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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Mo 07.07.2014 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Führer sie eine Kurvendiskussion der Funktion
[mm] f(X)=(\bruch{x}{x+1})^{2} [/mm] durch |
so weit so gut....
habe zuerst mal die klammer gelöst =
[mm] \bruch{x^{2}}{x^{2}+2x+1}
[/mm]
habe danach auch die nullstellen, polstellen und extrema erechnen können, aber spätestens wenn ich nun schauen will ob hochpunkt oder tiefpunkt, muss ich ja die 2. ableitung davon erstellen und dann wurde ich überfordert...
die 2. ableitung ging ja dann hoch bin [mm] x^{5}+x^{4}+x{^3}+x^{2}+x+ [/mm] absolutes glied....
und nun soll ich im ernst die 1. nullstelle erraten, damit ich mit der polinomdivision anfangen kann um diese dann so oft durchzuführen, bin ich bei [mm] x^{2} [/mm] für die PQ-formel angekommen bin ?
oder übersehe ich da was und es geht noch viel schneller ?
gruß smuji
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> Führer sie eine Kurvendiskussion der Funktion
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> [mm]f(X)=(\bruch{x}{x+1})^{2}[/mm] durch
> so weit so gut....
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> habe zuerst mal die klammer gelöst =
>
>
> [mm]\bruch{x^{2}}{x^{2}+2x+1}[/mm]
Hallo,
daß Du das getan hast, ist sehr eifrig und fleißig und daher hochlobesam - aber es ist nicht so nützlich.
Schau mal:
[mm] f(x)=\bruch{x^2}{(x+1)^2}
[/mm]
hier sehen wir sofort die Definitionslücke, wohingegen wir bei [mm] f(x)=\bruch{x^{2}}{x^{2}+2x+1} [/mm] erst über die Nullstellen des Nenners nachdenken müssen.
[mm] f'(x)=\bruch{(x+1)^2*2x-x^2*2(x+1)}{(x+1)^4}.
[/mm]
Weil ich nicht übereifri war, sehe ich gleich, daß man im Zähler (x+1) ausklammern kann:
[mm] ...=\bruch{(x+1)*[(x+1)*2x-x^2*2}{(x+1)^4}
[/mm]
kürzen
[mm] =\bruch{(x+1)*2x-x^2*2}{(x+1)^3}=\bruch{2x}{(x+1)^3}.
[/mm]
Dies macht Dir beim weiteren Ableiten und im weiteren Verlauf gewiß keine Probleme, sofern Du nicht blindlings ausmultiplizierst.
Im Zähler solltest Du bei der 2. Ableitung schließlich den Faktor [mm] (x+1)^2 [/mm] ausklammern und kürzen können, und ich vermute, daß es so dann übersichtlich genug für Deine Rechenkünste ist.
Versuch's mal!
LG Angela
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> habe danach auch die nullstellen, polstellen und extrema
> erechnen können, aber spätestens wenn ich nun schauen
> will ob hochpunkt oder tiefpunkt, muss ich ja die 2.
> ableitung davon erstellen und dann wurde ich
> überfordert...
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> die 2. ableitung ging ja dann hoch bin
> [mm]x^{5}+x^{4}+x{^3}+x^{2}+x+[/mm] absolutes glied....
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> und nun soll ich im ernst die 1. nullstelle erraten, damit
> ich mit der polinomdivision anfangen kann um diese dann so
> oft durchzuführen, bin ich bei [mm]x^{2}[/mm] für die PQ-formel
> angekommen bin ?
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> oder übersehe ich da was und es geht noch viel schneller
> ?
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> gruß smuji
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:22 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
vielen dank für deine hilfe.
nochmal eine frage...wenn ich eine aufgabe habe wie diese und er möchte die extrema und wendestellen, ist dann automatisch auch danach gefragt, ob es minimum oder maximums sind ? und ob die wendestelle links oder rechts rum geht ?
zudem, wenn ich die wendestellen habe und diese in die 3. ableitung einsetze, was erhalte ich nochmal wenn
Wp >0
Wp < 0
Wp = 0
????
gruß smuji
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Hallo!
Man kann sich auf den Standpunkt stellen, daß ja "nur" nach Extrema und Wendestellen gesucht wird. Andererseits ist damit meist implizit auch nach der Art gefragt. Von daher ist es besser, auch die anzugeben - es sei denn, du kannst ganz sicher sagen, daß nur nach der Existenz (und ggf. Koordinate) gefragt ist.
Nebenbei ist es nicht immer erforderlich, das zwingend bis zum Ende auszurechnen, wenn du schon recht genaue Vorstellungen vom Aussehen der Funktion hast.
Beispiel:
Du weißt, daß eine Funktion eine Polstelle hat. Und zwar so, daß sie rechts davon aus dem postiv unendlichen herunter kommt. Danach kommt eine Nullstelle, ein Extremum, und dann strebt die Funktion asymptotisch gegen die x-Achse. Nun, um was für ein Extrema und WP handelt es sich?
-> Das Extremum muß ein Minumum sein, denn die Funktion verläuft nach der Nullstelle unterhalb der Achse, und muß wieder hoch. Die nachfolgende Wendestelle muß links-rechts sein, damit das mit dem asymptotischen Verhalten passt.
Zur anderen Frage: Mach dir klar, was an einem Wendepunkt mit der Ableitung passiert! Und mit der Ableitung der Ableitung. Und mit der Ableitung der Ableitung der Ableitung. Soll heißen: Zeichne einfach mal eine Funktion mit Wendepunkt, und zeichne dann qualitativ die Ableitungen. Dann kommst du drauf.
Alternativ: Rechne es mal für ein einfaches, klares Beispiel. [mm] x^3+x [/mm] hat einen Wendepunkt (aber keinen Sattelpunkt) bei (0|0). Was für eine Wendestelle hat das? Und wie sieht die 3. Ableitung aus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
es ist nur ein wendepunkt wenn f''' ungleich 0 ist....
wenn w1 = < 0 = rechtskurve
wenn w1 = > 0 = linkskurve....
liege ich richtig ?
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Hallo Smuji,
> es ist nur ein wendepunkt wenn f''' ungleich 0 ist....
>
> wenn w1 = < 0 = rechtskurve
> wenn w1 = > 0 = linkskurve....
>
Die zweite Ableitung ist dafür zuständig,
um anzugeben, ob es sich um eine
Links- oder Rechtskurve handelt.
>
> liege ich richtig ?
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:15 So 27.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> es ist nur ein wendepunkt wenn f''' ungleich 0 ist....
Eigentlich nicht, in der Schulmathematik aber meist doch.
Grundsätzlich liegt an einer Stelle [mm] x_0 [/mm] ein Wendepunkt vor, wenn eine Ableitung von ungerader Ordnung $n$ an der Stelle [mm] x_0 [/mm] verschieden von Null ist und alle Ableitungen mit Ordnung $k$ mit [mm] $2\le{k}
Ist also die zweite, dritte und vierte Ableitung an einer Stelle Null, die fünfte aber nicht, so handelt es sich auch um einen Wendepunkt (höherer Ordnung).
Je mehr Ableitungen an der Stelle zu Null werden, desto "gerader" verläuft der Graph an der Stelle. So etwas möchte man zum Beispiel in der Kinematik haben, wenn es um "Geradführungen" geht. Dort wird man allerdings Kurvenverläufe favorisieren, bei denen "erste" von Null verschiedene Ableitung mit Ordnung größer 2 von gerader Ordnung ist (Flachpunkt, kein Wendepunkt).
> wenn w1 = < 0 = rechtskurve
> wenn w1 = > 0 = linkskurve....
>
> liege ich richtig ?
Keine Ahnung. Was sollen den w1 und die ganzen = bedeuten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ich möchte doch einfach nur wissen, ob ich damit richtig liege,
wenn der lehrer fragt, um welche art von wendepunkt es sich handelt, sprich links rum oder rechts rum, dass ich die 3. ableitung bilde, den x-wert des wendepunktes dort einsetze
und wenn das ergebnis kleiner als 0 ist, haben wir eine "biegung" nach rechts und wenn es größer als 0 ist, geht die wendung nach links..... oder ist es genau anders rum ?
gruß smuji
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:36 So 27.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> ich möchte doch einfach nur wissen, ob ich damit richtig
> liege,
Deine Frage war u.a.
> > es ist nur ein wendepunkt wenn f''' ungleich 0 ist....
und darauf war meine Antwort nein.
Der zweite Teil deiner Frage war leider völlig unverständlich formuliert.
> wenn der lehrer fragt, um welche art von wendepunkt es sich
> handelt, sprich links rum oder rechts rum, dass ich die 3.
> ableitung bilde, den x-wert des wendepunktes dort einsetze
>
> und wenn das ergebnis kleiner als 0 ist, haben wir eine
> "biegung" nach rechts und wenn es größer als 0 ist, geht
> die wendung nach links..... oder ist es genau anders rum ?
>
Was um Gottes Willen meinst du mit "links rum" oder "biegung nach rechts".
In einem Wendepunkt hältst du das Lenkrad ganz kurz in der Mittelstellung. Die Frage kann doch nur sein, ob du bei einer Fahrt in positiver Abszissenrichtung von einer Links- in einer Rechtskurve kommst oder umgekehrt.
Oder hab ich da wieder etwas Essentielles an deiner Frage übersehen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
ok, die kurve befindet sich bsp. in einer linkskurve, diese kurve wird immer gerade, bis sie über geht in eine gerade und genau da ist der wendepunkt...
nun kann man doch anhand des wertes sehen, ob es ein links/rechts wendepunkte ist oder eine rechts/links wendepunkt.... ist der wert den ich durch das einsetzen in die 3. ableitung erhalte kleiner als 0, ist es ein links/rechts - wendepunkt ? oder rechts/links ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 So 27.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> ok, die kurve befindet sich bsp. in einer linkskurve, diese
> kurve wird immer gerade, bis sie über geht in eine gerade
> und genau da ist der wendepunkt...
Wollen wir diese Formulierung einmal kommentarlos so stehen lassen.
>
>
> nun kann man doch anhand des wertes sehen, ob es ein
> links/rechts wendepunkte ist oder eine rechts/links
> wendepunkt.... ist der wert den ich durch das einsetzen in
> die 3. ableitung erhalte kleiner als 0, ist es ein
> links/rechts - wendepunkt ? oder rechts/links ?
links/rechts
Aber statt dir das als "Formel" einzubläuen ist es zeckmäßiger, sich darüber im Klaren zu werden, was eine Ableitung eigentlich angibt. Und das ist schlicht und einfach eine Änderung.
So gibt eben die zweite Ableitung die Änderung der Steigung (1.Ableitung) an. Ist die zweite Ableitung positiv, so bedeutet das, dass die Steigung größer wird (hier und im Folgenden immer vorausgesetzt, dass die Kurve in Richtung steigender Abszissenwerte durchlaufen wird). Wenn die Steigung größer wird ist aber doch auch anschaulich klar, dass es sich um eine Linkskurve handeln muss (stell dir dazu einfach die Tangente vor, die muss bei wachsender Steigung eine Drehung im Gegenuhrzeigersinn vollführen).
Im Falle eine Linkskurve/Rechtskurve Kombination bei einem Wendepunkt müssen wir also links vom Wendepunkt eine positive zweite Ableitung haben, rechts davon eine negative. Der Wert der zweiten Ableitung nimmt also ab! Wer liefert ein Maß für die Änderung dieser zweiten Ableitung? Richtig! Die dritte Ableitung. Welchen Wert hat die dritte Ableitung bei abnehmender zweiter Ableitung? Kann ja wohl nur negativ sein.
Umgekehrt ist im Falle eine Recht-/Linkskurve die zweite Ableitung erst negativ und dann positiv, nimmt also zu und daher wird die dritte Ableitung wohl positiv sein.
All das Vorangegangene setzt voraus, dass an der betrachteten Stelle die zweite Ableitung Null und die dritte Ableitung ungleich Null ist, es sich also nicht um einen Wende- oder Flachpunkt höherer Ordnung handelt.
RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 So 27.07.2014 | | Autor: | Smuji |
prima. vielen dank !!!
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