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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Do 23.04.2009 | | Autor: | pucki |
| Aufgabe | Durch [mm] f(t)=0,02t²*e^{-0,1*t} [/mm] wird das Wachstum einer Fichte in Abhängigkeit von der Zeit (Jahre) beschrieben. Dabei gibt f(t) nicht die Höhe, sondern die Wachstumsgeschwindigkeit in Metern pro Jahr an
b) Bestimmen Sie rechnerisch, das Alter in dem die Fichte am stärksten wächst. Geben Sie zudem die größte Wachstumsgeschwindigkeit an. |
Also, ich habe für die ABleitung folgendes
f'(t)= [mm] (0,04t-0,002t²)e^{-0,1t}
[/mm]
[mm] f"(t)=0,0002*(t²-40t+200)*e^{-0,1t}
[/mm]
aberich weiß einfach nicht, wie man auf die 1. Ableitung kommt. Eine Ketten- sowie Produktregel liegt vor oder?
Außerdem habe ich echt Probleme die Nullstellen für das Extrema bei der 1. ABleitung rauszukriegen.
Bitte, könnte mir jemand da helfen? Ich habe absolut keine Ahnung von e-Funktionen :(
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Hallo!
Wo genau hast du denn Probleme? Deine beiden Ableitungen, die du hingeschrieben hast, stimmen jedenfalls:
> f'(t)= [mm](0,04t-0,002t²)e^{-0,1t}[/mm]
> [mm]f"(t)=0,0002*(t²-40t+200)*e^{-0,1t}[/mm]
Deine Funktion $f(x) = [mm] 0.02*t^{2}*e^{-0.1*t}$ [/mm] hat zunächst die Form eines Produkts: Ein Faktor ist $u(x) = [mm] 0.02*t^{2}$, [/mm] der andere $v(x) = [mm] e^{-0.1*t}$. [/mm] Im Faktor v(x) steckt dann beim Ableiten außerdem nochmal eine kleine Kettenregel drin, wie du richtig erkannt hast.
ZUm Ableiten von f(x) musst du nun zunächst die Produktregel anwenden:
$f'(x) = [mm] \Big(u(x)*v(x)\Big)' [/mm] = u'(x)*v(x) + u(x)*v'(x).
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Zu den Nullstellen der ersten Ableitung:
$'(t)= [mm] (0,04*t-0,002*t^{2})*e^{-0,1t} [/mm] = 0$
Ein Produkt wird Null, wenn einer der Faktoren Null wird. Dieser Regel bedienst du dich hier. Du hast ein Produkt aus zwei Termen vorliegen, nämlich [mm] $(0,04*t-0,002*t^{2})$ [/mm] und [mm] $e^{-0,1t}$. [/mm] Das Produkt wird also Null, wenn
[mm] $(0,04*t-0,002*t^{2}) [/mm] = 0$
oder
[mm] $e^{-0,1t} [/mm] = 0$
ist. Bekanntermaßen hat die letztere der beiden Gleichungen keine Lösungen, weil [mm] $e^{x} [/mm] > 0$ für alle [mm] x\in\IR. [/mm] Bleibt also nur die erste auf Lösungen zu untersuchen.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Do 23.04.2009 | | Autor: | pucki |
Vielen Dank für deine Antwort =)
ja, v'(t) versteh ich nicht.
u=0,02t² und u'=0,04t und [mm] v=e^{-0,1t} [/mm] und v'=-0,1*0,02t²=-0,002t²
Könntest du mir das bitte detaillierter erläutern? Also wie man auf u(t)*v'(t), sprich [mm] 0,002t²*e^{-0,1t} [/mm] kommt?
und "Bekanntermaßen hat die letztere der beiden Gleichungen keine Lösungen, weil $ [mm] e^{x} [/mm] > 0 $ für alle $ [mm] x\in\IR. [/mm] $"
Wie ist das gemeint?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:40 Do 23.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Du hast ja:
[mm] f(t)=\overbrace{0,02t²}^{u}\cdot{}\overbrace{e^{-0,1\cdot{}t}}^{v}
[/mm]
Mit der Produktregel ergibt sich jetzt ja:
f=u*v'+u'*v
Also hier:
[mm] f(t)=\overbrace{0,02t²}^{u}\cdot{}\overbrace{\underbrace{e^{-0,1\cdot{}t}}_{\text{äußere Abl.}}*\underbrace{(-0,1)}_{\text{innere Abl.}}}^{v'}+\overbrace{0,04t}^{u'}\cdot{}\overbrace{e^{-0,1\cdot{}t}}^{v}
[/mm]
Um von [mm] v(t)=e^{-0,1t} [/mm] die Ableitung v'(t) zu bestimmen, brauchst du noch die Kettenregel.
Wenn du jetzt bei der "Gesamtableitung" f'(t) noch [mm] e^{-0,1t} [/mm] ausklammerst, und dann zusammenfasst, erhältst du deine Ableitung.
(das Ausklammern der "e-Terms" funktioniert übrigens bei fast allen Ableitungen einer Funktion mit "e-Anteil")
Somit bekommst du am Ende meistens ein Produkt, und musst für Nullstellen/Extremstellen/Wendestellen ja dann die Nullstellen (der entsprechenden Ableitung) suche. Und da ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der Faktoren Null ist, reicht es, die beiden Faktoren =0 zu setzen
Und da [mm] e^{\text{irgendwas}}\ne0, [/mm] reicht es, den anderen Faktor zu betrachten, um die Nullstellen der Funktion/der entsprechenden Ableitung zu bestimmen.
Ist das Ganze jetzt klarer? Sonst frag mal konkret nach.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Do 23.04.2009 | | Autor: | pucki |
Danke für deine Antwort!
Jetzt bin ich um einiges schlauer!! Man, das is aber auch wirklich kompliziert.
Ich habe aber noch ne andere Frage:
Wie bildet man denn die STammfunktion von [mm] f(t)=0,02t²*e^{-0,1t}? [/mm]
[mm] F(t)=-0,2*(t²+20t+200)*e^{-0,1t} [/mm] ist die Lösung
aber ich weiß einfach nicht wie man dadrauf kommt. Irgendwie was mit Ketten-und Produktregel. Bei e-Funktionen steh ich sowas von auf dem Schlauch :(
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Hallo!
> Wie bildet man denn die STammfunktion von
> [mm]f(t)=0,02t²*e^{-0,1t}?[/mm]
> [mm]F(t)=-0,2*(t²+20t+200)*e^{-0,1t}[/mm] ist die Lösung
> aber ich weiß einfach nicht wie man dadrauf kommt.
> Irgendwie was mit Ketten-und Produktregel. Bei e-Funktionen
> steh ich sowas von auf dem Schlauch :(
Um die Stammfunktion einer solchen Funktion zu bestimmen, musst du integrieren, d.h. das unbestimmte Integral der Funktion bestimmen. Da geht es nicht ums Ableiten mit Ketten- und Produktregel.
Du musst also
[mm] $\integral{f(t) dt} [/mm] = [mm] \integral{0.02*t^{2}*e^{-0.1*t} dt}$
[/mm]
bestimmen. Man verwendet hier (und immer bei solchen Funktionen, die die Gestalt eines Produktes haben, wobei ein Faktor ein Polynom und der andere eine e-Funktion ist) den Weg der partiellen Integration. Die Regel geht so:
[mm] $\integral{f*g'\ dx} [/mm] = f*g - [mm] \integral{f'*g\ dx}$
[/mm]
D.h. während des Vorgangs muss man einen Faktor integrieren (den Faktor g', bei solchen Funktionen immer die e-Funktion als g' wählen) und einen Faktor Ableiten (den Faktor f', bei solchen Funktionen immer das Polynom als f' wählen). Die partielle Integration geht aus der Produktregel fürs Ableiten hervor.
Den ersten Schritt, d.h. die erste Anwendung der partiellen Integration zeige ich dir, den zweiten machst du selbst:
[mm] $\integral{\underbrace{0.02*t^{2}}_{f}*\underbrace{e^{-0.1*t}}_{g'} dt} [/mm] = [mm] \underbrace{0.02*t^{2}}_{f}*\underbrace{(-10*e^{-0.1*t})}_{g} [/mm] - [mm] \integral{\underbrace{0.04*t}_{f'}*\underbrace{(-10*e^{-0.1*t})}_{g}\ dt}$
[/mm]
Hierbei habe ich benutzt, dass
$g(t) = [mm] \integral{g'(t)\ dt} [/mm] = [mm] \integral{e^{-0.1*t}} [/mm] = [mm] -10*e^{-0.1*t}$
[/mm]
ist. (Lineare Substitution). Nun musst du das hintere Integral, dass sich oben ergeben hat, nochmal partiell integrieren.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Do 23.04.2009 | | Autor: | pucki |
Ich versteh jetzt nur noch Bahnhof.
Welche Anwendung soll ich jetzt integrieren? Ich verstehe wirklich gerade nichts? Was ist denn Integration? Ich brauch doch nur die STammfunktion und da musste ich doch bis jetzt immer nur aufleiten?
Lieben Gruß, pucki
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Hallo pucki,
"Aufleiten" heißt nichts anderes als das unbestimmte Integral = Stammfunktion bilden. Wenn dir das jetzt aber gar nichts sagt, hattet ihr das noch nicht und du musst es auch noch nicht können.
Wenn du hingegen bei obiger Aufgabe nur nachweisen solltest, dass die gegebene Funktion F(t) eine Stammfunktion ist, musst du nur diese Funktion F(t) ableiten und auf dieselbe Form wie f(t) bringen.
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:33 Do 23.04.2009 | | Autor: | pucki |
Hallo Stefan,
Achsoo, du hast mich schon ganz kirre gemacht mit dieser Integration. Ich übe hier gerade mit alten ABituraufgaben und da musste man das echt nur nachweisen!
Vielen Dank für deine Hilfe
lieben Gruß, Pucki
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