Kurvendiskussion fk(x) < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:39 Di 07.02.2006 | | Autor: | bamby |
Hallo meine Funktion f k (x) lautet: [mm] x^2 [/mm] / [mm] (x^2-k)
[/mm]
Ich hatte noch nie solche Probleme mit einer Kurvendiskussion!!
Probleme bereiten mir vor allem die Art der Definitionslücken, das Monotonieverhalten, die Wendestellen und das Krümmungsverhalten!!
Natürlich habe ich am meisten Schwierigkeiten mit der Zeichung des Graphen für k>0 und k>0.
kann mir bitte bitte jemand helfen?
liebste grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallochen,
na das ist doch gar nicht so schwierig. Wenn du diesen ganzen Käse mit den Wendepunkten usw. korrigiert haben möchtest, musst du schon deine Lösungen posten, weil das eine unzumutbare Schreibarbeit ist.
Zu den Definitionslücken kann ich dir etwas sagen und vielleicht auch zur 1. Ableitung!
Frage ist, wann der Nenner null wird. Das ist der Fall, wenn [mm] x^{2}=k^{2} [/mm] ist, bzw. [mm] \pm [/mm] x= [mm] \pm [/mm] k. Diese Stellen musst du also ausschließen. Die erste Ableitung berechnet man mit der Quotientenregel:
[mm] (\bruch{x^{2}}{x^{2}-k^{2}})'
[/mm]
[mm] =\bruch{2x*(x^{2}-k^{2})-2x*x^{2}}{(x^{2}-k^{2})^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{-2x*k^{2}}{(x^{2}-k^{2})^{2}}
[/mm]
Das kann jetzt noch per bin. Formel vereinfacht werden! Die nächsten beiden Ableitungen, um Extrema und Wendepunkt korrekt zu bestimmen, schaffst du jetzt allein, oder??
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:08 Di 07.02.2006 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo mathmetzsch!
> Das kann jetzt noch per bin. Formel vereinfacht werden!
Meinst Du hier etwa den Nenner des Bruches (1. Ableitung)?
Auf gar keinen Fall ausmultiplizieren! Zum einen ist es zusätzliche und unnötige Arbeit, also eine zusätzliche Fehlerquelle.
Und viel wichtiger: durch diese faktorisierte Form erhält man sich die Chance, in der nächsten Ableitung kürzen zu können und damit erheblich zu vereinfachen!
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Di 07.02.2006 | | Autor: | bamby |
erstmal vielen dank für eure lieben antworten.
also meine expliziten fragen lauten:
ist die definitionsmenge R ohne Wurzel aus +- k? gilt die für sonst alle Zahlen oder nur R +, also k>0?
Welche Art liegt bei den Definitionslücken vor? Polstellen?
Liegt die Asymptote bei 1?
Ist der Graph achsensymmetrisch?
Liegen die Nullstellen bei 0,0?
Ist die erste Ableitung [mm] -2kx/(x^2-k)^2 [/mm] ?
wenn ich diese null setze, kommt dann auch 0 raus?
Jetzt zu der Beantwortung des Mononotieverhaltens, also ob es sich bei k>0 und k<0 jeweils um Hoch- oder Tiefpunkt handelt?
am meisten Probleme bereitet mir heute die zweite Ableitung!
Ist die [mm] 2k(k+3x^2)/ (x^2-k)^3 [/mm] ?
und jetzt weiß ich nicht, wie ich fortfahren soll!!
Die zweite Ableitung 0 setzen? den gesamten Bruchterm oder ausschließlich den Zähler? Was kommt dann heraus?
Und wie sieht es dann mit dem Krümmungsverhalten aus?
Ich bin noch immer verzweifelt!
Wie sieht es mit der Zeichnung des Graphen aus?
ich bin euch dankbar für jede weitere Hilfe ihr Lieben!
Viele Grüße!!!
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Hallo,
also beim Definitionsbereich musst du eben die Lücken ausschließen. Es gilt eben [mm] D=\{x\in\IR|x\not=\pm k\}.
[/mm]
Das müsste es sein.
Die erste Ableitung steht doch in meiner ersten Antwort. Die zweite erhält man erneut nach Anwendung der Quotientenregel und sie lautet
[mm] f''(x)=\bruch{8x^{2}k^{2}}{(x^{2}-k^{2})^{3}}
[/mm]
(zuvor wurde einmal gekürzt). Versuch das mal hinzuschreiben.
Für die Wendepunkte gilt nun notwendig
f''(x)=0, also
[mm] \bruch{8x^{2}k^{2}}{(x^{2}-k^{2})^{3}}=0
[/mm]
[mm] \gdw 8x^{2}k^{2}=0 (k\not=0)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] x=0
Das ist dein potentieller Wendepunkt. Mit der dritten Ableitung prüfen! Ich schreib sie dir mal noch hin (ausrechnen musst du sie selber):
[mm] f'''(x)=-48\bruch{x^{3}k^{2}}{(x^{2}-k^{2})^{4}}+\bruch{8xk^{2}}{(x^{2}-k^{2})^{3}}
[/mm]
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Di 07.02.2006 | | Autor: | bamby |
oh nein, ich glaube es liegt ein kleines missverständnis vor:(
meine funktion ist ja [mm] x^2/(x^2-k), [/mm] also k und nicht [mm] k^2 [/mm] im Nenner...
für die ganze Hilfe bin ich natürlich trotzdem unendlich dankbar...aber weichen die Lösungen doch ein wenig ab oder?
Grüße:)
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Hallo bamby!
Okay! Dann stimmen Deine Definitionslücken mit $x \ [mm] \not= [/mm] \ [mm] \pm\wurzel{k}$ [/mm] .
Deine erste Ableitung stimmt auch, die zweite allerdings nicht!
Für die Bestimmung der Wendestellen musst Du die zweite Ableitung gleich Null setzen. Dabei ist ein Bruch genau dann gleich Null, wenn der Zähler gleich Null ist.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:14 Di 07.02.2006 | | Autor: | bamby |
dürfte ich dann noch eine frage stellen?
gilt der definitionsbereich nur für k>0?
hmm ich weiß nicht, was ich falsch mache, aber auf dem wege zur 2. ableitung komme ich immer wieder auf dieses, ja falsche, ergebnis!
Und noch eine letzte Frage und es tut mir wirklich leid, wenn ich damit auf die Nerven gehe: Es geht um das Monotonieverhalten. Wir machen dort immer jeweils Tabellen, in die wir die Faktoren des Nenners und Zählers des Bruches einsetzen und dann ob f'(x) < oder > 0 ist, ob f(x) also streng monoton steigend oder fallend ist. jedoch stocke ich bei der anderen Seite der Tabelle, in der ich k einsetzen soll, also die Werte, an den sich dessen Vorzeichen ändern könnte....
Vielleicht hat ja nochmal jemand Lust, mir zu helfen?
Vielen Dank für alle bereits erhaltenen Antworten...:)
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Liebes Bamby,
du hast also die Definitionslücken [mm] \pm \wurzel{k} [/mm] herausbekommen.
wenn du jetzt mal im Kopf k gegen Null laufen lässt, dann steht unter der Wurzel (im Radikanden) 0 und damit ist die einzige Definitionslücke 0. Wenn du negative Zahlen für k einsetzt, ist die Wurzel nicht mehr definiert und daher gibt es für k<0 keine Definitionslücken.
Bei der 2.Ableitung hast du dich wahrscheinlich verschrieben, denn ich komme auf dasselbe Ergebnis, bis auf ein kleines Minus!
Zur Monotonie:
Rechne zuerst die Extrempunkte aus und prüfe dann für jedes Stück zwischen Extremstellen und Definitionslücken genau einmal, ob dort die 1.Ableitung positiv oder negativ ist. Ist sie beispielsweise am ganz linken Ast negativ, so ist der Graph über dem Intervall ] - [mm] \infty [/mm] ; [mm] x_{e} [/mm] [ streng monoton fallend.
Mfg
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Di 07.02.2006 | | Autor: | bamby |
hmm nach mehrmaligem rechnungen beharrt mein ergebnis für die 2.ableitung auf [mm] 2k(k+3x^2)/(x^2-k)^3!!
[/mm]
was mache ich bloß falsch???
und wie siehts dann mit dem krümmungsverhalten aus?
ach ich wünschte, ich könnte das auch alles so mit links wie ihr....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Mi 08.02.2006 | | Autor: | Yuma |
Hallo Louisa,
ich habe mir nicht die ganze Diskussion durchgelesen, deshalb weiß ich nicht genau, welche Fragen noch offen sind - ursprünglich ging es doch um eine komplette Kurvendiskussion?!
> hmm nach mehrmaligem rechnungen beharrt mein ergebnis für
> die 2.ableitung auf [mm]2k(k+3x^2)/(x^2-k)^3!![/mm]
> was mache ich bloß falsch???
Du machst gar nichts falsch!!
Mein Rechner (bzw. MuPAD) gibt denselben Term aus!
> und wie siehts dann mit dem krümmungsverhalten aus?
Hast du denn schon die Wendepunkte bestimmt?
Im "langweiligen" Fall $k=0$ gibt es keine Wendepunkte.
Das gleiche gilt für $k>0$ (der Zähler von $f''(x)$ könnte nie Null werden!).
Im Fall $k<0$ hat $f''(x)$ zwei Nullstellen, nämlich [mm] $\pm\bruch{\sqrt{-3k}}{3}$.
[/mm]
Nach Einsetzen in $f'''(x)$ ergibt sich, dass es in der Tat Wendestellen sind!
Was genau musst du zum "Krümmungsverhalten" sagen?
(Das mussten wir in der Schule nie überprüfen...  )
MFG,
Yuma
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