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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit [mm]f(x) = \bruch{(e^x - 2)e^x}{1+e^x}[/mm] , [mm]x \in \IR[/mm] .
a) Untersuchen sie den Graphen auf sein Verhalten im Unendlichen.
b) Hat die Funktion f Nullstellen?
c) Die Funktion hat genau ein lokales Minimum. (Existenznachweis ist nicht erforderlich.)
Berechnen sie Lage und Größe des lokalen Minimums.
Warum ist das lokale Minimum gleichzeitig das globale Minimum?
d) Begründen Sie ohne Benutzung von [mm]f''[/mm] , dass der Graph von f mindestens einen Wendepunkt besitzen muss.
e) Skizzieren Sie den Graphen von f.
f) Die Funktion F sei definiert durch [mm]F(x) = \integral_{0}^{x}{f(t) dt}[/mm] mit [mm]x \ge 0[/mm], wobei [mm]f(x) = \bruch{(e^x - 2)e^x}{1+e^x}[/mm] ist.
Lösen Sie folgende Aufgaben ohne Integralrechnung:
- Berechnen Sie den Anstieg des Graphen von F in x= 0.
- Hat der Graph von F Wendepunkte?
- An welchen Stellen hat der Graph von F Punkte mit horizontaler Tangente?
g) Geben Sie für die Funktion F aus Teilaufgabe f) eine integralfreie Gleichung an. |
Ich komm bei der Funktion echt ins Straucheln.
a) Die Funktionsuntersuchung im Unendlichen habe ich hinbekommen, sie müsste für [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} f(x) = \infty[/mm] und für [mm]\limes_{x\rightarrow\-infty} f(x) = 0[/mm] sein.
b) Auch die Nullstelle habe ich gefunden und liegt meiner Meinung nach bei [mm]\ln = x[/mm].
c) [mm]x = -0,3119[/mm]. Sollte das lokale Minimum sein
d)
- durch das verhalten im neg. Unendlichen ist der y-Wert 0
- Minimum liegt unter der x-Achse, daraus folgt, rechtskrümmung der Kurve
- durch Verhalten im pos. Unendlichen ist y-Wert Unendlich, daraus folgt, liegt über der x-Achse, daraus folgt, Wechsel von Rechts- auf Linkskrümmung nötig, daraus folgt, mindestens ein Wendepunkt
Wenn was bis hierhin falsch war bitte sagen, aber ich glaube es stimmt. Den Rest bekomm ich absolut nicht hin. Wäre über jede konkrete Hilfe dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 So 06.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
welche Nullstelle meintest du?
Bei mir steht dort nur ln=x und damit kann ich leider nicht viel anfangen. Wenn du x=ln2 meinst, stimmt es.
Die Nullstelle und das Verhalten für x gegen [mm] \pm \infty [/mm] passt.
Bei der Nullstelle hättest du evtl. noch einmal den exakten Wert angeben können.
Du musst noch begründen, warum es sich dann hier sogar um ein globales Minimum handelt.
Die Begründung für mindestens einen Wendepunkt ist okay (aufgrund des Tiefpunktes und dem Randverhalten).
Jetzt den Graphen von f zu skizzieren, sollte kein Problem sein.
Bei der Aufgabe danach ist ein wenig Integralkenntnisse gerfagt.
Wenn du diese Integralfunktion berechnen würdest, stünde dort ja:
F(x)=F*(x)-F*(0)
Mit F*'=f
Also: Die Ableitung der Funktion F* sei die Funktion f.
Ich denke, wenn du weist, dass du die Funktion f als Ableitung von F(x) sehen kannst, da ja auch gilt
F'(x)=F*'(x) und F*'(x)=f(x) , da ja das F*(0) wegfällt, da es ja konstant ist, dann kannst du auch die Fragen bezüglich Wendepunkte etc erklären =)
In Teilaufgabe g) ist dann gefordert, deine Funktion integralfrei darzustellen, also eine Stammfunktino zu f(x) zu finden.
LG
Kroni
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Hi Kroni,
danke für deine Hilfe, bei der Nullstelle habe ich mich einfach vertippt, ich meinte ln2.
Könntest du mir aber bitte vielleicht das vorgehen bei den letzten beiden Aufgaben etwas genauer erklären? Ich blick da irgendwie nicht ganz durch.
Und was meinst du mit F* ... F ist die Stammfunktion ... ' ist die Ableitung, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 So 06.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Ja,
ich wollte mit dem F* andeuten, dass das F(x) ja schon durch die Integralfunktion belegt ist.
Okay, schreib ich das mal ein wenig anders:
F(x) ist ja eine Integralfunktion:
[mm] F(x)=\integral_{0}^{x}{f(t) dt}
[/mm]
Jetzt nimmt man sich f(x) her, und ändert mal das x in t um, deshlab steht da im Integral f(t), weil man ja das x neu definiert hat für diese Integralfunktion.
Nun sei G(x) eine Stammfunktion von f(x), nämlich die, mit c=0 (denn es gibt ja immer unendlich viele Stammfunktionen).
Dann gilt für F(x):
F(x)=G(x)-G(0)
So sieht deine Funktion F(x) nun aus, das sollte klar sein.
Wenn du jetzt etwas über das Monotonieverhalten aussagen willst, dann müsstest du ja F(x) einmal ableiten:
F'(x)=G'(x) (das G(0) fällt ja weg, weil es eine konstante Zahl ist).
Und da du weist, dass G(x) eine Stammfunktion zu f(x) ist, gilt:
G'(x)=f(x).
Also ist die Ableitung deiner Funktion F'(x)=f(x).
Siehst du jetzt den Zusammenhang, wie du etwas über die Monotonie von F(x) sagen kannst?
Okay, gehen wir noch einen Schritt weiter.
Dort ist ja auch etwas von Wendepunkten gefragt.
Für Wendepunkte musst du ja theoretisch F''(x) berechnen.
Wie stehen F''(x) und f(x) in Zusammenhang?
LG
Kroni
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Hi Kroni,
langsam kommt Licht ins Dunkel ich habe die Aufgabe zumindest von der Logik her verstanden.
Leider kann ich es noch nicht ganz umsetzen. Ich bin ein wenig mit der Groß- und Kleinschreibung verwirrt, aber das wird hoffentlich noch.
Was ist denn die Stammfunktion von meiner Ausgangsfunktion? Ich bin nicht der größte Held im stammfunktionieren, ich weiß zwar das [mm]e^x[/mm] zwar so bleibt, aber dieses Produkt übern Bruchstrich ist sehr ungewohnt für mich. Unterm bruchstrich müsste ich ja als Stammfunktion [mm]x+e^x[/mm]haben oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:06 So 06.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du sollst doch zunächst OHNE Stammfunktion Aussagen über das Monotonieverhalten etc machen.
Das kannst du doch auch soweit.
Wie hast du das denn jetzt verstanden.
Wenn ich die frage, wo mögliche Extrema der Funktion F(x) liegen, was würdest du mir darauf antworten?
LG
Kroni
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Sorry,
naja theoretisch müssten ja die Extrema der Funktion F(x) an den Nullstellen meiner Funktion f(x) liegen.
Und da meine Funktion f(x) auch ein Extrema besitzt müsste F(x) ja eigentlich auch einen Wendepunkt besitzen oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 So 06.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
völlig korrekt:
Da die Ableitung deiner Funktion gleich f(x) ist, sind die Nullstellen deiner Funktion von f mögliche Extremstellen von F(x). Es ist sogar eine, weil f(x) hier einen Vorzeichenwechsel hat.
Und die Nullstellen der ersten Ableitung, also dein Tiefpunkt von f der Wendepunkt von F(x) (da man ja hier den Vorzeichenwechsel schon gezeigt hat).
Lieben Gruß,
Kroni
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Boah, super ... ich freu mich gerade richtig ... zur ersten Teilfrage von f)
Der Anstieg an der Stelle x = 0 müsste doch der der Funktionswert von f(x) an der Stelle 0 sein oder also f(0) = F'(0)?
zu g) was wäre denn die integralfrei Gleichung? einfach wenn f(x) = g(t) ist dann G(t) - G(0) ?
Ich dank dir auf alle Fälle schon mal wie verrückt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:34 So 06.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
kein Problem*g*
Ja, da musst du einfach nur den Funktionswert von f(0) berechnen, da ja F'(0)=f(0) gilt.
Mit Integralfreier darstellung ist normalerweise meines Wissens auch immer gemeint, dass man die Stammfunktion finden soll.
Dies ist aber in diesem Fall nicht ganz so einfach.
Kennst du die "Nahrhafte Null", so nennt man diese glaube ich:
Das ist so ein Trick, indem man erst etwas addiert, und danach direkt wieder subtrahiert, der einem aber in der Integralrechnung oft weiterhilft.
Sowas musst du hier auch anwenden.
LG
Kroni
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Hi Kroni,
ich kenne leider nicht das Prinzip der "Nahrhaften Null" kannst du mir vielleicht eine Beschreibung geben wie das Funktioniert und/oder auf was ich am Ende kommen muss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 So 06.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
Das Problem bei der Integration ist doch die Klammer.
Stünde dort in der Klammer irgendwo [mm] (e^x+1) [/mm] dann könnte man das mit dem Nenner kürzen.
Also: Wir machen uns aus dem [mm] (e^x-2) [/mm] einfach mal [mm] (e^x+1-3)*e^x
[/mm]
Dann müssen wir nur noch die -3 aus der Klammer holen, dann können wir einmal mit dem Nenner kürzen und den Bruch auseinander ziehen.
Es sollte herauskommen:
[mm] e^x-3*ln(e^x+1)
[/mm]
Das ist dann die SF von f.
Also musst du dann nur noch das Integral von 0 bis x einsetzten, und du hast F(x).
LG
Kroni
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Kroni,
ich dank dir vielmals für deine Mühe und Zeit. Jetzt hab ich alles. DANKE SCHÖN
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:04 So 06.05.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
kein Problem=)
LG
Kroni
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