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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit [mm] f(x)=-1/8(x-2)^2(x-8); [/mm] X € R.
Kist das Schaubild von f.
a)Welche Eigenschaften von K lassen sich am Funktionsterm ablesen?
b)Eine Gerade G schneidet K auf den Koodinatenachsen.
Untersuchen Sie rechnerisch, ob G die Normale an K im Wendepunkt ist. |
a) Es ist eine Funktion 3ten Grades. Sie ist Punktsymmetrisch.
b) Hier komme ich gar nicht klar was gemeint ist. Das einzige was mir eingefallen ist das G durch (0/4) und (8/0) verlaufen könnte.
Meine Frage zur b wäre ist mein Ansatz richtig, oder bin ich Komplett auf dem falschen Weg. Wenn ja bitte ich um einen kleinen Tipp.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Vielen Dank im vorraus
Viele Grüße
Nightshooter
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Hallo,
> Gegeben ist die Funktion f mit [mm]f(x)=-1/8(x-2)^2(x-8);[/mm] X €
> R.
> Kist das Schaubild von f.
> a)Welche Eigenschaften von K lassen sich am Funktionsterm
> ablesen?
> b)Eine Gerade G schneidet K auf den Koodinatenachsen.
> Untersuchen Sie rechnerisch, ob G die Normale an K im
> Wendepunkt ist.
> a) Es ist eine Funktion 3ten Grades.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>Sie ist Punktsymmetrisch.
Das sehe ich nicht. Wieso sollte die Funktion punktsymmetrisch sein? Nicht jede Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch!
Was man aber an dieser faktorisierten Form von $f$ sofort ablesen kann, sind die Nullstellen! Stell dir mal vor, du wölltest die Nullstellen berechnen,dann würdest du ja hinschreiben:
$0 = f(x) = [mm] -\frac{1}{8}(x-2)^2 [/mm] (x-8)$.
Und ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Also muss (x-2) = 0 sein oder (x-8) = 0. Du siehst also sofort, dass die Nullstellen bei x = 2 und x = 8 liegen. Bei x = 2 liegt außerdem eine doppelte Nullstelle (weil da hoch 2 steht).
Und an einer doppelten Nullstelle liegt immer ein Extrempunkt vor!
D.h. du weißt auch, dass an x = 2 eine Extremstelle vorliegt.
> b) Hier komme ich gar nicht klar was gemeint ist. Das
> einzige was mir eingefallen ist das G durch (0/4) und (8/0)
> verlaufen könnte.
Der Punkt (0|4) ist richtig (y-Achsen-Schnittpunkt).
Bei dem zweiten Punkt (8|0) kannst du dir nicht sicher sein, schließlich hat f ja auch eine Nullstelle bei x = 2, theoretisch könnte also die Gerade G auch durch (2|0) gehen.
Um die Aufgabe zu lösen, solltest du zunächst den Wendepunkt bestimmen.
Die Gerade G muss ja durch (0|4) und den Wendepunkt gehen. Du musst dann noch zwei Dinge überprüfen:
1. Entspricht die Steigung der Geraden G der Steigung der Normalen im Wendepunkt?
2. Geht G durch (2|0) oder (8|0) ? (also durch eine der beiden Nullstellen)
Grüße,
Stefan
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