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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
| Aufgabe | [mm] \bruch{x^2+x}{x}
[/mm]
Kurvendiskussion |
Hi,
Ich habe eine Frage und zwar haben wir es so gelernt, dass an Definitionslücken gleichzeiteig Polstellen und Vertikale Symptoten sind !
Die Funktion ist ja nicht für 0 definiert aber wieso gibt es dort keine vertikale Symptote ? Liegt es daran dass diese Funktion verstetigbar machbar ist ? Wenn ja woran erkenne ich soetwas ? Und woher weiss ich ob da keine Vertikale Asymptote ist ? Danke.
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Hi, Yuumura,
> [mm]\bruch{x^2+x}{x}[/mm]
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> Kurvendiskussion
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> Hi,
> Ich habe eine Frage und zwar haben wir es so gelernt, dass
> an Definitionslücken gleichzeiteig Polstellen und
> Vertikale Symptoten sind !
Das ist so falsch.
Richtig wäre: An den Definitionslücken KÖNNEN vertikale Asymptoten vorliegen.
Aber es können auch - wie im vorliegenden Fall (!) stetig behebbare Definitionslücken sein.
In dem Fall hat der zugehörige Graph an der entsprechenden Stelle "ein Loch".
> (...) woran
> erkenne ich so etwas ? Und woher weiss ich ob da keine
> Vertikale Asymptote ist ? Danke.
Man kann das auf unterschiedliche Weise erkennen:
a) Durch Grenzwertrechnung: Man berechnet die Grenzwerte von links und von rechts gegen die Definitionslücke und wenn beide Male derselbe endliche (!) Wert herauskommt, hat man eine stetig behebbare Definitionslücke. Kommt aber + [mm] \infty [/mm] oder - [mm] \infty [/mm] raus, hat man einen Pol.
b) Man kürzt den Funktionsterm. Fällt dabei die Nenner-Nullstelle weg, liegt eine stetig behebbare DL vor, andernfalls ein Pol.
Letztere Methode ist hier die einfachere:
[mm] \bruch{x^2+x}{x} [/mm] = [mm] \bruch{x(x+1)}{x} [/mm] = x+1.
Für den Term f*(x) = x+1 ist x=0 keine Nenner-NS mehr und es gilt:
f*(0) = 1.
Daher besitzt Deine ursprünglich gegebene Funktion bei x=0 eine stetig behebbare DL. Ihr Graph besitz bei L(0;1) ein "Loch".
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{x^4}{(x^2-1)|x|} [/mm] 2.: [mm] |x^2-1| [/mm] + |x| - 1 |
Hi, super danke das habe ich verstanden ! d.H ich versuche immer zu kürz en erstmal...
Kannst du mir vielleicht noch eine Frage beantworten ?
[mm] \bruch{x^4}{(x^2-1)|x|} [/mm] und [mm] |x^2-1| [/mm] + |x| - 1
Ich soll da nach asymptoten, symetrie, nullstellen, pole und verlauf untersuchen, ich weiss auch wie das geht weiss aber nur nicht was ich bei betragsstrichen machen soll bzw wie sich das dann ändert die herangehensweise !
Btw sind Pole nicht automatisch vertikale asymptoten ?
Danke im Vorraus.
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Hallo Yuumura,
> [mm]\bruch{x^4}{(x^2-1)|x|}[/mm] 2.: [mm]|x^2-1|[/mm] + |x| - 1
> Hi, super danke das habe ich verstanden ! d.H ich versuche
> immer zu kürz en erstmal...
>
> Kannst du mir vielleicht noch eine Frage beantworten ?
>
> [mm]\bruch{x^4}{(x^2-1)|x|}[/mm] und [mm]|x^2-1|[/mm] + |x| - 1
>
> Ich soll da nach asymptoten, symetrie, nullstellen, pole
> und verlauf untersuchen, ich weiss auch wie das geht weiss
> aber nur nicht was ich bei betragsstrichen machen soll bzw
> wie sich das dann ändert die herangehensweise !
Benutze die Definition des Betrages!
[mm] $|z|=\begin{cases} z, & \mbox{für } z\ge 0 \\ -z, & \mbox{für } z<0 \end{cases}$
[/mm]
Wenn du das mal für die erste Funktion machst, so ist
[mm] $f(x)=\frac{x^4}{(x^2-1)\cdot{}|x|}=\begin{cases} \frac{x^4}{(x^2-1)\cdot{}x}, & \mbox{für } x>0 \ \text{Frage: wieso hier nicht} \ x\red{\ge} 0 ? \\ \frac{x^4}{(x^2-1)\cdot{}(-x)}, & \mbox{für } x<0 \end{cases}$
[/mm]
Für weitere Untersuchungen faktorisiere den jeweiligen Nenner noch weiter ...
Wo liegen die "kritischen Stellen"?
Und überlege dir, was in $x=0$ los ist, dort ist ja die Funktion erstmal nicht definiert ...
Welche Art Definitionslücke liegt da vor?
Für die andere Aufgabe löse wieder den Betrag auf und mache entsprechend Fallunterscheidungen ...
Dort gibt's keine Definitionslücken, das Biest ist auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] definiert.
Allerdings liefert dir die Auflösung der Beträge "Nahststellen", die es auf Stetigkeit zu untersuchen gilt ...
>
> Btw sind Pole nicht automatisch vertikale asymptoten ? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Danke im Vorraus.
>
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Sa 04.07.2009 | | Autor: | Yuumura |
Ja aber wie rechne ich denn damit jetzt ?
Wenn ich nach Nullstellen auflöse (0 müsste doch ein pol sein ?) soll ich dann mit +x oder -x im betrag rechnen ??
Oder soll ich einfach immmer wie ein normales X das x im betrag behandeln und bei solchen sachen wie - und + werten bzw den verlauf der funktion dann die def. vom betrag anwenden, z.B bei negativen y werten dann -x benutzen für |x| ?
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Hallo nochmal,
> Ja aber wie rechne ich denn damit jetzt ?
>
> Wenn ich nach Nullstellen auflöse (0 müsste doch ein pol
> sein ?)
Nein, du liest dir die Antworten nicht gründlich durch, scrolle mal nach oben und schaue, was Zwerglein geschreiben hat ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") ...
Der hat's dir haarklein ausklamüsert ...
Echt!
Ich könnte die Antwort auch zitieren ....
> soll ich dann mit +x oder -x im betrag rechnen ??
Im Bereich $x<0$, also auf der negativen reellen Achse schreibe im Funktionsterm statt $|x|$ dann $-x$
Für $x>0$, also auf der positiven x-Achse ist $|x|=x$
>
> Oder soll ich einfach immmer wie ein normales X das x im
> betrag behandeln und bei solchen sachen wie - und + werten
> bzw den verlauf der funktion dann die def. vom betrag
> anwenden,
Das hört sich sehr kraus an, aber ich glaube, du meinst es richtig
> z.B bei negativen y werten dann -x benutzen für
> |x| ?
Bei negativen x-Werten !!!
Betrache zunächst mal die Stelle $x=0$. Lies nochmal Zwegleins Antwort und sage dann, was da los ist.
Wo liegen die anderen kritischen Stellen?
Welche das sind --> siehe Zwergleins Antwort.
Eine liegt auf der negativen Achse, da hast du welchen Funktionsterm?
Die andere auf der positiven Achse, wie ist dort der Funktionsterm?
Ach, das habe ich dir ja schon in der anderen Aufgabe hingeschrieben ...
![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
LG
schachuzipus
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