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Kurvendiskussion ln-Fkt.: x/lnx
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:59 Fr 29.12.2006
Autor: RalU

Aufgabe
Es soll eine Kurvendiskussion für [mm] f(x)=\bruch{x}{lnx} [/mm] durchgeführt werden.
i) D(f)
ii) Symmetrie
iii) Stetigkeit
iv) Nullstellen, Polstellen, Lücken
v)Diffbarkeit und Ableitungen (1. bis 3.)
vi)Grenzwerte
vii)Extrema
viii) Wendepunkte
ix)Monotonie
x) Krümmunsintervalle
xi) Skizze

folgendes hab ich durchgeführt:

i) [mm] D(f)=\IR\setminus{1} [/mm]

ii)Symmetrie: nicht erkennbar

iii) Stetigkeit:
[mm] f(x)=\bruch{x}{lnx}=x*\bruch{1}{lnx} [/mm]
-> als Produkt zweier stetiger Funktionen ist f(x) in (0,1) [mm] \cup (1,+\infty) [/mm] stetig.

iv) Nullstellen des Zählers:  xn=0;
    Nullstellen des Nenners (Polstellen): ln x= 0
-> xp=0 (wie erwartet Pol bei x = 0)

Nullstellen des Zählers = Nullstellen des Nenners, also hat f(x) in x=0 auch eine Lücke.

v) Diff.barkeit und Ableitungen

f(x) ist im gesamten Definitionsbereich differentierbar:

1. Ableitung:
[mm] f'(x)=\bruch{1*lnx-x*{\bruch{1}{x}}}{(lnx)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{lnx-1}{(lnx)^{2}} [/mm]

[mm] f''(x)=\bruch{\bruch{1}{x}*(lnx)^{2}-(lnx-1)*\bruch{1}{x}*2}{(lnx)^{3}} [/mm]

Wie kann man das jetz am besten zusammenfassen, um noch eine ordentliche 3. Ableitung durchführen zu können?

        
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Fr 29.12.2006
Autor: Loddar

Hallo RalU!


> i) [mm]D(f)=\IR\setminus{1}[/mm]

[notok] Was ist mit den negativen Zahlen? Schließlich ist [mm] $\ln(x)$ [/mm] nur für [mm] $\IR^+$ [/mm] definiert.

  

> ii)Symmetrie: nicht erkennbar

[ok]

  

> iii) Stetigkeit:
> [mm]f(x)=\bruch{x}{lnx}=x*\bruch{1}{lnx}[/mm]
>  -> als Produkt zweier stetiger Funktionen ist f(x) in

> (0,1) [mm]\cup (1,+\infty)[/mm] stetig.

[ok]

  

> iv) Nullstellen des Zählers:  xn=0;

[ok]


>      Nullstellen des Nenners (Polstellen): ln x= 0
>  -> xp=0 (wie erwartet Pol bei x = 0)

[notok]  [mm] $\ln(x) [/mm] \ = \ 0$    [mm] $\gdw$ [/mm]    $x \ = \ [mm] \red{1}$ [/mm]


> Nullstellen des Zählers = Nullstellen des Nenners, also hat
> f(x) in x=0 auch eine Lücke.

[notok] Der Satz ist damit ja hinfällig.

  

> v) Diff.barkeit und Ableitungen
>  
> f(x) ist im gesamten Definitionsbereich differentierbar:
>  
> 1. Ableitung:
> [mm]f'(x)=\bruch{1*lnx-x*{\bruch{1}{x}}}{(lnx)^{2}}[/mm] = [mm]\bruch{lnx-1}{(lnx)^{2}}[/mm]

[ok]

  

> [mm]f''(x)=\bruch{\bruch{1}{x}*(lnx)^{2}-(lnx-1)*\bruch{1}{x}*2}{(lnx)^{3}}[/mm]

[notok] Hier fehlt noch ein Teil der Ableitung für [mm] $\ln^2(x)$ [/mm] :

[mm] $\left[ \ \ln^2(x) \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] 2*\red{\ln^1(x)}*\bruch{1}{x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2*\ln(x)}{x}$ [/mm]



> Wie kann man das jetz am besten zusammenfassen, um noch
> eine ordentliche 3. Ableitung durchführen zu können?

Die (dann richtigen) Klammern ausmultiplizieren und im Zähler zusammenfassen.


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:27 Fr 29.12.2006
Autor: baufux

Also ich denke, dass bei Punkt iii) nach der Stetigkeit auf dem ganzen Definitionsbereich gefragt ist.
Deine Antwort ist zwar richtig, wenn man deine Einschränkung macht, aber auf dem gesamten Definitonsbereich [mm] \IR^{+} \backslash \{1\}[/mm] ist die Funktion unstetig.

Bei der v) würde ich dann noch ln(x) kürzen bevor du ausmultiplizierst.


Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: Stetigkeit
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:54 Fr 29.12.2006
Autor: RalU

zur Stetigkeit nochmal:

also wenn ich sage, f(x) ist in [mm] (0;1)\cup(1;+\infty) [/mm] stetig, dann meine ich doch, f(x) ist in [mm] D(f)=\IR^{+}\setminus \{1\} [/mm] stetig.

Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: unstetig?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:05 Sa 30.12.2006
Autor: Loddar

Hallo Baufux!


> aber auf dem gesamten Definitonsbereich [mm]\IR^{+} \backslash \{1\}[/mm] ist die Funktion
> unstetig.

[aeh] Das irritiert mich gerade ... warum soll die Funktion auf dem gesamten Definitionsbereich unstetig sein?

Die Funktion ist doch wunderbarst stetig ...

[Dateianhang nicht öffentlich]


Gruß
Loddar


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:42 Fr 29.12.2006
Autor: RalU

Aufgabe
Ach, beim Definitionsbereich hab ich mich verschrieben, das sollte [mm] D(f)=\IR^{+}\setminus{0} [/mm] heißen.

ok, Polstelle war natürlich falsch.

lnx=0 -> ok, wenn ich für x da 1 einsetze, krieg ich als Funktionswert 0, klar.
und damit natürlich auch keine Lücken.

ok, nochmal Ansatz für die 2. Ableitung:

[mm] f''(x)=\bruch{\bruch{1}{x}\cdot{}(lnx)^{2}-(lnx-1)\cdot{}\bruch{1}{x}\cdot{}2*(lnx)}{(lnx)^{3}}= [/mm]

[mm] =\bruch{\bruch{(lnx)^{2}}{x}-(lnx-1)\cdot{}\bruch{2*(lnx)}{x}}{(lnx)^{3}} [/mm]

[mm] =\bruch{\bruch{lnx*lnx}{x}-(lnx-1)\cdot{}\bruch{2*(lnx)}{x}}{(lnx)^{3}}= [/mm]

jetzt kann ich höchstens noch lnx ausklammern:

[mm] =\bruch{\bruch{lnx(\bruch{lnx}{x}-\bruch{2}{x})-lnx-1}}{(lnx)^{3}} [/mm]

bringt mich aber wohl nicht weiter...

Bezug
                        
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:07 Fr 29.12.2006
Autor: baufux

Hallo schau dir das mal an:

[mm] \bruch{\bruch{lnx\cdot{}lnx}{x}-(lnx-1)\cdot{}\bruch{2\cdot{}(lnx)}{x}}{(lnx)^{4}} = [/mm]

[mm] = \bruch{\bruch{lnx*lnx-(lnx-1)*2*(lnx)}{x}}{(lnx)^{4} = [/mm]

Jetz lnx ausklammern und kürzen:

[mm] = \bruch{\bruch{lnx-(lnx-1)*2}{x}}{(lnx)^{3}} = [/mm]

Und nun alles auf einen Bruchstrich schreiben:

[mm] = \bruch{lnx-(lnx-1)*2}{x*(lnx)^{3}} = [/mm]

Nun ausmultiplizieren:

[mm] = \bruch{2-lnx}{x*(lnx)^{3}}[/mm]

Grüße Baufux

Bezug
                                
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Fr 29.12.2006
Autor: RalU

Aufgabe
ok, ich weiß, was du meinst, aber ich kann da etwas nicht ganz nachvollziehen:

[mm] \bruch{\bruch{lnx\cdot{}lnx}{x}-(lnx-1)\cdot{}\bruch{2\cdot{}(lnx)}{x}}{(lnx)^{3}} [/mm]

[mm] \bruch{\bruch{lnx\cdot{}lnx-(lnx-1)\cdot{}2\cdot{}(lnx)}{x}}{(lnx)^{3}} [/mm]

irgendwie komm ich auf folgendes, wenn ich ln x ausklammer:

[mm] \bruch{\bruch{lnx(lnx-1-\bruch{1}{lnx})*2}{x}}{(lnx)^{3}} [/mm]


Bezug
                                        
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:09 Fr 29.12.2006
Autor: baufux

Ich schreibe jetzt mal nur den Zähler des Zählers hin, weil der Rest fürs auklammern ja egal ist:

[mm] (ln(x))^ {2}-(ln(x)-1)*2*ln(x) [/mm]

Jetzt kann man entweder erst alles ausmultiplizieren und dann ln(x) ausklammern oder man betrachtet einfach die Differenz und klammert aus dieser ln(x) aus.

Wenn man es ausmultipliziert und anschließend ausklammert bekommt man:

[mm] (ln(x))^{2} - 2*(ln(x))^{2}+2*ln(x) = ln(x)*(ln(x)-2*ln(x)+2) = ln(x)*(2-ln(x))[/mm]

Das ln(x)-1 steht ja in Klammern, denke da liegt dein Denkfehler.

Wenn man dein Lösung wieder ausmultipliziert kommt man auf:

[mm] 2*(lnx)^{2}-2*lnx-2 [/mm] und das ist ungleich dem was beim ausmultiplizieren 3 zeilen weiter oben als erstes steht.

Außerdem ist mir gerade aufgefallen, dass im Nenner vor dem kürzen hoch 4 stehen muss, nach dem kürzen dann hoch 3 habs im vorigen post ausgebessert.

Bezug
                                                
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: 3. Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:09 Sa 30.12.2006
Autor: RalU

Aufgabe
ok, mit der 2. Ableitung hab ich jetz soweit alles verstanden.
Fehlt noch die 3.

geg. war ja: [mm] f''(x)=\bruch{2-lnx}{(x*lnx)^{3}} [/mm]

->
[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-1}{x}*(x*lnx)^{3}-(2-lnx)*3(1*lnx+x*\bruch{1}{x})^{2}}{(x*lnx)^{6}} [/mm]

[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-(x*lnx)^{3}}{x}-(2-lnx)*3(lnx+1)^{2}}{(x*lnx)^{6}} [/mm]

[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-(x*lnx)^{3}}{x}-(2-lnx)*3(lnx^{2}+2lnx+1)}{(x*lnx)^{6}} [/mm]

[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-(x*lnx)^{3}}{x}-(2-lnx)*(3lnx^{2}+6lnx+3)}{(x*lnx)^{6}} [/mm]

[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-(x*lnx)^{3}}{x}-6lnx^{2}-12lnx-6+3lnx^{3}+6lnx^{2}+3lnx}{(x*lnx)^{6}} [/mm]

[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-(x*lnx)^{3}}{x}-9lnx-6+3lnx^{3}}{(x*lnx)^{6}} [/mm]

[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-1}{x}*(x*lnx)^{3}+3lnx^{3}-9lnx-6}{(x*lnx)^{6}} [/mm]

die beiden Brüche im Zähler gleichnamig machen:
[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-1}{x}*(x*lnx)^{3}+(3lnx^{3}-9lnx-6)*\bruch{x}{x}}{(x*lnx)^{6}} [/mm]

[mm] f(x)'''=\bruch{\bruch{-(x*lnx)^{3}+(3lnx^{3}-9lnx-6)*x}{x}}{(x*lnx)^{6}} [/mm]

Nenner mit Kehrwert mult.:
[mm] f(x)'''=\bruch{-1*(x*lnx)^{3}+(3lnx^{3}-9lnx-6)*x}{x*(x*lnx)^{6}} [/mm]

[mm] f(x)'''=\bruch{-1+(3lnx^{3}-9lnx-6)}{(x*lnx)^{3}} [/mm]

[mm] f(x)'''=\bruch{3lnx^{3}-9lnx-7}{(x*lnx)^{3}} [/mm]


Ist die Lösung so korrekt?

Bezug
                                                        
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: noch 2. Ableitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:32 Sa 30.12.2006
Autor: Loddar

Hallo RalU!


Ich habe aber eine etwas andere 2. Ableitung $f''(x)_$ erhalten.
Denn im Nenner steht nur [mm] $x^{\red{1}} [/mm] \ = \ x$ und nicht [mm] $x^3$ [/mm] :

[mm]f''(x) \ = \ \bruch{2-\ln x}{x*(\ln x)^3} \ = \ \bruch{2-\ln x}{x*\ln^3 x}[/mm]

Damit verändert (vereinfacht) sich auch Deine 3. Ableitung.


Hier mal mein Kontrollergebnis (bitte nachrechnen, da ohne Gewähr):  $f'''(x) \ = \ [mm] \bruch{\ln^2 x -6}{x^2*\ln^4 x}$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:48 Sa 30.12.2006
Autor: RalU

Aufgabe
Ja, hab den Fehler unten im Nenner der 2. Ableitung auch bemerkt.

Allerdings komme ich nicht so ganz auf deine Lösung für die 3. Ableitung.

Mein Ansatz:

[mm] f(x)'''=\bruch{-\bruch{1}{x}*(x*lnx^{3})-(2-lnx)*(1*lnx^{3}+x*\bruch{1}{x}*3)}{(x*lnx^{3})^{2}} [/mm]

[mm] f(x)'''=\bruch{-\bruch{1}{x}*(x*lnx^{3})-(2-lnx)*(lnx^{3}+x*\bruch{3}{x})}{x^{2}*lnx^{6}} [/mm]

[mm] f(x)'''=\bruch{-\bruch{1*(x*lnx^{3})}{x}-2lnx^{3}-\bruch{6x}{x}+lnx^{4}+\bruch{3x*lnx}{x}}{x^{2}*lnx^{6}} [/mm]

Jetzt will ich den Zähler gleichnamig machen:

[mm] f(x)'''=\bruch{-\bruch{1*(x*lnx^{3})}{x}-2lnx^{3}*\bruch{x}{x}-\bruch{6x}{x}+lnx^{4}*\bruch{x}{x}+\bruch{3x*lnx}{x}}{x^{2}*lnx^{6}} [/mm]

[mm] f(x)'''=\bruch{-\bruch{1*(x*lnx^{3})-2lnx^{3}*x-6x+lnx^{4}*x+3x*lnx}{x}}{x^{2}*lnx^{6}} [/mm]

jetzt unteren Nenner mit Kehrwert mult.:
[mm] f(x)'''=-\bruch{1*(x*lnx^{3})-2lnx^{3}*x-6x+lnx^{4}*x+3x*lnx}{x*x^{2}*lnx^{6}} [/mm]

jetz häng ich fest... kürzen geht noch nicht, weil ich im Zähler immer noch eine Summe habe... ich könnte höchstens (lnx * x) ausklammern und dann kürzen, aber dann komme ich auf ein anderes Ergebnis...

Bezug
                                                                        
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: derselbe Fehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:59 Sa 30.12.2006
Autor: Loddar

Hallo RalU!


Du machst denselben Fehler wie weiter oben bereits bei der äußeren Ableitung des Terms [mm] $\ln^3x [/mm] \ = \ [mm] \left(\ln x\right)^3$ [/mm] :


[mm] $\left[ \ \left(\ln x\right)^3 \ \right]' [/mm] \ = \ [mm] 3*\red{\left(\ln x\right)^2}*\bruch{1}{x}$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:01 Sa 30.12.2006
Autor: RalU

Aufgabe
ok, die Kettenregel hats mir angetan...Fehler hab ich eingesehen...
allerdings komm ich trotzdem nicht weiter...

irgendwann steht bei mir:

[mm] f'''(x)=\bruch{\bruch{-1}{x}*(x*lnx^{3})-(2-lnx)*(lnx^{3}+\bruch{3x}{x})}{(x*lnx^{3})^{2}} [/mm]

[mm] f'''(x)=\bruch{\bruch{-1*(x*lnx^{3})}{x}-2*lnx^{3}-\bruch{6x}{x}+lnx^{4}+\bruch{3x*lnx}{x}}{x^{2}*lnx^{6}} [/mm]

jetz mit x erweitern, um den Zähler als einen Bruch darzustellen:
[mm] f'''(x)=\bruch{\bruch{-1*(x*lnx^{3})-2*lnx^{3}*x-6x+lnx^{4}*x+3x*lnx}{x}}{x^{2}*lnx^{6}} [/mm]

wenn ich jetz mit dem Kehrwert des untersten Nenners mult., kann ich aber noch nicht kürzen, weil ich oben im Zähler noch eine Summe habe und ausklammern kann ich nur lnx und x.

Bezug
                                                                                        
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: immer noch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:20 Sa 30.12.2006
Autor: Loddar

Hallo RalU!


> ok, die Kettenregel hats mir angetan...Fehler hab ich eingesehen...

Und warum setzt Du das dann nicht um in Deiner Rechnung?? [kopfkratz3]


[mm]f'''(x) \ = \ \bruch{-\bruch{1}{x}*\left(x*\ln^3x\right)-(2-\ln x)*\left(1*\ln^3x+x*\bruch{3*\red{\ln^2 x}}{x}\right)}{\left(x*\ln^3 x\right)^{2}} \ = \ ...[/mm]


Gruß
Loddar


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Kurvendiskussion ln-Fkt.: noch nicht ganz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:44 Sa 30.12.2006
Autor: RalU

Aufgabe
ok, hab wohl versehentlich wieder falsch gerechnet...


Ich mach mal da weiter...

[mm] f(x)'''=\bruch{-\bruch{1}{x}\cdot{}\left(x\cdot{}\ln^3x\right)-(2-\ln x)\cdot{}\left(1\cdot{}\ln^3x+x\cdot{}\bruch{3\cdot{}\\ln^2 x}{x}\right)}{\left(x\cdot{}\ln^3 x\right)^{2}} [/mm]

jetzt vereinfachen und die linke Klammer im Zähler ausmultiplizieren...

[mm] f(x)'''=\bruch{-\bruch{1*(x\cdot{}\ln^3x)}{x}-(2-lnx)*(\bruch{lnx}{x}+\bruch{3*lnx^{2}*x}{x})}{x^{2}*lnx^{6}} [/mm]

[mm] f(x)'''=\bruch{-\bruch{1*(x\cdot{}\ln^3x)}{x}-\bruch{2*lnx}{x}-\bruch{6lnx^{2}*x}{x}+\bruch{lnx^{2}}{x}+\bruch{3*lnx^{3}*x}{x}}{x^{2}*lnx^{6}} [/mm]

jetzt alles im Zähler als einen Bruch schreiben und mit Kehrwert des Nenners multiplizieren.

[mm] f(x)'''=\bruch{-1*(x\cdot{}\ln^3x)-2*lnx-6lnx^{2}*x+lnx^{2}+3*lnx^{3}*x}{x*x^{2}*lnx^{6}} [/mm]

wie gehts jetzt weiter? Ich kann doch da höchstens lnx ausklammern...

Bezug
                                                                                                        
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: ausmultipliziert?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:04 Sa 30.12.2006
Autor: Loddar

Hallo RalU!


Was bzw. wie hast Du denn hier etwas in der Klammer ausmultipliziert? Wo kommt denn da plötzlich noch der [mm] $\bruch{...}{x}$-Term [/mm] her?


Fassen wir doch einfach mal zunächst etwas zusammen (kürzen):

[mm]f'''(x) \ = \ \bruch{-\bruch{1}{x}\cdot{}\left(x\cdot{}\ln^3x\right)-(2-\ln x)\cdot{}\left(1\cdot{}\ln^3x+x\cdot{}\bruch{3\cdot{}\ln^2 x}{x}\right)}{\left(x\cdot{}\ln^3 x\right)^{2}}[/mm]

$= \ [mm] \bruch{-\ln^3x-(2-\ln x)\cdot{}\left(\ln^3x+3\cdot{}\ln^2 x\right)}{x^2\cdot{}\ln^6 x}$ [/mm]

Nun klammern wir mal zunächst [mm] $\ln^2x$ [/mm] aus:

$= \ [mm] \bruch{\ln^2x*\left[-\ln x-(2-\ln x)\cdot{}\left(\ln x+3\cdot{}1\right)\right]}{x^2\cdot{}\ln^6 x}$ [/mm]

Kürzen:

$= \ [mm] \bruch{-\ln x-(2-\ln x)\cdot{}\left(\ln x+3\right)}{x^2\cdot{}\ln^4 x}$ [/mm]


Nun die Klammer ausmultiplizieren ...


Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                                                
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: Alles klar
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:28 Di 02.01.2007
Autor: RalU

Hallo und erst mal ein frohes neues Jahr!

Ich habs jetzt verstanden bin auf das gleiche Ergebnis gekommen, was Du als Musterlösung hier angegeben hast.
Denke, mein Ansatz, den Zähler gleichnamig zu machen, war der falsche.

Bezug
        
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: Grenzwerte und Extrema
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 Sa 30.12.2006
Autor: RalU

Aufgabe
Habe schonmal die Grenzwerte (Verhalten im Unendlichen und am Pol) und die Extrema berechnet.

vi) Grenzwerte:
Verhalten im Unendlichen:

(x gegen - [mm] \infty): [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{lnx}nicht [/mm] definiert.

(x gegen + [mm] \infty): [/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x}{lnx}="\bruch{+\infty}{+\infty}=(L'Hospital) [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{\bruch{1}{x}}= [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow\infty}x=+\infty [/mm]

Verhalten am Pol:

(x gegen [mm] 1-\Delta): [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 1-}\bruch{x}{lnx} [/mm]
-> da lnx an der Stelle [mm] x=1-\Delta [/mm] x<0, ist der gesamte Ausdruck <0, also negativ und nahe bei der 0, also [mm] 0^{-}. [/mm]

(x gegen [mm] 1+\Delta): [/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow 1+}\bruch{x}{lnx} [/mm]
-> da lnx an der Stelle [mm] x=1+\Delta [/mm] x>0, ist der gesamte Ausdruck >0, also postiv und nahe bei der 0, also [mm] 0^{+} [/mm]


vii) Extrema:

f(x)'=0
[mm] \bruch {lnx-1}{lnx^{2}}=0 [/mm]
-> lnx - 1 = 0
-> [mm] e^{lnx}-e{1}=0 [/mm]
    x-e=0
    xe1=e (~2,7)

f(xe1)''!=0
[mm] \bruch{2-ln e}{e*ln e^{3}}=\bruch{2-1}{e*ln e^{3}}=\bruch{1}{ln e^{3}}>0, [/mm] also Tiefpunkt in xe1=e, Koordinaten TP1(e, e)

Stimmt das alles soweit?


Bezug
                
Bezug
Kurvendiskussion ln-Fkt.: Grenzwerte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:28 Sa 30.12.2006
Autor: Loddar

Hallo RalU!


> vi) Grenzwerte:
> Verhalten im Unendlichen:
>  
> (x gegen - [mm]\infty):[/mm]  [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty} \bruch{x}{lnx}[/mm] nicht definiert.

[ok] Dafür solltest Du aber den Definitionsrand [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ ; sprich den Grenzwert [mm] $\limes_{x\rightarrow 0+}f(x)$ [/mm] betrachten und ermitteln.

  

> (x gegen + [mm]\infty):[/mm]
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{x}{lnx}="\bruch{+\infty}{+\infty}=(L'Hospital)[/mm]
>  [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{\bruch{1}{x}}=[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{x\rightarrow\infty}x=+\infty[/mm]

[ok] Richtig!

  

> Verhalten am Pol:
>  
> (x gegen [mm]1-\Delta):[/mm]
>  [mm]=\limes_{x\rightarrow 1-}\bruch{x}{lnx}[/mm]
>  -> da lnx an der

> Stelle [mm]x=1-\Delta[/mm] x<0, ist der gesamte Ausdruck <0, also
> negativ und nahe bei der 0, also [mm]0^{-}.[/mm]
>  
> (x gegen [mm]1+\Delta):[/mm]
>  [mm]=\limes_{x\rightarrow 1+}\bruch{x}{lnx}[/mm]
>  -> da lnx an der

> Stelle [mm]x=1+\Delta[/mm] x>0, ist der gesamte Ausdruck >0, also
> postiv und nahe bei der 0, also [mm]0^{+}[/mm]

Die Argumente klingen gut. Aber was heißt das nun für das Verhalten / die Grenzwerte links bzw. rechts des Poles [mm] $x_p [/mm] \ = \ 1$ ?


Gruß
Loddar


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Kurvendiskussion ln-Fkt.: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:43 Sa 30.12.2006
Autor: RalU

Aufgabe
ok, das heißt natürlich, das dort (am Pol) ein VZW vorliegt von - nach +.

richtig?

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Kurvendiskussion ln-Fkt.: Richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:04 Sa 30.12.2006
Autor: Loddar

Hallo RalU!


[ok] , wie Du auch an dieser Skizze erkennen kannst.


Gruß
Loddar


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Kurvendiskussion ln-Fkt.: Extrema
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:34 Sa 30.12.2006
Autor: Loddar

Hallo RalU!


> vii) Extrema:
>  
> f(x)'=0
>  [mm]\bruch {lnx-1}{lnx^{2}}=0[/mm]
>  -> lnx - 1 = 0

>  -> [mm]e^{lnx}-e{1}=0[/mm]

[notok] [notok] [notok] Dieser Schritt ist absolut falsch.

Du kannst nicht eine Summe gliedweise "e hoch nehmen".

Stelle erst um nach: [mm] $\ln [/mm] x \ = \ 1$    [mm] $\gdw$ $e^{\ln x} [/mm] \ = \ [mm] e^1$ $\gdw$ $x_e [/mm] \ = \ e$



> f(xe1)''!=0
>  [mm]\bruch{2-ln e}{e*ln e^{3}}=\bruch{2-1}{e*ln e^{3}}=\bruch{1}{ln e^{3}}>0,[/mm]

Prinzipiell richtig. Allerdings solltest Du den letzten Term noch ermitteln (und auch anders darstellen):

[mm] $\bruch{2-\ln e}{e*\ln^3 e} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2-1}{e*1^3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e} [/mm] \ > \ 0$


> also Tiefpunkt in xe1=e, Koordinaten TP1(e, e)

[ok]


Gruß
Loddar


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Kurvendiskussion ln-Fkt.: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:07 Sa 30.12.2006
Autor: Stefan-auchLotti

[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$ [/mm]

[mm] $\rmfamily \text{Wollte noch eine Anmerkung machen.}$ [/mm]

[mm] $\rmfamily \text{Wenn man }\bruch{x}{\ln x}\text{ umschreibt zu }x*\ln^{-1}x\text{ kann man die Quotientenregel}$ [/mm]

[mm] $\rmfamily \text{getrost vergessen und sich somit eine Menge Arbeit ersparen.}$ [/mm]

[mm] $\rmfamily f\left(x\right)=x*\ln^{-1}x \Rightarrow f'\left(x\right)=\ln^{-1}x+x*\ln^{-2}x*\left(-1\right)*\bruch{1}{x}=\ln^{-1}x-\ln^{-2}x\Rightarrow f''\left(x\right)=\dots$ [/mm]

[mm] $\rmfamily \text{Guten Rutsch euch allen,}$ [/mm]

[mm] $\rmfamily \text{Stefan.}$ [/mm]



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Kurvendiskussion ln-Fkt.: Monotonie
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:09 Sa 30.12.2006
Autor: RalU

Aufgabe
ix) Monotonie

ich betrachte Funktionswerte der 1. Ableitung in den folgenden Intervallen:

(0;1): streng monoton fallend
(1;e): streng monoton fallend
[mm] (e;+\infty): [/mm] streng monoton wachsend

(streng mon. fallend: immer dann, wenn Funktionswert der 1. Abl.<0)
(streng mon. wachsend: immer dann, wenn Funktionswert der 1. Abl. >0)
so korrekt?

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Kurvendiskussion ln-Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:08 Sa 30.12.2006
Autor: M.Rex

Hallo

> ix) Monotonie
>  ich betrachte Funktionswerte der 1. Ableitung in den
> folgenden Intervallen:
>  
> (0;1): streng monoton fallend
>  (1;e): streng monoton fallend
>  [mm](e;+\infty):[/mm] streng monoton wachsend
>  
> (streng mon. fallend: immer dann, wenn Funktionswert der 1.
> Abl.<0)
>  (streng mon. wachsend: immer dann, wenn Funktionswert der
> 1. Abl. >0)
>  so korrekt?

Yep, korrekt. Genauso funkioniert es

Marius


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Kurvendiskussion ln-Fkt.: Wendepunkte und Krümmung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:16 Di 02.01.2007
Autor: RalU

Aufgabe
jetzt fehlt noch Wendepunkte und Krümmung:

viii) Wendepunkte:

f''(x)=0
-> 2-lnx=0
-lnx=-2 |*(-1)
lnx=2 |e
[mm] e^{lnx}=e^{2}\approx7,4 [/mm]
-> [mm] xw=e^{2}\approx [/mm] 7,4


f'''(x)!=0
[mm] \bruch{-6+ln^{2}e^{2}}{e^{2}*ln^{4}e^{2}}\approx0 [/mm]


allerdings bin ich etwas stutzig bezüglich des Zeichens [mm] \approx [/mm]
Aber laut Skizze des Graphen liegt eigentlich kein WP vor, oder?

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Kurvendiskussion ln-Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:26 Di 02.01.2007
Autor: M.Rex

Hallo

> jetzt fehlt noch Wendepunkte und Krümmung:
>  viii) Wendepunkte:
>  
> f''(x)=0
>  -> 2-lnx=0

>  -lnx=-2 |*(-1)
>  lnx=2 |e
>  [mm]e^{lnx}=e^{2}\approx7,4[/mm]
>  -> [mm]xw=e^{2}\approx[/mm] 7,4


[daumenhoch]

>  
>
> f'''(x)!=0
>  [mm]\bruch{-6+ln^{2}e^{2}}{e^{2}*ln^{4}e^{2}}\approx0[/mm]

Moment:
$ f'''(x) \ = \ [mm] \bruch{\ln^2 x -6}{x^2\cdot{}\ln^4 x} [/mm] $
Also: f'''(e²)=
[mm] \bruch{ln^{2}e^{2}}{e^{\red{4}}*ln^{4}e^{2}} [/mm]
[mm] =\bruch{-6+ln²e²}{e^{4}*(ln(e²))^{4}} [/mm]
[mm] =\bruch{-6+(ln(e²))²}{e^{4}*((2*ln(e)))^{4}} [/mm]
[mm] =\bruch{-6+(2ln(e))²}{(e*2)^{4}} [/mm]
[mm] =\bruch{-6+4}{2e^{4}} [/mm]
[mm] =\bruch{-1}{e^{4}} [/mm]
[mm] \red{\ne}0 [/mm]

Marius



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Kurvendiskussion ln-Fkt.: ok, weiter
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:49 Di 02.01.2007
Autor: RalU

Aufgabe
Ich denke, ich hab für die 3. Ableitung die Regel für den ln [mm] (lna^{n}=n*ln^{a}) [/mm] hier nicht angesetzt und bin daher nicht auf das Ergebnis gekommen.

-> Die 3. Ableitung liefert beim einsetzen von [mm] xw=e^{2} [/mm] also ein Ergebnis <0, d.h. also es liegt ein Wendepunkt vor in [mm] xw=e^{2} [/mm] mit den Koordinaten [mm] WP(\approx [/mm] 7,4 ; [mm] \approx [/mm] 3,7)

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Kurvendiskussion ln-Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 Mi 03.01.2007
Autor: Stefan-auchLotti


> Ich denke, ich hab für die 3. Ableitung die Regel für den
> ln [mm](lna^{n}=n*ln^{a})[/mm] hier nicht angesetzt und bin daher
> nicht auf das Ergebnis gekommen.
>  -> Die 3. Ableitung liefert beim einsetzen von [mm]xw=e^{2}[/mm]

> also ein Ergebnis <0, d.h. also es liegt ein Wendepunkt vor
> in [mm]xw=e^{2}[/mm] mit den Koordinaten [mm]WP(\approx[/mm] 7,4 ; [mm]\approx[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


> 3,7)

[ok] $\rmfamily \text{Jepp, der Wendepunkt liegt bei }W_{1}\left(e^2\left|\bruch{e^2}{\ln e^2}\right)\text{.}\right.$

$\rmfamily \text{Stefan.}$

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Kurvendiskussion ln-Fkt.: Krümmung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:22 Di 02.01.2007
Autor: RalU

Aufgabe
Wenn ich die Intervalle für die Krümmung untersuche, muss ich doch auch die Polstelle berücksichtigen, weil laut Skizze jeweils links und rechsts vom Pol das Krümmungsverhalten unterschiedlich ist, oder?

Also für die Krümmung habe ich dann folgendes:
(jeweils Werte der nachfolgenden Intervalle in die 2. Ableitung eingesetzt, falls 2. Ableitung mit jeweiligem Wert >0, -> konvex, falls <0, -> konkav

(2. Ableitung war: [mm] f''(x)=\bruch{ln^{2}x^-6}{x^{2}*ln^{4}x} [/mm] )

]0;1[:  f''(x)<0 -> Rechtskrümmung (konkav)
[mm] ]1;e^{2}[: [/mm]  f''(x)>0 -> Linkskrümmung (konvex)
[mm] ]e^{2};+ \infty[: [/mm]  f''(x)<0 -> Rechtskrümmung (konkav)

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Kurvendiskussion ln-Fkt.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:29 Mi 03.01.2007
Autor: Stefan-auchLotti

[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$ [/mm]

> Wenn ich die Intervalle für die Krümmung untersuche, muss
> ich doch auch die Polstelle berücksichtigen, weil laut
> Skizze jeweils links und rechsts vom Pol das
> Krümmungsverhalten unterschiedlich ist, oder?

[mm] $\rmfamily \text{Ja und nein. Ja, wenn es eine Postelle mit Vorzeichenwechsel, nein, wenn es eine ohne VZW ist.}$ [/mm]

>  Also für die Krümmung habe ich dann folgendes:
>  (jeweils Werte der nachfolgenden Intervalle in die 2.
> Ableitung eingesetzt, falls 2. Ableitung mit jeweiligem
> Wert >0, -> konvex, falls <0, -> konkav
>  
> (2. Ableitung war: [mm]f''(x)=\bruch{ln^{2}x^-6}{x^{2}*ln^{4}x}[/mm]
> )
>  
> ]0;1[:  f''(x)<0 -> Rechtskrümmung (konkav)
>  [mm]]1;e^{2}[:[/mm]  f''(x)>0 -> Linkskrümmung (konvex)

>  [mm]]e^{2};+ \infty[:[/mm]  f''(x)<0 -> Rechtskrümmung (konkav)

[ok]

[mm] $\rmfamily \text{Gruß, Stefan.}$ [/mm]

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