Kurvenintegral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Dr.Ufo |
Hallo zusammen!
Wir beschäftigen uns gerade mit Kurvenintegralen! Die allgemeine Berechnung wenn die Werte gegeben sind ist kein Problem, aber bei den folgenden Aufgabenteilen weiß ich nicht so ganz wie ich das genau anwenden muss!
Teil a)
Berechne [mm] \integral_{\gamma}^{} 2xy^{3}dx+3x^{2}y^{2}dy
[/mm]
mit [mm] \gamma:[0,1] \to \IR^{2} [/mm] differenzierbarer Integrationsweg von (0,0) nach (1,1)
Kann ich mir ein [mm] \gamma(t) [/mm] wählen? da das Ingeral wegunabhängig ist?
Wäre dann:
Setze [mm] \gamma(t)=(t,t) \rightarrow \gamma'(t) [/mm] =(1,1)
Nach Definition also:
[mm] \integral_{0}^{1} {(2tt^{3}*1+3t^{2}t^{2}*1)dt}=1
[/mm]
Stimmt das? Wie sonst?
Teil b)
(w sei kleines Omega)
[mm] w=y*e^{z}dx+x*e^{z}dy+x*y*e^{z}dz [/mm]
Berechne die Stammfunktion F durch berechnung des Kurvenintegrals [mm] \intergal_{ \partial}^{} [/mm] {w}
[mm] \partial [/mm] sei Weg im [mm] \IR^{3} [/mm] von (0,0,0) nach (x,y,z) der sich aus drei wegen zusammensetzt:
[mm] \partial_{1} [/mm] : von (0,0,0) nach (x,0,0)
Parametrisierung [mm] p_{1}(t)=(t,0,0) [/mm] t [mm] \in [/mm] [0,x]
[mm] \partial_{2} [/mm] : von (x,0,0) nach (x,y,0)
Parametrisierung [mm] p_{2}(t)=(x,t,0) [/mm] t [mm] \in [/mm] [0,y]
[mm] \partial_{3} [/mm] : von (x,y,0) nach (x,y,z)
Parametrisierung [mm] p_{3}(t)=(x,y,t) [/mm] t [mm] \in [/mm] [0,z]
Was benutze ich hier in der Parametrisierung für [mm] \partial [/mm] ?
Gehe ich von (0,0,0) nach (x,y,z) mit p(t) = ( ? )
Könnt ihr mir einen Tip geben wie ich da rangehen muss?
Wär ganz doll lieb!
Hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt!
Danke, Dr.Ufo
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Hallo Dr. Ufo,
das integral unter a) kannst du noch ein wenig eleganter berechnen:
Ist der integrand eines kurvenintegrals ein totales differential, d.h. lässt sich eine stammfunktion $F$ angeben, so ist ja das integral kurvenunabhängig und lässt sich über $F$ nur aus start- und endpunkt der kurve berechnen.
das schöne an solchen Ü-aufgaben ist ja nun, dass sich stammfunktionen oft schon durch sehr genaues hinsehen finden lassen...  versuch es mal!
VG
Matthias
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 19:22 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Dr.Ufo |
Hallo Matthias!
Leider verstehe ich deinen Tip überhaupt nicht! Ist meine Lösung denn richtig?
Kannst du mir vielleicht mal ein Beispiel geben für das was du meinst? Wie soll ich denn ohne eine [mm] \gamma [/mm] Funktion rechnen?
Danke
Dr.Ufo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:29 Do 01.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Dr.Ufo!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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Hallo Dr.Ufo,
> Teil b)
> (w sei kleines Omega)
>
> [mm]w=y*e^{z}dx+x*e^{z}dy+x*y*e^{z}dz[/mm]
> Berechne die Stammfunktion F durch berechnung des
> Kurvenintegrals [mm]\intergal_{ \partial}^{}[/mm] {w}
> [mm]\partial[/mm] sei Weg im [mm]\IR^{3}[/mm] von (0,0,0) nach (x,y,z) der
> sich aus drei wegen zusammensetzt:
> [mm]\partial_{1}[/mm] : von (0,0,0) nach (x,0,0)
> Parametrisierung [mm]p_{1}(t)=(t,0,0)[/mm] t [mm]\in[/mm] [0,x]
> [mm]\partial_{2}[/mm] : von (x,0,0) nach (x,y,0)
> Parametrisierung [mm]p_{2}(t)=(x,t,0)[/mm] t [mm]\in[/mm] [0,y]
> [mm]\partial_{3}[/mm] : von (x,y,0) nach (x,y,z)
> Parametrisierung [mm]p_{3}(t)=(x,y,t)[/mm] t [mm]\in[/mm] [0,z]
>
> Was benutze ich hier in der Parametrisierung für [mm]\partial[/mm]
> ?
> Gehe ich von (0,0,0) nach (x,y,z) mit p(t) = ( ? )
> Könnt ihr mir einen Tip geben wie ich da rangehen muss?
Die Parametrisierungen sind doch schon vorgegeben.
Es ist also dies hier zu berechnen:
[mm]
\int\limits_\partial \omega \; = \;\int\limits_{\partial _1 } \omega \; + \;\int\limits_{\partial _2 } \omega \; + \;\int\limits_{\partial _3 } \omega [/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Dr.Ufo |
Hallo MathePower!
Ich hab jetzt die Berechnung so gemacht wie du es geschrieben hast!
Stimmt das dann so?
> > [mm]\partial_{1}[/mm] : von (0,0,0) nach (x,0,0)
> > Parametrisierung [mm]p_{1}(t)=(t,0,0)[/mm] t [mm]\in[/mm] [0,x]
[mm] \partial_1(t)=(1,0,0)
[/mm]
[mm] \rightarrow \integral_{\partial_1}{} [/mm] w=0
> > [mm]\partial_{2}[/mm] : von (x,0,0) nach (x,y,0)
> > Parametrisierung [mm]p_{2}(t)=(x,t,0)[/mm] t [mm]\in[/mm] [0,y]
[mm] \partial_2(t)=(x,1,0)
[/mm]
[mm] \rightarrow \integral_{\partial_2}{} {w}=1/2*xy^{2}+xy
[/mm]
> > [mm]\partial_{3}[/mm] : von (x,y,0) nach (x,y,z)
> > Parametrisierung [mm]p_{3}(t)=(x,y,t)[/mm] t [mm]\in[/mm] [0,z]
[mm] \partial_3(t)=(x,y,1)
[/mm]
[mm] \rightarrow \integral_{\partial_3}{} {w}=3xy*(e^{z}-1)
[/mm]
Das ergbit dann insgesamt:
[mm] \integral_{\partial}{} {w}=xy*(1/2*y+1+3e^{z}-3)
[/mm]
So korrekt?
Danke
Dr.Ufo
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Hallo Dr.Ufo,
> Hallo MathePower!
>
> Ich hab jetzt die Berechnung so gemacht wie du es
> geschrieben hast!
> Stimmt das dann so?
> > > [mm]\partial_{1}[/mm] : von (0,0,0) nach (x,0,0)
> > > Parametrisierung [mm]p_{1}(t)=(t,0,0)[/mm] t [mm]\in[/mm] [0,x]
>
> [mm]\partial_1(t)=(1,0,0)[/mm]
>
> [mm]\rightarrow \integral_{\partial_1}{}[/mm] w=0
Ok. Das stimmt noch.
Nach der Parametrisierung ist
[mm]
\begin{gathered}
x\; = \;t\; \Rightarrow \;dx\; = \;dt \hfill \\
y\; = \;0\; \Rightarrow \;dy\; = \;0\;dt \hfill \\
z\; = \;0\; \Rightarrow \;dz\; = \;0\;dt \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Dies eingesetzt ergibt:
[mm]
\int\limits_0^x {0\;e^0 \;} dt\; + \;0\;e^0 \;dt\; + \;t\;0\;e^0 \;dt\; = \;\int\limits_0^x {0\;} dt\; = \;0
[/mm]
>
> > > [mm]\partial_{2}[/mm] : von (x,0,0) nach (x,y,0)
> > > Parametrisierung [mm]p_{2}(t)=(x,t,0)[/mm] t [mm]\in[/mm] [0,y]
>
> [mm]\partial_2(t)=(x,1,0)[/mm]
>
> [mm]\rightarrow \integral_{\partial_2}{} {w}=1/2*xy^{2}+xy[/mm]
>
> > > [mm]\partial_{3}[/mm] : von (x,y,0) nach (x,y,z)
> > > Parametrisierung [mm]p_{3}(t)=(x,y,t)[/mm] t [mm]\in[/mm] [0,z]
>
> [mm]\partial_3(t)=(x,y,1)[/mm]
>
> [mm]\rightarrow \integral_{\partial_3}{} {w}=3xy*(e^{z}-1)[/mm]
>
> Das ergbit dann insgesamt:
>
> [mm]\integral_{\partial}{} {w}=xy*(1/2*y+1+3e^{z}-3)[/mm]
>
> So korrekt?
Nein. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Rechne das Ergebnis der beiden letzten Integral nochmal nach (siehe oben). Und nehme dazu die Parametrisierungen die vorgegeben sind.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:48 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Dr.Ufo |
Hallo MathePower,
so nochmal ein Versuch!
zu 2.
[mm] p_2 [/mm] '(t)=(0,1,0)
x=x [mm] \rightarrow [/mm] dx=0 dt
y=t [mm] \rightarrow [/mm] dy=1 dt
z=0 [mm] \rightarrow [/mm] dz=0 dt
also [mm] \integral_{0}^{y} {t*e^{0}*0 dt +x*e^{0}1 dt+xte^{0} dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{y} [/mm] {xdt+xdt} =2xy
zu 3.
x=x [mm] \rightarrow [/mm] dx=0 dt
y=y [mm] \rightarrow [/mm] dy= 0 dt
z=t [mm] \rightarrow [/mm] dz= 1 dt
also [mm] \integral_{0}^{z} {y*e^{t}0 dt+x*e^{t} 0 dt+y e^{t}dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{z} {ye^{t}dt} [/mm] = [mm] y*e^{z}-y
[/mm]
Alos wäre
[mm] \integral_{p}^{}=2xy+y*e^{z}-y
[/mm]
Stimmt das jetzt so?
Danke Dr.Ufo
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Hallo Dr.Ufo,
> Hallo MathePower,
>
> so nochmal ein Versuch!
>
> zu 2.
>
> [mm]p_2[/mm] '(t)=(0,1,0)
>
> x=x [mm]\rightarrow[/mm] dx=0 dt
> y=t [mm]\rightarrow[/mm] dy=1 dt
> z=0 [mm]\rightarrow[/mm] dz=0 dt
>
> also [mm]\integral_{0}^{y} {t*e^{0}*0 dt +x*e^{0}1 dt+xte^{0} dt}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{y}[/mm] {xdt+xdt} =2xy
hier bleibt nur
[mm]\integral_{0}^{y}[/mm] [mm] {xdt}\;=\;x\;y[/mm]
[/mm]
stehen.
>
> zu 3.
>
> x=x [mm]\rightarrow[/mm] dx=0 dt
> y=y [mm]\rightarrow[/mm] dy= 0 dt
> z=t [mm]\rightarrow[/mm] dz= 1 dt
>
> also [mm]\integral_{0}^{z} {y*e^{t}0 dt+x*e^{t} 0 dt+y e^{t}dt}[/mm]
>
> [mm]=\integral_{0}^{z} {ye^{t}dt}[/mm] = [mm]y*e^{z}-y[/mm]
Da ist wohl ein x beim Integranden verlorengegangen.
>
> Alos wäre
> [mm]\integral_{p}^{}=2xy+y*e^{z}-y[/mm]
>
> Stimmt das jetzt so?
Sorry, aber es stimmt leider immer noch nicht.
Gruß
MathePower
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