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| Aufgabe | | Berechnen Sie für welche x die Funktion f(x) = [mm] x^4+x^3 [/mm] Nullstellen, Maxima, Minima und Wendepunkte hat. |
Hallo,
erstmal die Ableitungen:
f(x) = [mm] x^4+x^3
[/mm]
f'(x) = [mm] 4x^3+3x^2
[/mm]
f''(x) = [mm] 12x^2+6x
[/mm]
f'''(x) = 24x+6
[mm] f^4(x) [/mm] = 24
Wenn ich nun f'(x) (für die Extremwertberechnung) =0 setzte, bekomm ich x=0 und x=-3/4. Diese setzte ich nun in f''(x) ein. Für -3/4 ergibt sich ein größerer Wert als 0 --> Minima und für x=0 ergibt sich 0.
An diesem Punkt entsteht meine Frage.
Sobald f''(irgendeinem Wert) auch 0 ist:
- setzte ich es in die nächsten Ableitungen ein, sobald ein Wert > oder < 0, dann Min oder Max
- schaue ich gleich nach der ersten Nicht-null-Ableitung. Falls gerade --> Extrema (Min oder Max), falls ungerade kein Extrema, sondern WP bzw. Sattelpunkt.
Was stimmt?
Gruss
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Hallo Cyantific,
> Berechnen Sie für welche x die Funktion f(x) = [mm]x^4+x^3[/mm]
> Nullstellen, Maxima, Minima und Wendepunkte hat.
> Hallo,
>
> erstmal die Ableitungen:
> f(x) = [mm]x^4+x^3[/mm]
> f'(x) = [mm]4x^3+3x^2[/mm]
> f''(x) = [mm]12x^2+6x[/mm]
> f'''(x) = 24x+6
> [mm]f^4(x)[/mm] = 24
>
> Wenn ich nun f'(x) (für die Extremwertberechnung) =0
> setzte, bekomm ich x=0 und x=-3/4. Diese setzte ich nun in
> f''(x) ein. Für -3/4 ergibt sich ein größerer Wert als 0
> --> Minima und für x=0 ergibt sich 0.
Bis hier gut.
> An diesem Punkt entsteht meine Frage.
>
> Sobald f''(irgendeinem Wert) auch 0 ist:
>
> - setzte ich es in die nächsten Ableitungen ein, sobald
> ein Wert > oder < 0, dann Min oder Max
>
> - schaue ich gleich nach der ersten Nicht-null-Ableitung.
> Falls gerade --> Extrema (Min oder Max), falls ungerade
> kein Extrema, sondern WP bzw. Sattelpunkt.
>
> Was stimmt?
Das zweite stimmt.
Einfacher zu merken ist aber, dass f'(x) an der betrachteten Stelle das Vorzeichen wechseln muss (Nulldurchgang), damit ein Extremum vorliegt.
Grüße
reverend
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Hmmm... also müsst doch, da die erste Nicht-null-Ableitung [mm] f^4(x) [/mm] = 24, da ein Minimum herrschen. 4 = geradzahlig und 24>0. Mein Dozent setzt die 0 jedoch in die 3. Ableitung ein f'''(0)=6, daraus schließt er, dass dort ein WP sein muss.
??
Gruss
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Hallo,
> Hmmm... also müsst doch, da die erste Nicht-null-Ableitung
> [mm]f^4(x)[/mm] = 24, da ein Minimum herrschen.
> 4 = geradzahlig und 24>0.
> Mein Dozent setzt die 0 jedoch in die 3. Ableitung
> ein f'''(0)=6, daraus schließt er, dass dort ein WP sein
> muss.
Tja, da hat Dein Dozent wohl eine frühere Ableitung gefunden, die bei x=0 nicht Null ist. Also ist [mm] f^4(x) [/mm] nicht die erste Nicht-Null-Ableitung.
Grüße
reverend
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Eigentlich ist das ja ne Kombination aus meinen Theorien...
Jedenfalls noch mal die Erläuterung: falls mein Extremwert [mm] x_{0}, [/mm] bei [mm] f''(x_{0}) [/mm] = 0 ergibt, setze ich doch solange [mm] x_{0} [/mm] in folgende Ableitungen ein, bis ein Wert herauskommt. Geradzahlige Ableitung und >0 oder <0 = Min oder Max. Ungeradzahlige Ableitung und wert >0 oder <0 = Sattelpunkt.
Korrekt?
Noch eine weitere Frage:
Wenden wir das bei [mm] x^5 [/mm] an. Ergibt sich ein WP bei x=0.
Die "normale" Bedingung lautet doch f''(x) = 0, dann x Wert (z.B [mm] x_{0})
[/mm]
und [mm] f'''(x_{0})\not=0
[/mm]
Was hier nicht zutrifft. Warum ist es dennoch ein WP? Wie kann das sein?
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 Fr 01.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
bei [mm] x^5 [/mm] ist doch erst die 5te (also ungerade) Ableitung ungleich 0 also wendepkt.
bei [mm] x^6 [/mm] wärs die 6 te also Min. bei [mm] x^7 [/mm] die 7te also Wende bzw Sattelpkt,
(alles bei [mm] x_0=0)
[/mm]
da man bei [mm] x^n [/mm] weiss ob ein extremwert oder Sattel vorliegt, kann man sich's daran auch gut merken!
gruss leduart
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