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| Aufgabe | Führen Sie eine Kurvendiskussion für die Funktion
[mm] f:\,\mathbb{R}\setminus\{0\,,\,-2\}\to\mathbb{R}\,,\qquad f(x)\,=\,\frac{x^2\,-\,4}{x^3\,+\,2x^2}
[/mm]
a)Die Funktion f ist in x=? stetig fortsetzbar |
Hallo.
Ich würde gerne die oben beschriebene Aufgabe berechnen.
Über Hilfe freue ich mich wie immer, aber ich bitte euch keine Lösung zu posten, da ich die Aufgabe wirklich gerne selber lösen möchte.
Zunächst habe ich eine Frage zur Funktionsvorschrift selbst:
Es heißt:
[mm] f:\,\mathbb{R}\setminus\{0\,,\,-2\}\to\mathbb{R}
[/mm]
D.h ich darf für alle die Funktion selbst alle Werte außer 0 und -2 einsetzen.
Also habe ich schonmal 2 Polstellen weg.
Nun zur Stetigkeit:
Es steht ja hier, dass x in ? stetig fortsetzbar ist.
D.h ich soll aus ganz [mm] \IR [/mm] ein x suchen und beschreiben, dass es in der Funktion stetig ist?
Würde das nicht bedeuten, dass die Funktion scheinbar in fast ganz [mm] \IR [/mm] nicht stetig ist? Wie würde ich das denn beweisen sollen?
Über Hilfe würde ich mich freuen.
Danke und Grützli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Mo 24.01.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Masseltof!
Den Definitionsbereich hast Du korrekt.
Faktorisiere auch den Zähler. Dann solltest Du erkennen, dass man hier eine Klammer kürzen kann. Bei dieser Stelle handelt es sich dann auch nicht um eine Polstelle sondern die gesuchte stetig-hebbare Definitionslücke.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar und danke für die Antwort.
Ich habe den Bruch nun folgendermaßen umgeschrieben:
[mm] \bruch{x^2}{x^3+2x^2}-\bruch{4}{x^3+2x^2}=
[/mm]
[mm] \bruch{x^2-4}{x^3(1+\bruch{2}{x})}
[/mm]
Erweitern mit [mm] \bruch{1-\bruch{2}{x}}{1-\bruch{2}{x}}
[/mm]
[mm] \Rightarrow: \bruch{x^2-4}{x^3(1+\bruch{2}{x})}*(\bruch{1-\bruch{2}{x}})({1-\bruch{2}{x}})
[/mm]
= [mm] \bruch{(x^2-4)*(1-\bruch{2}{x})}{x^3*(1+\bruch{2}{x})*(1-\bruch{2}{x})}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x^2-4)*(1-\bruch{2}{x})}{x^3*(1-\bruch{4}{x^2})}.
[/mm]
Wäre das auch möglich?
Zum Faktorisieren des Zählers: (so wie du es beschrieben hast)
[mm] \bruch{(x+2)(x-2)}{x^2(x+2)}=\bruch{x-2}{x^2}=\bruch{1}{x}-\bruch{2}{x^2}=\bruch{1}{x}(1-\bruch{2}{x}).
[/mm]
Also ist 2 die gesuchte hebare Definitionslücke.
Die Funktion f ist also in 2 stetig fortsetzbar.
Jetzt steht hier aber noch als Frage:
Die Funktion hat in [mm] x_{p} [/mm] eine Polstelle.
Damit ist aber nicht die Definitionslücke gemeint, die stetig hebar ist, oder?
Viele Grüße und danke im Voraus.
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Hallo Masseltof,
> Hallo Loddar und danke für die Antwort.
>
> Ich habe den Bruch nun folgendermaßen umgeschrieben:
>
> [mm]\bruch{x^2}{x^3+2x^2}-\bruch{4}{x^3+2x^2}=[/mm] [mm]\bruch{x^2-4}{x^3(1+\bruch{2}{x})}[/mm]
>
> Erweitern mit [mm]\bruch{1-\bruch{2}{x}}{1-\bruch{2}{x}}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow: \bruch{x^2-4}{x^3(1+\bruch{2}{x})}*(\bruch{1-\bruch{2}{x}})({1-\bruch{2}{x}})[/mm]
>
>
> =
> [mm]\bruch{(x^2-4)*(1-\bruch{2}{x})}{x^3*(1+\bruch{2}{x})*(1-\bruch{2}{x})}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(x^2-4)*(1-\bruch{2}{x})}{x^3*(1-\bruch{4}{x^2})}.[/mm]
>
> Wäre das auch möglich?
Ja, aber ist das denn vorteilhaft?
In der faktorisierten Darstellung kannst du doch alles ganz einfach und wunderbar ablesen!
>
> Zum Faktorisieren des Zählers: (so wie du es beschrieben
> hast)
>
> [mm]\bruch{(x+2)(x-2)}{x^2(x+2)}=\bruch{x-2}{x^2}=\bruch{1}{x}-\bruch{2}{x^2}=\bruch{1}{x}(1-\bruch{2}{x}).[/mm]
>
> Also ist 2 die gesuchte hebare Definitionslücke. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Lasse es in der ersten Darstellung:
[mm]\frac{(x+2)(x-2)}{x^2(x+2)}[/mm]
Für [mm]x=2[/mm] ergibt sich [mm]\frac{0}{16}=0[/mm], [mm]x=2[/mm] ist also eine "gewöhnliche" Nullstelle ...
Eine hebbare Definitionslücke ist Nullstelle sowohl von Zähler als auch von Nenner (die in gleicher Vielfachheit in Z und N vorkommt - hier einmal).
Die kannst du dann rauskürzen.
Die Stelle ist hier [mm]x=\red{-2}[/mm] (wegen des Faktors [mm](x+2)[/mm] in Z und N)
Kürze also $(x+2)$ raus, das ergibt
[mm]\frac{x-2}{x^2}\longrightarrow \frac{-2-2}{(-2)^2}=-1[/mm] für [mm]x\to -2[/mm]
Du kannst also durch die Def. [mm]f(-2):=-1[/mm] die Funktion an der Stelle [mm]x=-2[/mm] stetig ergänzen.
>
> Die Funktion f ist also in 2 stetig fortsetzbar.
In -2
>
> Jetzt steht hier aber noch als Frage:
> Die Funktion hat in [mm]x_{p}[/mm] eine Polstelle.
>
> Damit ist aber nicht die Definitionslücke gemeint, die
> stetig hebar ist, oder?
Ja, das ist eine NST des Nenners, die nicht glz. NST des Zählers ist.
Hier steht [mm]x^2[/mm] im Nenner, also ist [mm]x=0[/mm] (2-facher) Pol (wegen [mm]x^{\red{2}}[/mm])
>
> Viele Grüße und danke im Voraus.
LG
schachuzipus
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Hallo schachuzipus.
Danke für die Antwort :).
Ich verstehe, dass man x [mm] \to [/mm] -2 laufen lassen kann.
Damit wäre -1 der Grenzwert für das undefinierte Argument -2.
Darf ich denn f(-2)=-1 schreiben obwoh, f: [mm] \IR\backslash(0)(-2) \to \IR [/mm] gilt schreiben?
Selbige Frage für x=0. Müsste ich hier nicht auch eine Folge bilden, die den Grenzwert 0 hat und diese für x einsetzen?
Oder kann ich x=0 schreiben?
Viele Grüße und danke für die Hilfe.
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Hallo nochmal,
> Hallo schachuzipus.
>
> Danke für die Antwort :).
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> Ich verstehe, dass man x [mm]\to[/mm] -2 laufen lassen kann.
> Damit wäre -1 der Grenzwert für das undefinierte
> Argument -2.
>
> Darf ich denn f(-2)=-1 schreiben obwoh, f:
> [mm]\IR\backslash(0)(-2) \to \IR[/mm] gilt schreiben?
Du definierst zusätzlich zu der Ausgangsfunktion, die in [mm]\IR\setminus\{-2,0\}[/mm] definiert ist:
[mm]f(-2):=-1[/mm] und ergänzt damit f stetig in [mm]x=-2[/mm]
Ergänzende Definition ---> stetige Ergänzung
>
> Selbige Frage für x=0. Müsste ich hier nicht auch eine
> Folge bilden, die den Grenzwert 0 hat und diese für x
> einsetzen?
Das müsste man streng genommen machen und würde sehen, dass f(x) "bei" [mm]x=0[/mm] gegen [mm]-\infty[/mm] abhaut ...
Dass also [mm]\lim\limits_{x\to 0^+}=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=-\infty[/mm] ist.
Einfacher, wenn man sich zunutze macht, was denn Polstelle bedeutet - siehe andere Antwort ...
> Oder kann ich x=0 schreiben?
Was genau meinst du mit "x=0" schreiben.
Das darfst du machen, wenn du lustig bist. Was hat es mit der Aufgabe zu tun?
In [mm]x=0[/mm] ist die Funtion a) nicht definiert und kann b) auch nicht stetig ergänzt werden, da dort eine Polstelle vorliegt!
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> Viele Grüße und danke für die Hilfe.
Gruß
schachuzipus
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