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| Aufgabe | | Man schreibe die Gleichung des Kreises, der die drei Kurvenàste der Funktion y = [mm] (1+x^2)/(1-x^2), [/mm] berùhrt! |
Hallo an alle!
Die Funktion habe ich bereits untersucht... Sie hat 3 Asymptoten mit den Gleichungen: x = 1, x = -1 und y = -1... Weiters hat sie im Punkt (0,1) ein relatives Minimum und keine Nullstellen... Sie ist symmetrisch bezùglich der y-Achse.
Ich mùsste also "nur" die Mittelpunktskoordinaten und den Radius des Kreises berechnen!
Danke an alle, die mir weiterhelfen kònnen!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Kurvendiskussion-und-Kreisgleichung
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=384855
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Sa 20.12.2008 | | Autor: | informix |
Hallo Sonnenblume und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Man schreibe die Gleichung des Kreises, der die drei
> Kurvenàste der Funktion y = [mm](1+x^2)/(1-x^2),[/mm] berùhrt!
> Hallo an alle!
>
> Die Funktion habe ich bereits untersucht... Sie hat 3
> Asymptoten mit den Gleichungen: x = 1, x = -1 und y = -1...
> Weiters hat sie im Punkt (0,1) ein relatives Minimum und
> keine Nullstellen... Sie ist symmetrisch bezùglich der
> y-Achse.
>
> Ich mùsste also "nur" die Mittelpunktskoordinaten und den
> Radius des Kreises berechnen!
>
> Danke an alle, die mir weiterhelfen kònnen!
>
> Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen
> Internetseiten gestellt:
>
> http://www.onlinemathe.de/forum/Kurvendiskussion-und-Kreisgleichung
> http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=384855
>
Du hast dort doch schon eine Menge Tipps und Ergebnisse bekommen!
Warum stellst du sie hier nicht vor und stellst anschließend deine konkreten Fragen?
Dann müssen wir mit dem Denken nicht von vorne anfangen, sondern können auch darauf aufbauen.
Nebeneffekt: wenn du die Ergebnisse hier vorstellst, kommst du vielleicht selbst auf die nächsten Schritte...
Gruß informix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Sa 20.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast schon den Mittelpunkt (0,a) und den Radius (1-a)
jetzt vom Mittelpunkt eine Gerade (Radius) zzum Punkt (x1,f(x1)) die muss ne Normale der Kurve sein also du hast g(x)=mx+a und m muss -1/f'(x1) sein und m muss (f(x1)-a)/(x1-0) sein
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Sa 20.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo Sonnenblume,
damit hast Du alle Informationen, die Du brauchst, um a zu bestimmen. Denke daran, dass der Kreis den Funktionsast in [mm] (x_1,f(x_1)) [/mm] berührt.
Viel Erfolg!
Wir schauen Deine Rechnung dann gerne durch. 
lg,
reverend
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| Aufgabe | | " Gleichungen mit drei verschiedenen Unbekannten |
Zusammenfassend:
Ein Kreis mit dem Mittelpunkt M(xM|yM) und dem Radius r kann durch die Koordinatengleichung [mm] (x-xM)^2+(y-yM)^2=r^2 [/mm] beschrieben werden.
Ich weiss dass xM=0 und dass der Punkt P(0,1) auf dem Kreis liegt. Also setze ich in die Kreisgleichung xM=0, x=0 und y=1 ein.
[mm] (1-yM)^2=r^2
[/mm]
[mm] 1-2yM+yM^2=r^2
[/mm]
Und jetzt habe ich ja noch 2 Unbekannte, nàmlich yM=a und r.
Wenn ich jetzt die Normale auf die Tangente in x1 konstruiere erhalte ich wiederum eine Gleichung mit 2 Unbekannten, in diesem Fall aber x1 und a!!!
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Nein, r ist keine Unbekannte mehr, sondern r=1-a.
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| Aufgabe | | nicht verwertbare Gleichung |
Wenn ich aber in die Kreisgleichung statt r 1-a einsetze dann erhalte ich:
[mm] (1-a)^2=(1-a)^2
[/mm]
und diese Gleichung kann ich ja nicht benutzen oder?
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Den Radius setzt Du in die Kreisgleichung [mm] (x-0)^2+(y-1)^2=r^2 [/mm] ein. Dann ergibt sich keine Tautologie, sondern eine Gleichung, die nur noch x,y und den Parameter a enthält.
Diese Gleichung müssen auch die Berührpunkte an den beiden äußeren Funktionsästen erfüllen. Es genügt dabei, einen zu betrachten, da die Funktion ja symmetrisch zu y-Achse ist.
Die übrigen nötigen Beziehungen hat leduart schon genannt.
Schreib doch mal alle voneinander unabhängigen Bestimmungsgleichungen hierhin.
Dann schauen wir erst einmal, ob sie vollständig sind, und dann kann man sich ja immer noch an die Lösung machen.
lg,
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:16 Sa 20.12.2008 | | Autor: | weduwe |
> Man schreibe die Gleichung des Kreises, der die drei
> Kurvenàste der Funktion y = [mm](1+x^2)/(1-x^2),[/mm] berùhrt!
>
>
>
dann schreibe ich sie halt mal her:
[mm] x^2+(y+1)^2=4 [/mm] 
relative einfach ist die herleitung, wenn man davon ausgeht/ unterstellt, dass die 3 berührpunkte ein gleichseitiges dreieck bilden, was sie tatsächlich tun.
gibt es dafür eine (a-priori) begründung?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:08 So 21.12.2008 | | Autor: | Astor |
Hallo,
ja, wenn annimmt, dass die drei Berührpunkte ein gleichseitiges Dreieck bilden. Dann ist die Antwort richtig.
Wie kann man begründen, dass die Berührpunkte ein gleichseitiges Dreieck bilden.
Im übrigen bin ich der Meinung, dass die Rechnerei sehr sehr aufwändig ist.
Man kann 1. den Kreis mit dem Funktionsgraphen schneiden.
2. die Steigungen von Kreis und Funktionsgraph gleichsetzen.
Man erhält dann zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. nämlich a und x.
Diese Gleichungen sind aber relativ kompliziert. Brüche und Wurzelterme.
Es muss einen einfacheren Einstieg geben.
Wer kann mir einen Tip geben.
Gruß Astor
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Hallo Astor,
ich fürchte, es gibt keinen.
Das gleichseitige Dreieck musst Du schon aufgeben, wenn die Funktion z.B. [mm] f(x)=\bruch{2x^2+1}{x^2-1} [/mm] oder auch nur [mm] f(x)=\bruch{x^2+1}{4(x^2-1)} [/mm] lautet.
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:37 So 21.12.2008 | | Autor: | weduwe |
ach die rechnung isr gar nicht so kompliziert, aber das ergebnis ziemlich ernüchternd.
wenn man nur (das offensichtliche) voraussetzt, also
M(0/n) und r = 1 - n
bekommt man für die x- koordinate des berührpunktes folgende gleichung:
[mm] (\frac{1+x^2}{1-x^2}+\sqrt{\frac{(1-x^2)^4}{16}+x^2}-1)^2-\frac{(1-x^2)^4}{16}=0
[/mm]
durch einsetzen verifiziert man, dass [mm]x=\pm\sqrt{3}[/mm] eine lösung ist.
oder nach wurzelziehen (und dem richtigen vorzeichen)
[mm] \frac{1+x^2}{1-x^2}+\sqrt{\frac{(1-x^2)^4}{16}+x^2}-1+\frac{(1-x^2)^2}{4}=0
[/mm]
was sich leicht numerisch (z.b. newton) lösen läßt
woraus dann [mm] B(\pm\sqrt{3}/-2) [/mm] , n = -1 und r = 2 folgen, also:
[mm]x^2+(y+1)^2=4[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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