Kurvenintegral 1.Art / 2.Art ? < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Do 29.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Ich habe bis jetzt eigentlich immer nur Kurvenintegrale 2.Art gemacht. Auf Wikipedia (![[]](/images/popup.gif) Kurvenintegral steht da was von Kurvenintegralen 1.Art.
Meine Frage: Für was sind diese gut? Für was braucht man sie? Bzw. Intuitiv, was kann man sich darunter vorstellen? Die zweiter Art sind ja für Arbeit entlang eines Weges (negative Richtung und Positive werden beachtet).
Kurvenintegral 1. Art:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(y(t)) ||y'(t)|| dt}.
[/mm]
Okay, was ich sehe ist, dass die Kurvenintegrale 2.Art für Funktionen von [mm] R^{n} [/mm] in den [mm] R^{n} [/mm] sind und die Kurvenintegrale 1.Art für Funktionen von [mm] R^{n} [/mm] in R.
Aber weshalb nimmt man den bei dem 1.Art den Betrag von der Ableitung von y(t)?
Gruss Qsxqsx
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:58 Do 29.07.2010 | | Autor: | fred97 |
Im 2-dimensionalen hat das Integral folgende anschauliche Bedeutung: Stell Dir vor, Du hast einen Weg
[mm] \gamma\colon[a,b]\to\mathbb R^2
[/mm]
und eine Funktion $f: [mm] \gamma([a,b]) \to \IR$. [/mm] In einem dreidim. Koordinatensystem kannst Du Dir den Graphen von f vorstellen wie einen "Vorhang" über dem Weg [mm] \gamma.
[/mm]
Das Integral
$ [mm] \int\limits_\gamma f\,\mathrm [/mm] ds := [mm] \int\limits_a^b f(\gamma(t))\; \|\dot\gamma(t)\| \; \,\mathrm [/mm] dt.$
gibt anschaulich den "Flächeninhalt des Vorhangs" an
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Do 29.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Danke, das ist nett.
Ich habe das mit dem Vorhang schon im google gelesen, nur da war es sonst unbegreiflich erklärt.
Nur eine Frage bleibt mir noch: Wie kommt man analytisch auf den Betrag?
Intuitiv ist es ja klar, man will ja nicht wieder Fläche verlieren, nur weil man die Richtung umdreht.
Aber gehen wir von [mm] \int\limits_\gamma f\,\mathrm [/mm] ds aus.
Substitution s := y(t)
[mm] \bruch{ds}{dt} [/mm] = y'(t) , somit ist ds =y'(t)*dt
Einsetzen liefert:
[mm] \int\limits_a^b f(\gamma(t))\; \dot\gamma(t) \; \,\mathrm [/mm] dt
Oder nicht? Ist der Betrag eigentlich wichtig oder kann ich den vernachlässigen?; )
Gruss
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:51 Do 29.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> Danke, das ist nett.
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> Ich habe das mit dem Vorhang schon im google gelesen, nur
> da war es sonst unbegreiflich erklärt.
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> Nur eine Frage bleibt mir noch: Wie kommt man analytisch
> auf den Betrag?
> Intuitiv ist es ja klar, man will ja nicht wieder Fläche
> verlieren, nur weil man die Richtung umdreht.
>
> Aber gehen wir von [mm]\int\limits_\gamma f\,\mathrm[/mm] ds aus.
> Substitution s := y(t)
Nein. In diesem Zusammenhang ist mit s die Weglängenfunktion gemeint: $s(t)= [mm] \integral_{a}^{t}{||\gamma'(\tau)|| d \tau}$
[/mm]
Ist [mm] \gamma [/mm] stückweise stetig differenzierbar, so liefert der Hauptsatz der Differential - und Integralrechnung:
[mm] $\bruch{d}{dt}s(t)= ||\gamma'(t)||$,
[/mm]
also
$ds= [mm] ||\gamma'(t)|| [/mm] dt$
>
> [mm]\bruch{ds}{dt}[/mm] = y'(t) , somit ist ds =y'(t)*dt
> Einsetzen liefert:
>
> [mm]\int\limits_a^b f(\gamma(t))\; \dot\gamma(t) \; \,\mathrm[/mm]
> dt
>
> Oder nicht? Ist der Betrag eigentlich wichtig oder kann ich
> den vernachlässigen?; )
Natürlich ist der Betrag wichtig !!!!
Da f reellwertig ist und [mm] \gamma' [/mm] vektorwertig, ist [mm] f(\gamma(t))\; \dot\gamma(t) [/mm] vektorwertig, daggegen ist [mm] $f(\gamma(t))||\gamma'(t)||$ [/mm] reellwertig (also ein gewaltiger Unterschied !)
FRED
>
> Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:36 Do 29.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Ich habs verstanden!
PS: Ich habe noch einen Tipp für dich,
Websitewert Matheraum
...du könntest den Matheraum mit deinen Helfern verkaufen, abhauen und Ferien auf den Malediven machen.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:52 Do 29.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habs verstanden!
>
> PS: Ich habe noch einen Tipp für dich,
>
> Websitewert Matheraum
>
> ...du könntest den Matheraum mit deinen Helfern verkaufen,
> abhauen und Ferien auf den Malediven machen.
.......................... sehr witzig ................
FRED
>
> Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:09 Fr 30.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habs verstanden!
>
> PS: Ich habe noch einen Tipp für dich,
>
> Websitewert Matheraum
>
> ...du könntest den Matheraum mit deinen Helfern verkaufen,
> abhauen und Ferien auf den Malediven machen.
Gestern wollte ich mich nicht weiter zu diesem Thema äußern, aber jetzt muß es raus:
meine Helfer und ich hatten in einer geheimen Sitzung beschlossen, den User qsxqsx an die Firma Blödschwätz AG zu verkaufen. Der Marktwert des Users war jedoch so gering, dass wir bei dieser Transaktion noch hätten drauflegen müssen und unser gemeinsamer Urlaub in Bitterfeld gefährdet gewesen wäre. So bleibt alles wie es war und obiger User kann weiterhin durch ungemein kluge Beiträge auffallen( s.o. und hier: https://matheraum.de/read?i=704399)
Mfg
FRED
(Geschäftsführer der Fa. Humoristerlernbar)
>
> Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 Fr 30.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Bist du wirklich Geschäftsführer?! Ich habe immer gedacht, ich könne später eine Firma gründen und dich als Rechner einstellen. Weisst du, ich verkaufe und du rechnest. Was hälst du davon?
Weisst du Fred, ich weiss doch, dass du es dir nicht verkneifen kannst noch einen weiteren Komment abzulegen.
Wieso lässt du dich blos immer auf mein Niveau herunter?
Ich warte gespannt auf einen weiteren - richtig fiesen, mit elaboriertem Wortschatz bestückten - Kommentar von dir.
Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:43 Fr 30.07.2010 | | Autor: | fred97 |
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> Bist du wirklich Geschäftsführer?! Ich habe immer
> gedacht, ich könne später eine Firma gründen und dich
> als Rechner einstellen.
Als ich noch klein war , war ich Taschenrechner ! Erfahrung hab ich also schon.
> Weisst du, ich verkaufe und du
> rechnest. Was hälst du davon?
>
> Weisst du Fred, ich weiss doch, dass du es dir nicht
> verkneifen kannst noch einen weiteren Komment abzulegen.
> Wieso lässt du dich blos immer auf mein Niveau herunter?
..................... um nachzufühlen, wie beschissen Du Dich fühlen mußt ..........
>
> Ich warte gespannt auf einen weiteren - richtig fiesen, mit
> elaboriertem Wortschatz bestückten - Kommentar von dir.
Wenn Dein Verstandsich so weit entwickelt hat, daß er weiß, wohin Du zu gehen hat, spielen Deine Beine schon nicht mehr mit.
FRED
>
> Gruss
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:45 Fr 30.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Haha, du bist ein Original, Fred!:D Du warst sicher mal Professor oder "sowas"...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Fr 30.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Haha, du bist ein Original, Fred!:D Du warst sicher mal
> Professor oder "sowas"...
Das ist alles ? Ich habe gehofft, es käme was originelles zurück.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:04 Fr 30.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Weisst du, ich wollte nur nicht zu persönlich werden.
Aber ich kanns mir nicht verkneifen: Ich glaube du hast letzte Nacht von den Malediven geträumt, und deshalb bist du nun so in Aufruhr.
Tut mir leid, wenn ich dich psychologisch manipuliert habe. Ich will dir echt keine unsinnigen Gedanken ins Hirn einbrennen.
Gruss
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