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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion $f: [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] durch $f(x) = [mm] x^{4} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}x^{3}-16x^{2}+48x-40$
[/mm]
a) Berechnen Sie alle Hoch- und Tiefpunkte fon $f$. Beschreiben Sie das Monotonieverhalten von $f$.
b) Berechnen Sie alle Wendepunkte von $f$. Beschreiben Sie das Krümmungsverhalten von $f$.
c) Was folgt daraus für die Anzahl der Nullstellen von $f$? |
Hallo zusammen, ich brauch wieder mal eure Hilfe ^^.
a)
Hoch- und Tiefpunkte:
$f(x) = [mm] x^{4} [/mm] - [mm] \bruch{4}{3}x^{3}-16x^{2}+48x-40$
[/mm]
Dazu brauch ich doch erst mal die erste Ableitung und setze diese null.
[mm] $f^{(1)}(x) [/mm] = [mm] 4x^{3} [/mm] - [mm] 4x^{2} [/mm] - 32x +48 = 0$
1. Nullstelle bei x = 2 (durch raten ermittelt)
Danach Hornerschema und die zwei weiteren Nullstellen ermittelt:
2. Nullstelle bei x = 2
3. Nullstelle bei x = -3
Nun setze ich die errechneten Nullstellen in die 2. Ableitung ein:
[mm] $f^{(2)}(x) [/mm] = [mm] 12x^{2} [/mm] - 8x -32$
[mm] $f^{(2)}(2) [/mm] = 0$ [mm] \rightarrow [/mm] Weder Tiefpunkt noch Hochpunkt da 0 oder?
[mm] $f^{(2)}(-3) [/mm] = 100$ [mm] \rightarrow [/mm] Tiefpunkt da > 0?
Jetzt berechne ich noch den y Wert des Tiefpunktes indem ich die berechnete Nullstelle in $f(x)$ einsetze:
$f(-3) = -211$
TP(-3|-211)
Bedeutet das nun, dass es einen Tiefpunkt und keinen Hochpunkt gibt, oder hab ich etwas vergessen?
Monotonieverhalten:
Für x < -3 [mm] \rightarrow [/mm] monoton fallend
x > -3 [mm] \rightarrow [/mm] monoton steigend
Kann man das Monotonieverhalten auch rechnerisch darstellen?
b) Wendepunkte:
Hier muss ich doch die 2. Ableitung nullsetzen:
[mm] $f^{(2)}(x) [/mm] = [mm] 12x^{2} [/mm] - 8x -32 = 0$
Nullstellen berechnen (diese sind die möglichen Wendepunkte):
1. Nullstelle bei x = 2
2. Nullstelle bei x = [mm] -\bruch{4}{3}
[/mm]
Überprüfen ob Nullstellen wirklich Wendepunkte sind:
Mögliche Wendepunkte in 3. Ableitung einsetzen:
[mm] $f^{(3)}(x) [/mm] = 24x -8$
[mm] $f^{(3)}(2) [/mm] = 40 [mm] \rightarrow \not= [/mm] 0$ Also Wendepunkt
[mm] $f^{(3)}(-\bruch{4}{3}) [/mm] = -40 [mm] \rightarrow \not= [/mm] 0$ Also Wendepunkt
Krümmungsverhalten:
[mm] $f^{(3)}(2) [/mm] = 40 [mm] \rightarrow [/mm] > 0$ Rechts-Links-Krümmung
[mm] $f^{(3)}(2) [/mm] = -40 [mm] \rightarrow [/mm] < 0$ Links-Rechts-Krümmung
c)
Da der wert von f(-3) negativ ist, und es dort hin monoton steigend ist, gibt es 2 Nullstellen.
Kann mir das bitte jemand überprüfen?
Danke im Voraus!
Lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:44 Di 11.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> Gegeben sei die Funktion [mm]f: \IR \rightarrow \IR[/mm] durch [mm]f(x) = x^{4} - \bruch{4}{3}x^{3}-16x^{2}+48x-40[/mm]
>
> a) Berechnen Sie alle Hoch- und Tiefpunkte fon [mm]f[/mm].
> Beschreiben Sie das Monotonieverhalten von [mm]f[/mm].
>
> b) Berechnen Sie alle Wendepunkte von [mm]f[/mm]. Beschreiben Sie
> das Krümmungsverhalten von [mm]f[/mm].
>
> c) Was folgt daraus für die Anzahl der Nullstellen von [mm]f[/mm]?
> Hallo zusammen, ich brauch wieder mal eure Hilfe ^^.
>
> a)
> Hoch- und Tiefpunkte:
> [mm]f(x) = x^{4} - \bruch{4}{3}x^{3}-16x^{2}+48x-40[/mm]
>
> Dazu brauch ich doch erst mal die erste Ableitung und setze
> diese null.
> [mm]f^{(1)}(x) = 4x^{3} - 4x^{2} - 32x +48 = 0[/mm]
>
> 1. Nullstelle bei x = 2 (durch raten ermittelt)
> Danach Hornerschema und die zwei weiteren Nullstellen
> ermittelt:
> 2. Nullstelle bei x = 2
> 3. Nullstelle bei x = -3
>
> Nun setze ich die errechneten Nullstellen in die 2.
> Ableitung ein:
> [mm]f^{(2)}(x) = 12x^{2} - 8x -32[/mm]
>
> [mm]f^{(2)}(2) = 0[/mm] [mm]\rightarrow[/mm] Weder Tiefpunkt noch Hochpunkt
> da 0 oder?
Das stimmt zwar, ist aber hier noch nicht bewiesen. Es gibt Funktionen, deren erste und zweite Ableitung an einer Stelle 0 ist, die aber trotzdem an dieser Stelle ein Minimum oder Maximum besitzen. Z.B. hat [mm] $f(x)=x^4$ [/mm] in 0 erste und zweite Ableitung 0, trotzdem liegt dort ein Minimum.
Unten Zeigst du aber, dass in 2 auch eine Wendestelle vorliegt, damit ist dann klar, dass in x=2 ein Sattelpunkt und kein Extremum vorliegt. Zu diesem Zeitpunkt weißt du das aber noch nicht.
> [mm]f^{(2)}(-3) = 100[/mm] [mm]\rightarrow[/mm] Tiefpunkt da > 0?
Jop.
>
> Jetzt berechne ich noch den y Wert des Tiefpunktes indem
> ich die berechnete Nullstelle in [mm]f(x)[/mm] einsetze:
> [mm]f(-3) = -211[/mm]
> TP(-3|-211)
>
> Bedeutet das nun, dass es einen Tiefpunkt und keinen
> Hochpunkt gibt, oder hab ich etwas vergessen?
Passt alles, bis auf die Kleinigkeit oben.
>
> Monotonieverhalten:
> Für x < -3 [mm]\rightarrow[/mm] monoton fallend
> x > -3 [mm]\rightarrow[/mm] monoton steigend
> Kann man das Monotonieverhalten auch rechnerisch
> darstellen?
Du musst ausrechnen, in welchen Bereichen die 1. Ableiung größer oder kleines 0 ist. Dort wo sie größer 0 ist, steigt der Graph, dort wo sie kleiner ist, fällt er.
>
> b) Wendepunkte:
> Hier muss ich doch die 2. Ableitung nullsetzen:
> [mm]f^{(2)}(x) = 12x^{2} - 8x -32 = 0[/mm]
>
> Nullstellen berechnen (diese sind die möglichen
> Wendepunkte):
> 1. Nullstelle bei x = 2
> 2. Nullstelle bei x = [mm]-\bruch{4}{3}[/mm]
>
> Überprüfen ob Nullstellen wirklich Wendepunkte sind:
> Mögliche Wendepunkte in 3. Ableitung einsetzen:
> [mm]f^{(3)}(x) = 24x -8[/mm]
>
>
> [mm]f^{(3)}(2) = 40 \rightarrow \not= 0[/mm] Also Wendepunkt
> [mm]f^{(3)}(-\bruch{4}{3}) = -40 \rightarrow \not= 0[/mm] Also
> Wendepunkt
Genau
>
> Krümmungsverhalten:
> [mm]f^{(3)}(2) = 40 \rightarrow > 0[/mm] Rechts-Links-Krümmung
> [mm]f^{(3)}(2) = -40 \rightarrow < 0[/mm] Links-Rechts-Krümmung
>
Richtig.
>
> c)
> Da der wert von f(-3) negativ ist, und es dort hin monoton
> steigend ist, gibt es 2 Nullstellen.
Das reicht noch nicht ganz. Außerdem ist die Funktion links davon monoton fallend, rechts davon steigend.
Aber auch das Monotonieverhalten reicht noch nicht ganz aus. Nur weil die Funktion z.B. hinter -3 steigt, heißt dass noch nicht, dass sie auch wieder die x-Achse überquert, sie könnte sich auch asymptotisch von unten der x-Achse nähern und dabei trotzdem monoton steigen.
Als Begründung würde ausreichen, noch zwei x-Werte anzugeben, bei denen der Funktionswert wieder positiv ist, einer vor dem Minimum und einer hinter dem Minimum. Alternativ kannst du das verhalten für $x [mm] \to \pm \inftiy$ [/mm] betrachten.
LG Lippel
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Super, vielen Dank!!
Habs ausgebessert bzw. hinzugefügt.
Lg
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