Kurvengleichung aufstellen < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist der Punkt A(0|1) sowie ein auf der
x-Achse liegender Punkt M. Der Kreis mit Mittel-
punkt M und Radius $\ r\ =\ [mm] 2\,\sqrt{2}$ [/mm] schneide die Gerade MA
in den Punkten P und Q . Welche Kurven werden durch
diese Punkte P und Q beschrieben, wenn M der x-Achse
entlang wandert ?
Die Kurven sollen zuerst durch
(a) Parameterdarstellungen
und dann auch durch
(b) parameterfreie Gleichungen nur in x und y
beschrieben werden.
(c) Die eine der Kurven vollführt eine Schleife.
Berechne den Flächeninhalt des dabei umschlos-
senen endlichen Flächenstücks. |
Hallo,
das ist nochmals so eine "kinematische" Aufgabe,
die meinen Spielereien mit Geogebra entsprungen
ist, ähnlich wie diese Aufgabe von vorgestern.
Ich hoffe, dass die dabei geübten Techniken aus
analytischer Geometrie und Integralrechnung
für einige dazu dienen können, ihre Routine
in diesen Gebieten zu festigen.
LG , Al-Chwarizmi
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Dies ist eine Dummy-Frage, um diese Übungsaufgabe in der Liste der offenen Fragen sehen zu können.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Sa 19.10.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Sa 05.10.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
die Geradengleichung durch die Punkte [mm] \overline{MA} [/mm] lautet [mm] g(x,a)=\bruch{a-x}{a} [/mm] und die Kreisgleichung lautet [mm] (x-a)^2+y^2=r^2
[/mm]
Auflösen der Kreisgleichung nach y und gleichsetzen mit der Geradengleichung und dann auflösen nach x, ergibt die beiden Lösungen
[mm] x_1(a)=\bruch{a+a^3+2*\wurzel{2}*a*\wurzel{a^2+1}}{a^2+1} [/mm] und
[mm] x_2(a)=\bruch{a+a^3-2*\wurzel{2}*a*\wurzel{a^2+1}}{a^2+1}
[/mm]
Einsetzen dieser beiden Lösungen für x in die Geradengleichung ergibt dann folgenden Graphen
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hi,
>
> die Geradengleichung durch die Punkte [mm]\overline{MA}[/mm] lautet
> [mm]g(x,a)=\bruch{a-x}{a}[/mm] und die Kreisgleichung lautet
> [mm](x-a)^2+y^2=r^2[/mm]
>
> Auflösen der Kreisgleichung nach y und gleichsetzen mit
> der Geradengleichung und dann auflösen nach x, ergibt die
> beiden Lösungen
>
> [mm]x_1(a)=\bruch{a+a^3+2*\wurzel{2}*a*\wurzel{a^2+1}}{a^2+1}[/mm]
> und
>
> [mm]x_2(a)=\bruch{a+a^3-2*\wurzel{2}*a*\wurzel{a^2+1}}{a^2+1}[/mm]
>
> Einsetzen dieser beiden Lösungen für x in die
> Geradengleichung ergibt dann folgenden Graphen
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo ullim,
ich befürchte, dass du diese Antwort an den falschen
Thread angehängt hast. Zumindest die Lösungskurve
erinnert mich aber an meine andere gestellte Aufgabe:
Kurvengleichung aufstellen 981177
Ich hätte für die beiden Aufgaben sinnvollerweise
unterschiedliche Überschriften verwendet.
Ich werde deine Lösung noch anschauen, komme
nur im Moment nicht gleich dazu.
LG , Al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:10 Sa 05.10.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
ja da hast Du recht. Kann man das verschieben?
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> Hi,
>
> die Geradengleichung durch die Punkte [mm]\overline{MA}[/mm] lautet
> [mm]g(x,a)=\bruch{a-x}{a}[/mm] und die Kreisgleichung lautet
> [mm](x-a)^2+y^2=r^2[/mm]
>
> Auflösen der Kreisgleichung nach y und gleichsetzen mit
> der Geradengleichung und dann auflösen nach x, ergibt die
> beiden Lösungen
>
> [mm]x_1(a)=\bruch{a+a^3+2*\wurzel{2}*a*\wurzel{a^2+1}}{a^2+1}[/mm]
> und
>
> [mm]x_2(a)=\bruch{a+a^3-2*\wurzel{2}*a*\wurzel{a^2+1}}{a^2+1}[/mm]
>
> Einsetzen dieser beiden Lösungen für x in die
> Geradengleichung ergibt dann folgenden Graphen
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Hallo ullim,
ich habe es etwas anders angestellt. Bei mir hat M die
Koordinaten M(t|0). Für die obere Kurve (die mit der
Schleife) ergibt sich die Parameterdarstellung
[mm] $\pmat{x(t)\\y(t)}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{t*\left(1-\sqrt{\frac{8}{t^2+1}}\right)\\ \sqrt{\frac{8}{t^2+1}}}$
[/mm]
Für die untere Kurve:
[mm] $\pmat{x(t)\\y(t)}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{t*\left(1+\sqrt{\frac{8}{t^2+1}}\right)\\ -\sqrt{\frac{8}{t^2+1}}}$
[/mm]
Für eine parameterfreie Darstellung kann man beide
Teilkurven zu einer zusammenfassen mit der Gleichung
$\ [mm] x^2\ [/mm] =\ [mm] (y-1)^2*\left(\frac{8}{y^2}-1\right)$
[/mm]
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