Kurvenintegral < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Do 26.01.2006 | | Autor: | K-D |
Hallo,
ich wollte fragen warum das Kurvenintegral
[mm] \integral_{C}^{} [/mm] y² dx
Null ist (C ist ein Kreis um den Ursprung).
Denn ich würde es so umschreiben:
[mm] \integral_{C}^{} [/mm] y² dx = [mm] \integral_{b1}^{b2} \integral_{g1(x)}^{g2(x)} [/mm] y² dy dx
Und das ist weiter:
[mm] \integral_{b1}^{b2} {\bruch{g2(x)³-g1(x)³}{3} dx}
[/mm]
Und im Fall eins Kreises um den Ursprung müßte doch gelten:
g1(x) = - g2(x)
Und dann hätte ich
[mm] \integral_{b1}^{b2} {\bruch{2*g2(x)³}{3} dx}
[/mm]
Was mache ich falsch da falsch, denn wenn ich es wie folgt ausrechne ist es wirklich Null:
[mm] \integral_{C}^{} [/mm] y² dx = [mm] \integral_{0}^{2 Pi} [/mm] Sin[t]² [mm] \bruch{dx}{dt} [/mm] dt = 0
Gerade fällt mir was auf, das Formulieren der Frage bringt schon etwas 
Ist die Annahme oben falsch?
Müßte es korrekt heißen (?):
[mm] \integral_{C}^{} [/mm] y² dx = [mm] \integral_{b1}^{b2} \integral_{g1(x)²}^{g2(x)²} [/mm] 1 dy dx
und für die gilt dann wieder g1(x) = -g2(x) und dann wäre das Integral Null.
Gruß,
K-D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:42 Fr 27.01.2006 | | Autor: | Paulus |
Hallo
ich würde das eher so interpretieren: [mm] $y^2$ [/mm] ist das Quadrat des Imaginärteils, und dx ist nur ein "d-Realteil".
Mit $z = [mm] r*(\cos(t)+i*\sin(t))$ [/mm] ist dann $dx = [mm] -r*\sin(t) [/mm] dt$
Womit zu berechnen ist: [mm] $-r^3*\int_0^{2\pi}{\sin^3(t) \, dt}$
[/mm]
Ich hoffe, meine Interpretation sei richtig. Jedenfalls schreibe ich das hier nicht als Antwort, sondern als Mitteilung, damit noch weitere Kommentare dazu geschrieben werden.
Gruss
Paul
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:19 Fr 27.01.2006 | | Autor: | djmatey |
Hallo,
das liegt kurz und knapp am Cauchy'schen Integralsatz für konvexe Gebiete. Findest Du bei wikipedia dot de oder im Buch Funktionentheorie von Fischer/Lieb, z.B.
Liebe Grüße,
djmatey
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