Kurvendiskussion x^2+e^(1-x^2) < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Fr 06.01.2006 | | Autor: | McMuskel |
| Aufgabe | Kurvendiskussion für:
f(x) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] e^{1-x^2} [/mm] |
Meiner Meinung hat diese Fkt. keine Nullstellen und keine Definitionsmenge.
Nach meinen Berechnungen sind die Ableitungen:
f' (x) = 4x * [mm] e^{1-x^2}
[/mm]
f''(x) = 8x * [mm] e^{1-x^2}
[/mm]
f'''(x) = 16x * [mm] e^{1-x^2}
[/mm]
Nun benötige ich Hilfe bei der Berechnung der Extrema.
Ich wäre dankbar für jede Art von Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Fr 06.01.2006 | | Autor: | McMuskel |
| Aufgabe | | Ableitungen zu f(x) = [mm] x^2+e^{1-x^2} [/mm] |
Ich habe mich nochmal mit den Ableitungen beschäftigt, aber ich traue
meinen Ergebnissen nicht. Bitte sagt mir wo der Fehler ist...
f'(x)= [mm] 2x+e^{1-x^2}*-2x [/mm] = [mm] e^{1-x^2}
[/mm]
f''(x)= [mm] e^{1-x^2}*-2x
[/mm]
f'''(x)= [mm] e^{1-x^2}*-2x*-2x+(-2)*e^{1-x^2}
[/mm]
= [mm] e^{1-x^2}*4x^2-2
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:40 Fr 06.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo mcM
> Ableitungen zu f(x) = [mm]x^2+e^{1-x^2}[/mm]
> Ich habe mich nochmal mit den Ableitungen beschäftigt,
> aber ich traue
> meinen Ergebnissen nicht. Bitte sagt mir wo der Fehler
> ist...
>
> f'(x)= [mm]2x+e^{1-x^2}*-2x[/mm]
bis hierher richtig, besser wäre du machtest ne Klammer!
>= [mm]e^{1-x^2}[/mm]
das ist falsch du hast das "mal weggelassen! also:
f'(x)= [mm]2x+e^{1-x^2}*(-2x)=2x-2x*e^{1-x^2}[/mm]
kann man nicht weiter vereinfachen
> f''(x)= [mm]e^{1-x^2}*-2x[/mm]
falsch wegen f' falsch wäre folgerichtig.
> f'''(x)= [mm]e^{1-x^2}*-2x*-2x+(-2)*e^{1-x^2}[/mm]
f'''(x)= [mm]e^{1-x^2}*-2x*-2x+(-2)*e^{1-x^2}=4x^2*e^(1-x^2)-2*e^(1-x^2)=e^(1-x^2)*(4x^2-2)[/mm]
(das wäre das f''' aus deinem falschen f''
Ich glaub du musst einfach etwas langsamer rechnen und genügend Klammern setzen, und deine Gleichungen noch mal von rechts nach links überprüfen, denn das eigentliche Differenzieren machst du immer richtig, schreibst aber dann falsch um!
> = [mm]e^(1-x^2)*4x^2-2[/mm]
das ist auch nicht folgerichtig! siehe oben !
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Fr 06.01.2006 | | Autor: | McMuskel |
Also wenn
f'(x) = [mm] 2x-2x*e^{1-x^2} [/mm]
ist, dann müsste doch
f''(x) = [mm] 2-4x^2-2*e^{1-x^2}
[/mm]
und somit
f'''(x) = [mm] (e^{1-x^2}*-2x)*(-4x^2-2)+(-8x)*e^{1-x^2}
[/mm]
= [mm] [e^{1-x^2}*8x^3+4x]-8x*e^{1-x^2}
[/mm]
sein. Oder habe ich schon wieder etwas verpeilt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo. Ich habe zwar nicht das gelesen, was vorher war, aber
>
> f'(x) = [mm]2x-2x*e^{1-x^2}[/mm]
wenn das hier richtig ist
>
> ist, dann müsste doch
>
> f''(x) = [mm]2-4x^2-2*e^{1-x^2}[/mm]
>
ist das hier allerdings falsch.
f'(x) = [mm] \red{2x}-\blue{2x*e^{1-x^2}}
[/mm]
Das blaue wird mit der Produktregel abgelitten.
f''(x) = [mm] \red{2} -(\blue{ 2*e^{1-x^2}+2x*(-2x)*e^{1-x^2}})
[/mm]
Das ganze kannst du nun noch vereinfachen
[mm] =2-(2e^{1-x^2}-4x^2*e^{1-x^2})
[/mm]
[mm] =2-e^{1-x^2}(-4x^2+2)
[/mm]
Naja... So ähnlich hattest du es ja auch, aber deins war leider, jedenfalls von der Schreibweise her, nicht richtig.
Die dritte Ableitung habe ich mir jetzt nicht angeguckt, da die zweite falsch war. Bei Bedarf erstelle halt noch einmal eine neue Frage.
Schöne Grüße
von
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Disap!
Da ist wohl mal wieder das kleine Vorzeichenfehlerteufelchen ausgebrochen  ...
> [mm]=2-e^{1-x^2}(-4x^2+2)[/mm]
Das muss dann heißen: $f''(x) \ = \ [mm] 2-e^{1-x^2}*\left(\red{+}4x^2\red{-}2\right) [/mm] \ = \ [mm] 2-e^{1-x^2}*\left(4x^2-2\right)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Disap |
> Hallo Disap!
>
Hallo Loddar.
> Da ist wohl mal wieder das kleine
> Vorzeichenfehlerteufelchen ausgebrochen ...
>
Ja, offensichtlich, und zwar in einer Weise, sodass ich ihn immer noch nicht sehe. Also wo genau soll der Fehler sein?
> > [mm]=2-e^{1-x^2}(-4x^2+2)[/mm]
>
> Das muss dann heißen: [mm]f''(x) \ = \ 2-e^{1-x^2}*\left(\red{+}4x^2\red{-}2\right) \ = \ 2-e^{1-x^2}*\left(4x^2-2\right)[/mm]
Wieso ändert sich hier das Vorzeichen?
Wenn ich davon mal eben ausgehe, dass folgendes noch richtig ist:
$ [mm] =2-(2e^{1-x^2}-4x^2*e^{1-x^2}) [/mm] $
Und nun mit diesem Minus die Klammer "ausmultipliziere"
$ [mm] =2-2e^{1-x^2}+4x^2*e^{1-x^2}) [/mm] $
Nun vereinfache
= [mm] 2+e^{1-x^2}(-2+4x^2)
[/mm]
oder ebend
= [mm] 2-e^{1-x^2}(2-4x^2)
[/mm]
> Gruß
> Loddar
LG Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Sa 07.01.2006 | | Autor: | McMuskel |
Ok, aber wenn jetzt
f''(x)= [mm] 2-e^{1-x^2}*(-4x+2)
[/mm]
ist, dann ist doch
f'''(x) = $ [mm] (e^{1-x^2}\cdot{}-2x)\cdot{}(-4x^2-2)+(-8x)\cdot{}e^{1-x^2} [/mm] $
= $ [mm] [e^{1-x^2}\cdot{}(8x^3-4x)]-8x\cdot{}e^{1-x^2} [/mm] $
wenn das nicht falsch ist kann man das sicherlich noch vereinfachen aber
das würde ich sowieso falsch machen also laß ich es so stehen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:00 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Disap |
> Ok, aber wenn jetzt
>
> f''(x)= [mm]2-e^{1-x^2}*(-4x+2)[/mm]
>
> ist, dann ist doch
>
> f'''(x) =
> [mm](e^{1-x^2}\cdot{}-2x)\cdot{}(-4x^2-2)+(-8x)\cdot{}e^{1-x^2}[/mm]
> = [mm][e^{1-x^2}\cdot{}(8x^3-4x)]-8x\cdot{}e^{1-x^2}[/mm]
Nein, hier hast du dich verrechnet. Mal gucken, an welcher Stelle
f''(x)= [mm] 2-e^{1-x^2}*(-4x+2)
[/mm]
Beim Ableiten fällt die Konstante 2 weg.
Bleibt also noch [mm] \red{-e^{1-x^2}}*\blue{(-4x+2)} [/mm] abzuleiten
f'''(x)= (blau)' * rot + (rot)' * blau
f'''(x)= [mm] (-4)*(\red{-e^{1-x^2}})+(\red{-2x*(-e^{1-x^2}})*(-4x+2)
[/mm]
Toll, ... Du hast die falsche Ableitung benutzt
f''(x)= [mm] 2-e^{1-x^2}*(-4\red{x^2}+2)
[/mm]
Egal, noch mal... Konstante fällt beim Ableiten weg.
Bleibt noch:
[mm] \red{-e^{1-x^2}}*\blue{(-4x^2+2)}
[/mm]
f'''(x) = (rot)' * blau + (blau)'*rot
f'''(x) = [mm] -2x(\red{-e^{1-x^2}})*\blue{(-4x^2+2)}+(-8x)*\red{-e^{1-x^2}}
[/mm]
Vorzeichen zusammenfassen:
[mm] 2x\red{e^{1-x^2}})*\blue{(-4x^2+2)}-8x*\red{-e^{1-x^2}}
[/mm]
Als Übung kannst du das ja mal eben zusammenfassen.
> wenn das nicht falsch ist kann man das sicherlich noch
> vereinfachen aber
> das würde ich sowieso falsch machen also laß ich es so
> stehen.
Alles klar?
Schöne Grüße Disap
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Sa 07.01.2006 | | Autor: | McMuskel |
alles klar, "mal eben zusammenfassen" sieht dann beim mir so aus
f'''(x)= [mm] 2x*e^{1-x^2}*(-4x^2+8x+2)
[/mm]
richtig? ne, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Disap |
> alles klar, "mal eben zusammenfassen" sieht dann beim mir
> so aus
>
> f'''(x)= [mm]2x*e^{1-x^2}*(-4x^2+8x+2)[/mm]
>
> richtig? ne, oder?
Nur Mut, irgendwann kriegst du es schon hin. Wenn man das zusammenfassen ein paar mal gesehen hat, hat man irgendwann den Bogen heraus. Fragen kannst du jederzeit dazu posten.
f'''(x)=$ [mm] 2x({e^{1-x^2})\cdot{}(-4x^2+2)+8x\cdot{}e^{1-x^2}}$
[/mm]
[mm] =e^{1-x^2}*\red{(2x)*(-4x^2+2)}+\blue{(8x)*e^{1-x^2}}
[/mm]
rot ausmultiplizieren
[mm] =e^{1-x^2}*\red{(-8x^3+4x)}+\blue{8x} *e^{1-x^2}
[/mm]
Rot und Blau kann man jetzt in eine Klammer schreiben, da wir hier zweimal den selben "Faktor" [mm] e^{1-x^2} [/mm] haben. (Wird ausnahmsweise mal zu Grün, und nicht zu braun? Oder was ergibt blau und rot, wenn mans mischt )
= [mm] e^{1-x^2}*\green{(-8x^3+12x)}
[/mm]
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:32 Sa 07.01.2006 | | Autor: | McMuskel |
alles klar, ich danke allen, die mich unterstützt haben. ihr habt mir sehr
geholfen. ich denke den rest schaff ich dann allein. aber ihr werdet
bestimmt noch aufgrund anderer aufgaben von mir hören.
also bis dann.
danke.
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Wo ist denn die Ableitung vom [mm] $x^2$ [/mm] verblieben? Da dieser Term und die e-Funktion mit einem Pluszeichen verknüpft sind, musst du diese Terme summandenweise ableiten.
Produktregel![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
oder vielmehr ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
!!
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]"){kind=small}
