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Hey Leute
Soll ne Kurvendiskussion mit [mm] n(t)=-c(e^{-k*t}-e^{-\lambda*t}) [/mm] zu morgen machen.
Nullstellen, rel.Extrema,Wendepunkte,Asymptoten sollen dabei berechnet werden.
c, k umd [mm] \lambda [/mm] sind konstanten
Nullstellen:
[mm] -c(e^{-k*t}-e^{-\lambda*t})=0
[/mm]
t=0
Extrema
n'(t)=0
n'(t)=
[mm] -c(-k*e^{-k*t}+\lambda*e^{-\lambda*t})=0
[/mm]
komm hier nicht weiter...
Asymptote
wie komm ich auf die
Wendepunkt
n''(t)=0
[mm] -c(2k*e^{-k*t}-2\lambda*e^{-\lambda*t})=0
[/mm]
komm hier auch nicht weiter eim auflösen nach t
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:25 Do 13.12.2007 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Ich mach mal bei den Extrema weiter.
Es soll gelten:
[mm] \lambda*e^{-\lambda t}=k*e^{-kt}
[/mm]
Logarithmieren
[mm] ln(\lambda)-\lambda*t=ln(k)-kt
[/mm]
[mm] t(\lambda-k)=ln(\lambda)-ln(k)=ln(\bruch{\lambda}{k})
[/mm]
[mm] t_E=\bruch{ln(\bruch{\lambda}{k})}{\lambda-k}
[/mm]
Jetzt noch prüfen, ob das ein Maximum oder Minimum ist und dann in n einsetzen um die Extremwerte zu berechnen.
Asymptoten:
Wann treten Asymptoten auf?
Im Verhalten gegen [mm] \pm\infty.
[/mm]
Also Grenzwerte ausrechnen:
[mm] \limes_{t\rightarrow\infty}n(t)=0
[/mm]
Also ist y=0 Asymptote.
[mm] \limes_{t\rightarrow-\infty}n(t)=\pm\infty, [/mm] je nachdem ob k oder [mm] \lambda [/mm] größer ist.
Jedenfalls gibts hier keine Asymptote.
Polstellen gibt es hier auch nicht, also war das die einzige Asymptote.
Den Wendepunkt machst du ähnlich wie den Extrempunkt.
Einfach das in der Klammer 0 setzen und logarithmieren.
Hier hast du mal die ![[]](/images/popup.gif) Logarithmengesetze. Damit wäre es machbar.
Ist in der Aufgabenstellung noch etwas über die Konstanten gesagt?
Wenn diese nämlich auch <0 sein können musst du bei den asymptoten etwas aufpassen, da dann der Grenzwert bei [mm] t\rightarrow-\infty [/mm] endlich wird. In diesem Fall sind einige Fallunterscheidungen notwendig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:39 Do 13.12.2007 | | Autor: | defjam123 |
Hey danke!
in der Aufgabenstellung steht das die Konstanten [mm] \lambda [/mm] und k größer 0 sind.
Gruss
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> Hi.
>
> Ich mach mal bei den Extrema weiter.
Hey!
> Es soll gelten:
>
> [mm]\lambda*e^{-\lambda t}=k*e^{-kt}[/mm]
> Logarithmieren
> [mm]ln(\lambda)-\lambda*t=ln(k)-kt[/mm]
> [mm]t(\lambda-k)=ln(\lambda)-ln(k)=ln(\bruch{\lambda}{k})[/mm]
> [mm]t_E=\bruch{ln(\bruch{\lambda}{k})}{\lambda-k}[/mm]
Hab für den Extremwert [mm] t_{E}= \bruch{ln(\bruch{\lambda}{k})}{\lambda+k} [/mm] als Ergebnis.
Mit den ganzen Konstanten rauszufinden ob es ein Hochpunkt oder Tiefpunkt ist, ist mir nicht gelungen.
Mein Ergebnis für die Wendestelle wäre dann: [mm] \bruch{ln(\bruch{2\lambda}{2k})}{\lambda-k}
[/mm]
ist das richtig
Gruss
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:49 Fr 14.12.2007 | | Autor: | defjam123 |
ich hab jetzt einfach zahlen größer null eingesetzt und hab jetzt einen tiefpunkt und eine links rechts kurve für den Wendpunkt erhalten
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:03 Fr 14.12.2007 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Ich komme auf [mm] t_E=\bruch{ln(\bruch{\lambda}{k})}{\lambda-k} [/mm] und auf [mm] t_W=\bruch{ln(\bruch{\lambda}{k})}{\lambda-k}.
[/mm]
Nun gucken, was der Extrempunkt genau ist:
[mm] t_E=\bruch{2ln(\bruch{\lambda}{k})}{\lambda-k}
[/mm]
Wenn du das in die 2. Ableitung einsetzt, solltest du auf ein recht langes Produkt kommen, bei dem 2 Ausdrücke eh immer größer als 0 sind um beim 3. musst du schauen :)
Hab grad keine Zeit für bessere Erklärungen, ich guck nachher bestimmt nochmal rein, oder jemand andes hilft dir sicher!
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Hey! Danke Teufel, denke hast dich beim Wendepunkt vertippt.
War gestern spät. Hab alles neu gerechnet
Für [mm] t_{E} [/mm] hab ich [mm] \bruch{ln(\bruch{k}{\lambda})}{k-\lambda}
[/mm]
Mein Problem ist nicht, das ich nicht weiß wie die hinreichende Bedingung lautet. Da [mm] \lambda [/mm] > k ist, weil k die Zerfallkonstante in der Geleichung ist und die bedingung [mm] \lambda,k [/mm] >0 gegeben ist, hab ich auch das richtige Ergebnis: einen Hochpunkt. Dafür hab ich einfach für die konstanten Zahlen eingesetzt. Der Lehrer wollte aber, dass wir den Term vereinfachen und dann erkennen können ob es ein Tiefpunkt oder Hochpunkt ist.
Für die Wendepunkte hab ich als Ergebnis:
Für [mm] t_{W} [/mm] hab [mm] \bruch{ln(\bruch{k²}{\lambda²})}{k-\lambda}. [/mm] Jetzt noch die Hinreichende Bedingung. Da hab ich Schwierigkeiten die Gleichung zu vereinfachen.Wär für Hilfe dankbar.
Gruss
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 So 16.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 So 16.12.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo,
> Hey! Danke Teufel, denke hast dich beim Wendepunkt
> vertippt.
>
> War gestern spät. Hab alles neu gerechnet
>
> Für [mm]t_{E}[/mm] hab ich
> [mm]\bruch{ln(\bruch{k}{\lambda})}{k-\lambda}[/mm]
>
> Mein Problem ist nicht, das ich nicht weiß wie die
> hinreichende Bedingung lautet. Da [mm]\lambda[/mm] > k ist, weil k
> die Zerfallkonstante in der Geleichung ist und die
> bedingung [mm]\lambda,k[/mm] >0 gegeben ist, hab ich auch das
> richtige Ergebnis: einen Hochpunkt. Dafür hab ich einfach
> für die konstanten Zahlen eingesetzt. Der Lehrer wollte
> aber, dass wir den Term vereinfachen und dann erkennen
> können ob es ein Tiefpunkt oder Hochpunkt ist.
>
> Für die Wendepunkte hab ich als Ergebnis:
> Für [mm]t_{W}[/mm] hab [mm]\bruch{ln(\bruch{k²}{\lambda²})}{k-\lambda}.[/mm]
> Jetzt noch die Hinreichende Bedingung. Da hab ich
> Schwierigkeiten die Gleichung zu vereinfachen.Wär für Hilfe
> dankbar.
Also, der Extremwert ist richtig
[mm]t_{E} = \bruch{ln(\bruch{k}{\lambda})}{k-\lambda} = \bruch{ln(\bruch{\lambda}{k})}{\lambda-k}[/mm]
Wenn Du den Extremwert in die 2. Ableitung einsetzt und richtig auflöst, erhältst Du die Bedingung:
[mm] \lambda [/mm] > k [mm] \Rightarrow [/mm] f''(t) > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Tiefpunkt
[mm] \lambda [/mm] < k [mm] \Rightarrow [/mm] f''(t) < 0 [mm] \Rightarrow [/mm] Hochpunkt
Dein Wendepunkt ist auch richtig:
[mm]t_{W} =\bruch{ln(\bruch{k^2}{\lambda^2})}{k-\lambda} = \bruch{2*ln(\bruch{k}{\lambda})}{k-\lambda} = \bruch{2*ln(\bruch{\lambda}{k})}{\lambda-k}[/mm]
Wenn Du nun den Wendepunkt in deine 3. Ableitung einsetzt:
$f'''(t) = [mm] c*\left(-\lambda^3*e^{-\lambda*t} + k^3*e^{-k*t} \right)\not= [/mm] 0 $
[mm] $c*\left(-\lambda^3*\left(\bruch{\lambda}{k}\right)^{-\bruch{2*\lambda}{\lambda-k}} + k^3*\left(\bruch{\lambda}{k}\right)^{-\bruch{2*k}{\lambda-k}} \right)\not= [/mm] 0 $
erhältst Du daraus die Bedingung
$ [mm] \bruch{\lambda}{k}-1 \not= [/mm] 0$
, d. h., für [mm] \lambda \not= [/mm] k hast Du immer einen Wendepunkt.
LG, Martinius
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