gibt es zwar mehrere Ansätze, aber diesen hier finde ich am leichtesten:
Sie [mm] P(x_{b};f(x_{b}) [/mm] der Berührpunkt der Tangente an den Graphen, und Q(x;y) der Punkt, durch den die Tangente laufen soll.
Dann gilt einmal für die Steigung der Tangente nach dem Steigungsdreieck:
[mm] m=\bruch{y-f(x_{b})}{x-x_{b}}
[/mm]
als auch [mm] m=f'(x_{b})
[/mm]
Das dann gleichsetzten und nach [mm] x_{b} [/mm] auflösen.
Der Rest erfolgt dann analog zur obigen Rechnung.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:41 Do 10.05.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Dank dir für die Aufklärung!
mfg m.styler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Sa 12.05.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Ich habe das im Grunde verstanden, und vieles war mir schon bekannt, nun kann ich das net im meiner Kurvendiskussion anwenden.
Ich möchte gerne die Wendetangente berechnen, nicht die Normale Tg.
Muss ich das mit den Daten des Sattel oder Wendepunktes berechnen?
Und kann mir das jemand schritartig zeigen wie das zu berechnen ist?
danke im voraus!
mfg m.styler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich nehme mal an, du kennst den Wendepunkt.
Dann lässt sich die Steigung der Tangente im Wendepunkt mit hilfe der ersten Ableitung berechnen.
Dadurch hast du die Steigung der Wendetangente bestimmt.
Jetzt nur noch den Wendepunkt in y=mx+n einsetzten und du kannst n bestimmen.
Dann bist du fertig.
LG
Kroni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:04 So 13.05.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Danke!
mfg m.styler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 So 13.05.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo nochmal!
Ich habe das mal versucht und das klappt nicht.
Wenn man sich meine Aufgabe anschaut, liegt der Wendepunkt bei "-1".
Das setze ich nun in die 1.Ableitung der Ausgangsfunktion ein:
[mm] f´(x)=3x^2+6x-9
[/mm]
Wie hab ich die Wendetangente schon bestimmt?
Kann mir jemand beholflich sein?
danke im voraus!
mfg m.styler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:37 So 13.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
[mm] f(x)=3x^2+6x-9 [/mm] war gegeben.
f'(x)=6x+6
f''(x)=6 <= Die Parabel ist immer Linksgekrümmt, und besitzt somit keinen Wendepunkt.
Folglich gibt es auch keine Wendetangente.
Angenommen es gäbe eine, dann musst du wie folgt vorgehen:
Du setzt die Wendestelle (also den x-Wert des Wendepunktes) in die erste Ableitung ein.
Was erhälst du dadurch? Bzw. welche Information bekommst du dadurch?
Eine Gerade hat doch die Funktionsform y=mx+n
Was kennst du schon und was brauchst du dann noch?
Damit kannst du deine eigene Frage beantworten.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 So 13.05.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Die Wendestelle ist f´´(x)=6, eine Parabel?, wieso kann man diesen Wert eigentlich nicht in die 1.Ableitung einsetzen?
Also, wenn ich eine Wendestelle habe, und diese für f´(x) einsetze, bekomme ich doch einen Y-Wert, wenn ich mich nicht irre, dann ist es möglich mit der Form "mx+b" die Wendetangente auszurechnen, b(ist dann bekannt)=mx(ist auch bekannt, das ist der Wendepunkt).
Für die Tangentensteigung braucht ich den Kehrwert, den einsetzen, und nach b auflösen.
Ist das so richtig?
danke im voraus!
mfg m.styler
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:07 So 13.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
sorry, hatte vorhin das "die erste Ableitung" überlesen.
Wenn du die erste Ableitung der Funktion f meinst, dann musst du aber auch schreiben [mm] f'(x)=3x^2+6x-9.
[/mm]
f''(x)=6x+6 also liegt bei x=-1 eine mögliche Wendestelle (ist auch eine, weil ein VZW derzweiten Ableitung dort vorliegt).
Gut, f'(-1) gibt dir die Steigung des Graphen an der Stelle x=-1 an. Das entspricht dann deinem m der Tangente, denn das ist ja automatisch gleich der Tangentensteigung.
f(-1) gibt dir den y-Wert des Wendepunktes an.
Wenn du diesen Punkt dann in y=mx+n auflöst, und du m kennst, kannst du nach n auflösen.
LG
Kroni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:14 So 13.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin!
irgendwas hab ich leider nicht ganz verstanden.
deine funktion, die du - immer noch - untersuchst, lautet:
f(x) = [mm] x^3 +3x^2 [/mm] -9x richtig?
falls ja, dann sind die ableitungen:
f ' (x) = [mm] 3x^2 [/mm] +6x -9
f '' (x) = 6x + 6
ach so, jetzt hab ichs doch verstanden...
ich mach mal weiter.
zur bestimmung des wendepunktes und der wendetangente
f '' [mm] (x_{w}) [/mm] = 0
=> [mm] x_{w} [/mm] = -1 ist der wendepunkt. völlig korrekt.
nun, in 1. ableitung einsetzen:
f ' (-1) = 3 [mm] (-1)^2 [/mm] + 6*(-1) -9
f' (-1) = -12
das ist also die steigung deiner wendetangente.
y = -12x + b
nun noch die y-koordinate des wendepunktes ausrechnen
f(-1)= [mm] (-1)^3 [/mm] + [mm] 3*(-1)^2 [/mm] -9*(-1)
f(-1)= -1 +3 +9 = 11
WP ( -1 / 11)
und da der wendepunkt gleichzeitig punkt der funktion als auch punkt der wendetangente ist, kann ich nun in meine wendetangentengleichung den punkt einsetzen und so mein b ausrechnen:
y= -12x +b
11= -12*(-1) +b
11= 12 +b
b= -1
(wenn ich mich nicht verrechnet habe  )
=> y= -12x -1
... ist die wendetangente.
gruß
wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 So 13.05.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Zitat:
y= -12x +b
11= -12*(-1) +b
11= 12 +b
=11/12 <--Das ist m?
Ich habe das anders gemacht und bei mir kommt das raus:
y=12x+b
11=-12x+b
11=-12*(-1)+b
b=12*(-1)+11
b=-1
Welches Ergebnis ist nun jetzt richtig?
danke im voraus!
mfg m.styler
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Hallo,
du hast natürlich Recht, wenn wenn du schon die Wendetangente hast, y=-12x+b und den Punkt (-1; 11) so erhälst du 11=(-12)*(-1)+b, ergibt 11=12+b also ist b=-1, du hast dich wahrscheinlich von hasse-hh beinflussen lassen, dort taucht die falsche Division auf,
Steffi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 So 13.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin,
ein trivialer rechenfehler meinerseits.
allerdings war mit [mm] \bruch{11}{12} [/mm] auf keinen fall die steigung gemeint.
die wissen wir ja schon m=-12.
die gleichung wird natürlich nicht durch 12 geteilt, sondern es wird 12 von der gleichung abgezogen.
11 = 12 + b
=> b = -1
[ im übrigen ist mein chatname hase-hh und nicht hasse-hh, ein genauso trivialer tippfehler wie mein rechenfehler... ]
hoffe, es ist jetzt alles klar?!
schönen sonntag!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:11 So 13.05.2007 | | Autor: | m.styler |
Hallo!
Dank euch!
mfg m.styler
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