[Kurvendiskussion] Wendepunkt < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Maqqus |
| Aufgabe | 1)
f(x) = x³+5x²-8x-12
a) Kurvendiskussion und Graphen zeichnen.
b) Schnittpunkt + Schnittwinkel von Wendepunkttangente und rechte Nullstelle berechnen.
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2)
Gesucht ist die Funktionsgleichung 3. Grades
A(0|-3) B(2|-3)
Gleichungssystem + Funktionsgleichung aufstellen.
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1)
Bei dieser Aufgabe habe ich nun mit der Polynomdivision folgende Gleichung rausbekommen:
x²+4x-12
Aufgabe a) bekomme ich ohne weiteres hin. Doch wie bekomme ich b) raus. Schnittpunkt berechnet man doch, indem man zwei Gleichungen gleich setzt. Ist aber nur eine?
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2)
Bei dieser Aufgabe verstehe ich nicht wie ich anfangen soll. Wie kann ich aus den Punkten eine Funktionsgleichung rausbekommen. Die standart Funktionsgleichung ist ja:
f(x) = m * x + b
Ich danke Euch schonmal für die Antworten. Würde mich über eine Erklärung der Schritte sehr freuen.
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Mo 23.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> 1)
> Bei dieser Aufgabe habe ich nun mit der Polynomdivision
> folgende Gleichung rausbekommen:
> x²+4x-12
Welche Polynomdivision? Und was heisst das für die Nullstellen?
>
> Aufgabe a) bekomme ich ohne weiteres hin. Doch wie bekomme
> ich b) raus. Schnittpunkt berechnet man doch, indem man
> zwei Gleichungen gleich setzt. Ist aber nur eine?
Nein, du hast f(x) und die zu berechnende Wendetangete am Wendepunkt. [mm] W(x_{w}/F(x_{w})) [/mm] , also eine Gerade der Form
t(x)=mx+n , die durch w gehen soll, und die Steigung m= der Steigung von f in W ist, also [mm] m=f'(x_{w})
[/mm]
>
> ----------------------------
>
> 2)
>
> Bei dieser Aufgabe verstehe ich nicht wie ich anfangen
> soll. Wie kann ich aus den Punkten eine Funktionsgleichung
> rausbekommen. Die standart Funktionsgleichung ist ja:
> f(x) = m * x + b
Nein, hier sit eine Funktion dritten Grades gesucht, also der Form [mm] f(x)=ax^{3}+bx²+cx+d. [/mm] Du bräuchtest also vier Bedingungen.
(Ist sie zufällig punktsymmetrisch zum Ursprung? Dann reichen die beiden gegebene Punkte nämlich aus, da dann gilt: f(x)=ax³+cx)
>
>
> Ich danke Euch schonmal für die Antworten. Würde mich über
> eine Erklärung der Schritte sehr freuen.
>
> Liebe Grüße
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Maqqus |
Die ganze Rechnung der Polynomdivision habe ich hier nicht aufgeführt. Ich habe die f(x) von Aufgabe 1) mit Hilfe der Polynomdivision zu der oben stehenden GLeichung gemacht.
Zu deiner Frage von der Nullstelle. Die lynomdivision hat ja keine Auswirkungen auf die Nullstelle?
gut also ist die ersten Ableitung immer m
Aber wie berechne ich denn nun den Schnittpunkt und Winkel?
Die Ableiutng ist dann ja f'(x)=2x+4
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Aber was muss ich nun mit der Gerade dritten Grades machen?
Liebe Grüße und vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Mo 23.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Die ganze Rechnung der Polynomdivision habe ich hier nicht
> aufgeführt. Ich habe die f(x) von Aufgabe 1) mit Hilfe der
> Polynomdivision zu der oben stehenden GLeichung gemacht.
>
> Zu deiner Frage von der Nullstelle. Die lynomdivision hat
> ja keine Auswirkungen auf die Nullstelle?
Doch.
Mit der Polynomdivision zerlegst du die Funktion in handlichere Faktoren.
Also:
x³+5x²-8x-12
=(x+1)(x²+4x-12 )
=(x+1)(x+6)(x-2)
Und die hat die Nullstellen -1, -6 und +2
>
> gut also ist die ersten Ableitung immer m
>
> Aber wie berechne ich denn nun den Schnittpunkt und
> Winkel?
> Die Ableiutng ist dann ja f'(x)=2x+4
Hast du den Wendepunkt W berechent. Damit gilt [mm] m=f'(x_{w}) [/mm] und wenn du das hast, kannst du über [mm] f(x_{w})=f'(x_{w})*x_{w}+n [/mm] das n der Tangente t(x)=mx+n bestimmen und damit die Tangente t(x)
Die Schnittpunkte von t und g berechnest du, indem du f(x)=t(x) setzt.
Beachte, dass der Wendepunkt ein Schnittpunkt ist, also hast du einen Kandidaten für die Polynomdivision.
Für den Schnittwinkel [mm] \alpha [/mm] einer Gearden der Form y=mx+n mit der x-Achse gilt: [mm] m=\tan(\alpha)
[/mm]
>
> -------------------------------
>
> Aber was muss ich nun mit der Gerade dritten Grades
> machen?
Bestimme a und c so, dass die beiden Punkte auf f=ax³+cx liegen. Aber schreibe hier bitte nochmal die komplette Aufgabe ab, da die Funktion nicht punktsymmetrisch zum Ursprung sein kann (P(0/-3) soll ja auf f liegen)
>
>
> Liebe Grüße und vielen Dank!
Jetzt bist du erstmal dran, weiter Ansätze zu liefern.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Maqqus |
Ich würde sagen, wir machen erstmal Aufgabe 1 fertig, sonst ist das alles so durchmischt.
1)
Ich habe folgende Werte berechnet:
Nullstellen: N1(2|0) N2(-6|0)
Tiefpunkt: (-2|-16)
Wendepunkt: Nicht vorhanden
Demnach gibt es keinen Schnittpunkt, wenn kein Wendepunkt vorhanden ist?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Mo 23.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Ich würde sagen, wir machen erstmal Aufgabe 1 fertig, sonst
> ist das alles so durchmischt.
>
> 1)
>
> Ich habe folgende Werte berechnet:
>
> Nullstellen: N1(2|0) N2(-6|0)
Eine fehlt noch, siehe die Polynomdivision.
f(x)=x³+5x²-8x-12=(x+1)(x+6)(x-2)
>
> Tiefpunkt: (-2|-16)
>
> Wendepunkt: Nicht vorhanden
>
> Demnach gibt es keinen Schnittpunkt, wenn kein Wendepunkt
> vorhanden ist?
Du musst schon mit komplett f weiterrechenn, nicht mit dem Restterm der Polynomdivision.
Eine Funktion dritten Grades hat Immer einen Wendepunkt.
>
> Liebe Grüße
>
>
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:59 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Maqqus |
Bin gerade am überlegen. Bei der Extremaberechnung. Muss ich dort nun die 1. Ableitung von der f(x) aus der Polynomdivision oder von dem Anfang f(x) Wert nehmen?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Mo 23.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Bin gerade am überlegen. Bei der Extremaberechnung. Muss
> ich dort nun die 1. Ableitung von der f(x) aus der
> Polynomdivision oder von dem Anfang f(x) Wert nehmen?
>
> Liebe Grüße
Für einen Extrempunkt [mm] E(x_{e}/f(x_{e})) [/mm] gilt:
[mm] f'(x_{e})=0 [/mm] (notwendige Bed.) und [mm] f''(x_{e})\ne0 [/mm] (hinr. Bed.)
Und du musst immer die Komplette Funktion f(x) betrachten. Mit der Polynomdivision zerlegst du f nur il Linearfaktoren, wie ich dir heri schon mehrfach geschrieben habe.
Es gilt: f(x)=x³+5x²-8x-12=(x+1)(x+6)(x-2)
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Maqqus |
Ich komme einfach nicht auf den Extrempunkt.
ich habe jetzt die 1. Ableitung der Funktionsgleichung:
0 = 3x²+10x-8
Aber wenn ich dort die Werte ausrechne, passen die nicht mit den, die ich aus dem gezeichneten Graphen ablesen kann?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Mo 23.03.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Auf welche Werte kommst du denn. Und welche Werte solltest du ermitteln?
f(x)=x³+5x²-8x-12
f'(x)=3x²+10x-8
Also:
[mm] 3x^{2}+10x-8=0
[/mm]
[mm] \gdw x²+\bruch{10}{3}x-\bruch{8}{3}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1;2}=-\bruch{5}{3}\pm\wurzel{\bruch{100}{9}+\bruch{8}{3}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{5}{3}\pm\wurzel{\bruch{124}{9}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{5}{3}\pm\bruch{\wurzel{124}}{3}
[/mm]
[mm] =-\bruch{5\pm\wurzel{124}}{3}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Maqqus |
Ich möchte dich jetzt nicht enttäuschen, aber aus der Rechnung erkenne ich nichts?
Ich habe da jetzt die Werte:
-6|0
2,6| 18,57
Das kann nicht angehen, denn laut dem Graphen, musste der HP ca. bei -4|36 und der TP bei 0,7|14,7
Ich verstehe es nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Mo 23.03.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo,
das ist die PQ-Formel. Marius ist ein kleiner Fehler unterlaufen. Unter Wurzel wurde p² genommen und nicht (p/2)².
So kommst du auf die exakten x-Werte.
[mm] x_{1}=-4 [/mm]
[mm] x_{2}=\bruch{2}{3}
[/mm]
Die Y-Werte passen dann auch.
LG
xPae
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Maqqus |
So jetzt habe ich die Werte:
HP(-3,95|35,9)
TP(14,8|0,65)
Der Wendepunkt liegt dann hier:
WP(-1,6|9,5)
Aber wie bekomme ich nun die Werte raus:
Schnittpunkt + Schnittwinkel von Wendepunkttangente und rechte Nullstellentangente.
Die rechte Nullstelle ist in dem Fall ja:
N(2|0)
Wie muss ich nun weiterrechnen?
Liebe Grüße und vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:36 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Katla |
Wie kommst du auf den Wendepunkt? Ich erhalte andere Werte, aber vielleicht rundest du nur ungünstig?
Wie du die Wendepunkttangente ausrechnest wurde dir schon mehrmals erklärt:
Wendepunkt: $w(a/b)$
Wendepunkttangente: allgemeine Gleichung: $y=mx+k$
$m=f'(a)$
um k zu berechnen: [mm] $b=f'(a)\cdot [/mm] a+k$
gewünschte Gleichung $y=f'(a)x-k$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Katla |
Auch deine Werte für HP und TP stimmen nicht. xPae hatte dir doch schon die richtigen x-Werte gegeben.
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