Kurvendissk. zu ln-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:23 Di 10.06.2008 | | Autor: | PeterR |
| Aufgabe | | Führen sie eine Kurvendisskusion für die Funktion x*(1-lnx) durch |
Hallo!
Ich soll eine KD zur obenstehenden Funktion ausführen. Ich bin noch nicht ganz fertig, wollte aber - bevor ich weitermache - gern wissen, ob ich bereits Fehler habe.
Definitions Bereich: D= {X/XER, [mm] X\ge [/mm] 0}
Wertebereich: W= {Y/YER, [mm] Y\le [/mm] 1}
Nullstelle:
0=x*(1-lnx) :x
0=1-lnx
lnx=1 [mm] e^x [/mm]
[mm] e^{lnx}=e^1
[/mm]
x=e
Sx(e/0)
Schnittpunkt mit Y-Achse:
f(0)=0*(1-ln(0))
f(0)=0
Sy(0/0) oder hat die Fkt gar keinen Schnittpunkt mit der y-achse, da sie ja eigentlich genau dort entspringt?
Verhalten im Unendlichen
[mm] \limes x(1-lnx)_{x\rightarrow\infty} [/mm] = -Unendlich
[mm] \limes x(1-lnx)_{x\rightarrow\ 0+0} [/mm] = 0
Habs leider nich auf die Reihe bekommen, dass korrekt darstellen zu lassen...
Symmetrie:
f(-x)= -x*(1+lnx)
-f(x)= -x*(-1+lnx)
--> weder punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung noch achsialsymmetrisch zur y-Achse
Ableitung:
[mm] f'(x)=1*(1-lnx)+x*(-\bruch{1}{x})
[/mm]
f'(x)=-lnx
[mm] f''(x)=-\bruch{1}{x}*x
[/mm]
f''(x)=-1
f'''(x)= existiert nicht
So, mir fehlen noch Extrem- und Wendepunkte und die Wendetangente (sonst noch etwas?). Allerdings dürfte es keine Wendepunkte geben, da f'''(x) nicht existiert, oder?
Wo sind Fehler?
Gruß, Peter
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
> Führen sie eine Kurvendisskusion für die Funktion x*(1-lnx)
> durch
> Hallo!
>
> Ich soll eine KD zur obenstehenden Funktion ausführen. Ich
> bin noch nicht ganz fertig, wollte aber - bevor ich
> weitermache - gern wissen, ob ich bereits Fehler habe.
>
> Definitions Bereich: D= {X/XER, [mm]X\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0}
Ich bin mir nicht ganz so sicher was du hier meinst. Schau dir mal nur die ln Funktion an. Welche Zahlen musst du da ausschließen? Muss die \\0 ausgeschlossen werden?
> Wertebereich: W= {Y/YER, [mm]Y\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1}
>
> Nullstelle:
> 0=x*(1-lnx) :x
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du darfst nicht durch x teilen ohne vorher zu wissen was \\x ist. Denn wenn x Null ist dann gibts Probleme aber wenn du vorher ausgeschlossen hast dass x Null ist (Siehe Def. Bereich) dann ist es ok.
> 0=1-lnx
> lnx=1 [mm]e^x[/mm]
> [mm]e^{lnx}=e^1[/mm]
> x=e
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Sx(e/0)
>
> Schnittpunkt mit Y-Achse:
> f(0)=0*(1-ln(0))
> f(0)=0
>
> Sy(0/0) oder hat die Fkt gar keinen Schnittpunkt mit der
> y-achse, da sie ja eigentlich genau dort entspringt?
>
Hier wieder....Darf [mm] \\x [/mm] Null werden?
> Verhalten im Unendlichen
>
> [mm]\limes x(1-lnx)_{x\rightarrow\infty}[/mm] = -Unendlich
>
Das ist
> [mm]\limes x(1-lnx)_{x\rightarrow\ 0+0}[/mm] = 0
>
Was meinst du hier? [mm] x\to\\0? [/mm] Dann geht die Funktion gegen 0.
> Habs leider nich auf die Reihe bekommen, dass korrekt
> darstellen zu lassen...
>
> Symmetrie:
> f(-x)= -x*(1+lnx)
> -f(x)= -x*(-1+lnx)
> --> weder punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung noch
> achsialsymmetrisch zur y-Achse
>
Das ist Die Funktion besitzt keine Symmetrie. Die Rechnung dazu ist allerdings falsch. Wir haben [mm] \\f(x)=x\cdot(1-ln(x)) [/mm] , [mm] \\f(-x)=-x\cdot(1-ln(-x))=ist [/mm] das definiert? und [mm] \\-f(x)=-x\cdot(1-ln(x)) \Rightarrow [/mm] keine Symmetrie.
> Ableitung:
> [mm]f'(x)=1*(1-lnx)+x*(-\bruch{1}{x})[/mm]
> f'(x)=-lnx
> [mm]f''(x)=-\bruch{1}{x}*x[/mm]
Da steht nicht [mm] ln\cdot\\x [/mm] sondern [mm] \\ln(x). [/mm] Was ist nun die Ableitung von [mm] \\-ln(x)?
[/mm]
> f''(x)=-1
> f'''(x)= existiert nicht
>
Demnach ist die dritte Ableitung leider auch . Mal abgesehen davon Wenn [mm] \\f''(x) [/mm] stimmen würde dann würde die dritte ableitung doch existieren. Was ist die Ableitung einer Konstanten?
> So, mir fehlen noch Extrem- und Wendepunkte und die
> Wendetangente (sonst noch etwas?). Allerdings dürfte es
> keine Wendepunkte geben, da f'''(x) nicht existiert, oder?
[mm] \\f'''(x) [/mm] existiert aber 
Ja richtig Extrem und Wendepunkte fehlen noch. Den Graphen solltest du evtl auch noch skizzieren das gehört auch zu einer Kurvendiskussion.
>
> Wo sind Fehler?
>
> Gruß, Peter
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:33 Di 10.06.2008 | | Autor: | PeterR |
"Ich bin mir nicht ganz so sicher was du hier meinst. Schau dir mal nur die ln Funktion an. Welche Zahlen musst du da ausschließen? Muss die [mm] \\0 [/mm] ausgeschlossen werden? "
Ich bin mir nicht ganz sicher. Ich meinte, dass X größergleich 0 (0 wird also nicht ausgeschlossen) und Y kleinergleich 2 sein muss. Stimmt das so?
"Hier wieder....Darf $ [mm] \\x [/mm] $ Null werden? "
Naja ich würde meinen, ja. Wenn nicht, dann gibt es natürlich keinen Schnittpunkt. Ansonsten ist es doch Sy(0/0). Was stimmt nun?
"Was meinst du hier? $ [mm] x\to\\0? [/mm] $ Dann geht die Funktion gegen 0. "
Ja, wir haben das allerdings im Unterricht so seltsam mit ->0+0 aufgeschrieben...
"Das ist Die Funktion besitzt keine Symmetrie. Die Rechnung dazu ist allerdings falsch. Wir haben $ [mm] \\f(x)=x\cdot(1-ln(x)) [/mm] $ , $ [mm] \\f(-x)=-x\cdot(1-ln(-x))=ist [/mm] $ das definiert? und $ [mm] \\-f(x)=-x\cdot(1-ln(x)) \Rightarrow [/mm] $ keine Symmetrie. "
Achja, stimmt. Bei f(-x) hab ich das falsch zusammengefasstt (aus -ln(-x) hab ich einfach +lnx gemacht. Bei -f(x) hab ich dummerweise vor jeder Zahl ein Minus gesetzt. ^^'''
" Da steht nicht $ [mm] ln\cdot\\x [/mm] $ sondern $ [mm] \\ln(x). [/mm] $ Was ist nun die Ableitung von $ [mm] \\-ln(x)? [/mm] $"
Ah, dummer Faselfehler. Es müsste ja [mm] -\bruch{1}{x} [/mm] * 1 heißen und nicht mal x.
f''(x)= [mm] -\bruch{1}{x}
[/mm]
[mm] f'''(x)=\bruch{1}{x^2}
[/mm]
So, Extrempunkt:
f'(x)=0=-lnx [mm] e^x
[/mm]
[mm] e^0=e^{-lnx}
[/mm]
1=x
f''(1)=-1 --> lokales Max.
f(1)=1
HP(1/1)
Bei den Wendepunkten komm ich nicht weiter
[mm] f''(x)=0=-\bruch{1}{x}=-1x^{-1}
[/mm]
Tja, wie stell ich das jetzt um bzw. wie geh ich vor, um x herauszubekommen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:02 Di 10.06.2008 | | Autor: | PeterR |
"Nein $ [mm] \\x [/mm] $ darf nicht $ [mm] \\0 [/mm] $ werden, denn $ [mm] \\ln(0) [/mm] $ ist nicht definiert demnach muss du deinen Definitionsbereich bearbeiten. "
Okay, also muss x größer(!) 0 sein, oder?
Und was ist mit dem Wertebereich für y? Stimmt es das y kleinergleich 2 ist?
Und was ist mit dem Schnittpunkt mit der y-achse? Der dürfte demzufolge auch nicht existieren, oder?
"Beachte dass $ [mm] \\-ln(-x) [/mm] $ nicht dasselbe ist wie $ [mm] \\ln(x). [/mm] $ Denn $ [mm] \\ln(x) [/mm] $ ist eine zusammenhängende Funktion und nicht etwas $ [mm] \\ln\cdot\\x. [/mm] $ Ein anderes Beispiel: Die Funktion $ [mm] \\e^{x} [/mm] $ ist ja auch nicht dasselbe wie $ [mm] \\e\cdot\\x [/mm] $ "
Wieder etwas dazugelernt. ^^
"$ [mm] \\f''(x)=0 [/mm] $ existiert nicht.
Existieren dann Wendestellen? "
Ah, da das x unterhalb des Bruchstrichs steht, würde es so oder so wegfallen, wodurch ich 0=-1 hätte. Folglich gibt es keine Wendestellen, richtig?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Di 10.06.2008 | | Autor: | PeterR |
Damit ist jetzt alles klar. Ich danke dir ganz sehr für die Hilfe! :)
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
