Kurvendiskussion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Smoky |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hey!
Hab da nen großes Problem! Bräuchte ne ausfürliche Erklärung zu ner Kurvendiskussion! Versteh nämlich 0! Nach Anfrage nach einer Erklärung bei meinem Lehrer, bekam ich nur die Antwort, das wäre nicht sein Problem, dass ich das nicht versteh! Hm, und da in meinem Mathebuch keine Erklärung dazu steht, hab ich mir gedacht ich frag mal hier:
Wir müssen da immer:
1. Defintionsmenge
2. Symmetrie
3. Verhalten für x --> unendlich
4. Nullstellen
5. Extrema
6. Sattelpunkt
7. Wendepunkt
Kann das weder rechnen, noch versteh ich, wie ich was rauskrieg, also wann das Punkt-bzw. Achsensymmetrisch ist oder so!
Hab hier mal ne Fuktion aus ner Hausaufgabe, die man vielleicht als Bsp. nehmen könnte: f(x)=x(hoch3) - 6x(hoch2) +9x -4 !!!
Danke schonmal!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mi 01.06.2005 | | Autor: | zwaem |
Hi.
In welcher Klasse bist du denn wenn ihr die Kurvendiskussion nicht ausführlich durchgenommen habt. Egal
1.Definitionsmenge
Du musst einfach gucken welche x-Werte erlaubt sind. In dem Bespiel am Seitenfuß sind alle x-Werte erlaubt also: x [mm] \in \IR [/mm] (lies: x ist element aller Reellen Zahlen). z.B. bei f(x)=ln(x) dürfte man keien null einsetzten da ln(0)=ERROR.
2.Symmetrie
Es gibt zwei verschidene Arten von Symmetrien:
-Achsensymmetrie: f(x)=f(-x)
-Punktsymmetrie : f(x)=-f(-x)
In deinem Beispeil:
f(2)=24 [mm] \cap [/mm] f(-2)=-80 d.h. es besteht keine Achsen- und Punktsymmetrie.
Ich würde dir ja gerne noch weiterhelfen muss aber dringend, es gib t ja noch genügend andere schlaue Leute in diesem Forum die dir helfen werden.
ciao
"Gibt mir einen festen Punkt und ich werde die Erde aus ihren Angeln heben" -Archiemedis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Smoky |
Sodale, nach langem rechnen und mit Hilfe der Links, bin ich jetzt auch mal weiter gekommen als vorher (nach den Nullstellen habsch nix mehr hingekriegt *g*)
Hier mal meine Ergebnisse, wär lieb, wenn ihr mir sagen könntet, ob die richtig sind! Oder was ich falsch geschrieben hab!
1. Df = [mm] \IR
[/mm]
2. f(x)= f(-x) --> [mm] -x^{3}+6x^{2}-9x+4
[/mm]
f(x)= -f(-x) --> [mm] x^{3}-6x^{2}+9x-4
[/mm]
==> punktsymmetrisch
3. Verhalten für x--> [mm] \pm \infty
[/mm]
x --> [mm] \infty [/mm] , f(x) --> [mm] \infty
[/mm]
x --> - [mm] \infty [/mm] , f(x) --> - [mm] \infty
[/mm]
4. Nullstellen
Nach Polynomdivision: [mm] g(x)=x^{2}-5x+4
[/mm]
Dann mit pq-Formel: [mm] x_{1}=1 \wedge x_{2}=4
[/mm]
==> Nullstellen: 1 und 4
5. Extrema
f'(x)=0 [mm] \wedge f''(x)\not=0
[/mm]
f'(x)= [mm] 3x^{2}-12x+9
[/mm]
f''(x)= 6x-12
f'(x)= 0 --> [mm] 3x^{2}-12x+9 [/mm] |:3
[mm] x^{2}-4x+3
[/mm]
Nach pq-Formel: [mm] x_{1}=1 \wedge x_{2}=3
[/mm]
So, [mm] x_{1} [/mm] is nach meiner Rechnung nen Hochpunkt und [mm] x_{2} [/mm] ist nen Tiefpunkt.
6. Wendepunkt
f''(x)=0 [mm] \wedge f'''(x)\not=0
[/mm]
f''(x)=6x-12
[mm] f'''(x)=6\not=0
[/mm]
f''(x)=0 --> 6x-12 =0
x=2
Dann x=2 in die 3. Ableitung zur Überprüfung einsetzen, is nen WP, also x=2 in f(x) einsetzen und dann hab ich als W(2/-2)
So, is das so weit richtig? Oder hab ich irgendwo nen Fehler gemacht, oder was vergessen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:11 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Fugre |
Hallo Nadine!
> Sodale, nach langem rechnen und mit Hilfe der Links, bin
> ich jetzt auch mal weiter gekommen als vorher (nach den
> Nullstellen habsch nix mehr hingekriegt *g*)
>
> Hier mal meine Ergebnisse, wär lieb, wenn ihr mir sagen
> könntet, ob die richtig sind! Oder was ich falsch
> geschrieben hab!
>
> 1. Df = [mm]\IR[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2. f(x)= f(-x) --> [mm]-x^{3}+6x^{2}-9x+4[/mm]
> f(x)= -f(-x) --> [mm]x^{3}-6x^{2}+9x-4[/mm]
> ==> punktsymmetrisch
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Dein Vorgehen haut nicht hin.
Die Funktion lautet:
[mm] $f(x)=x^3-6x^2+9x-4$
[/mm]
Wenn eine Achsensymmetrie vorliegen soll, muss gelten:
$f(x)=f(-x)$ also hier:
[mm] $x^3-6x^2+9x-4=-x^3-6x^2-9x-4$
[/mm]
und das stimmt nicht, drum gibt es keine Achsensymmetrie.
Bei der Punktsymmetrie gilt:
$f(x)= -f(-x)$
also hier:
[mm] $x^3-6x^2+9x-4=-(-x^3-6x^2-9x-4)$
[/mm]
[mm] $x^3-6x^2+9x-4=x^3+6x^2+9x+4$
[/mm]
und das stimmt auch nicht, folglich ist
keine Symmetrie zu erkennen.
> 3. Verhalten für x--> [mm]\pm \infty[/mm]
> x --> [mm]\infty[/mm] , f(x) -->
> [mm]\infty[/mm]
> x --> - [mm]\infty[/mm] , f(x) --> - [mm]\infty[/mm]
> 4. Nullstellen
> Nach Polynomdivision: [mm]g(x)=x^{2}-5x+4[/mm]
> Dann mit pq-Formel: [mm]x_{1}=1 \wedge x_{2}=4[/mm]
> ==>
> Nullstellen: 1 und 4
> 5. Extrema
> f'(x)=0 [mm]\wedge f''(x)\not=0[/mm]
> f'(x)= [mm]3x^{2}-12x+9[/mm]
> f''(x)= 6x-12
> f'(x)= 0 --> [mm]3x^{2}-12x+9[/mm] |:3
> [mm]x^{2}-4x+3[/mm]
> Nach pq-Formel: [mm]x_{1}=1 \wedge x_{2}=3[/mm]
> So, [mm]x_{1}[/mm] is nach
> meiner Rechnung nen Hochpunkt und [mm]x_{2}[/mm] ist nen Tiefpunkt.
Die Extrempunkte:
H1(1|0)
T1(3|-4)
> 6. Wendepunkt
> f''(x)=0 [mm]\wedge f'''(x)\not=0[/mm]
> f''(x)=6x-12
> [mm]f'''(x)=6\not=0[/mm]
> f''(x)=0 --> 6x-12 =0
> x=2
> Dann x=2 in die 3. Ableitung zur Überprüfung einsetzen, is
> nen WP, also x=2 in f(x) einsetzen und dann hab ich als
> W(2/-2)
>
> So, is das so weit richtig? Oder hab ich irgendwo nen
> Fehler gemacht, oder was vergessen?
Deine Punkte stimmen alle, die Rechnungen habe ich nicht
überprüft, allerdings ist es unwahrscheinlich, da die Ergebnisse
stimmen.
Liebe Grüße
Fugre
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Smoky |
Hab noch ne Frage zu der Symmetrie:
Ist das eigentlich egal, ob das jetzt Punkt- oder Achsensymmetrisch oder überhaupt nich symmetrisch is? ich mein im Bezug auf die rechnung! Rechnet man trotzdem ganz normal weiter, wie ich das jetzt bei der Aufgabe gemacht hab, wos nich symmetrisch gewesen ist?
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Hi, Smokey,
> Hab noch ne Frage zu der Symmetrie:
> Ist das eigentlich egal, ob das jetzt Punkt- oder
> Achsensymmetrisch oder überhaupt nich symmetrisch is? ich
> mein im Bezug auf die rechnung! Rechnet man trotzdem ganz
> normal weiter, wie ich das jetzt bei der Aufgabe gemacht
> hab, wos nich symmetrisch gewesen ist?
>
Woll'n die Sache doch mal präzisieren:
Ich vermute, bei Euch geht's nur um Achsensymmetrie zur y-Achse bzw. Punktsymmetrie zum Nullpunkt! (Weil: Jede Parabel, also der Graph einer quadratischen Funktion, ist achsensymmetrisch zur Senkrechten durch den Scheitel und jeder Graph einer Funktion 3.Grades ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt! Aber das habt Ihr anscheinend nicht behandelt; drum vergiss' es zunächst wieder!)
Nun zu Deiner Frage:
Symmetrie hilft nur dann, die Kurvendiskussion zu vereinfachen,
WENN EINE VORLIEGT!
Beispiel: Hat eine Funktion einen Graphen, der zum O-Punkt symmetrisch ist und sie hat bei x=1,5 einen Hochpunkt, dann hat sie automatisch bei x=-1,5 einen Tiefpunkt; hat sie bei x=2 einen Wendepunkt, dann auch bei x=-2 usw.
Liegt keine (erkennbare) Symmetrie vor, läuft die Aufgabe sozusagen "normal" weiter.
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Wikipedia : Kurvendiskussion