Kurvenintegral berechnen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Die Kurve C sei gegeben durch die Parametersierung
x: [0,2] -> [mm] R^{3}, [/mm] t -> x(t) = [mm] \begin{pmatrix} t cos(2 \pi t) \\ t sin(2 \pi t) \\ exp(t) \end{pmatrix} [/mm] .
Berechnen Sie das Kurvenintegral [mm] \integral_{C}^{}{G dx} [/mm] für das Vektorfeld
G : D -> [mm] R^{3}, \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} [/mm] -> [mm] G(x_{1}, x_{2}, x_{3}) [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x_{1}ln(x_{3}) \\ x_{2}ln(x_{3}) \\ x_{3}^{2} \end{pmatrix}
[/mm]
mit D = [mm] {[x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T} \in R^{3} : x_{3} > 0}. [/mm] |
Hi zusammen,
um diese Aufgabe zu lösen muss ich doch die Stammfunktionen des Vektorfeldes berechnen und dann für [mm] x_{1-3} [/mm] die Parameter der Kurve einsetzen und für die t die obere und untere Grenze.
Dann obere minus unterer Grenze und dann habe ich das Integral berechnet.
Stimmt das ?
Hier was ich bisher gemacht habe:
[mm] F_{1} [/mm] = [mm] \bruch{x_{1}^{2}}{2}ln(x_{3}) [/mm] + [mm] c(x_{2},x_{3})
[/mm]
Nun habe ich nach [mm] x_{2} [/mm] differenziert
[mm] F_{x_{2}} [/mm] = 0
also muss ich [mm] x_{2}ln(x_{3}) [/mm] hinzu addieren und nach [mm] x_{2} [/mm] integrieren -> [mm] \bruch{x_{2}^{2}}{2}ln(x_{3})
[/mm]
[mm] F_{1} [/mm] = [mm] \bruch{x_{1}^{2}}{2}ln(x_{3}) [/mm] + [mm] \bruch{x_{2}^{2}}{2}ln(x_{3}) [/mm] + [mm] c(x_{3})
[/mm]
Nun nach [mm] x_{3} [/mm] differenzieren
[mm] F_{x_{3}} [/mm] = [mm] \bruch{x_{1}^{2}}{2x_{3}} [/mm] + [mm] \bruch{x_{2}^{2}}{2x_{3}} [/mm] + c
Nun sollte dies doch mit der dritten Komponente des Vektorfeldes, doch fällt mir nicht ein wie ich dies anstellen soll.
Wo liegt mein Fehler ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Die Kurve C sei gegeben durch die Parametersierung
> x: [0,2] -> [mm]R^{3},[/mm] t -> x(t) = [mm]\begin{pmatrix} t cos(2 \pi t) \\ t sin(2 \pi t) \\ exp(t) \end{pmatrix}[/mm]
> .
>
> Berechnen Sie das Kurvenintegral [mm]\integral_{C}^{}{G dx}[/mm]
> für das Vektorfeld
> G : D -> [mm]R^{3}, \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix}[/mm]
> -> [mm]G(x_{1}, x_{2}, x_{3})[/mm] = [mm]\begin{pmatrix} x_{1}ln(x_{3}) \\ x_{2}ln(x_{3}) \\ x_{3}^{2} \end{pmatrix}[/mm]
>
> mit D = [mm]{[x_{1}, x_{2}, x_{3})^{T} \in R^{3} : x_{3} > 0}.[/mm]
>
> Hi zusammen,
>
> um diese Aufgabe zu lösen muss ich doch die
> Stammfunktionen des Vektorfeldes berechnen
Das Vektorfeld G hat keine Stammfunktion ! Kümmere Dich mal um die Rotation !
FRED
> und dann für
> [mm]x_{1-3}[/mm] die Parameter der Kurve einsetzen und für die t
> die obere und untere Grenze.
>
> Dann obere minus unterer Grenze und dann habe ich das
> Integral berechnet.
> Stimmt das ?
>
> Hier was ich bisher gemacht habe:
> [mm]F_{1}[/mm] = [mm]\bruch{x_{1}^{2}}{2}ln(x_{3})[/mm] + [mm]c(x_{2},x_{3})[/mm]
>
> Nun habe ich nach [mm]x_{2}[/mm] differenziert
> [mm]F_{x_{2}}[/mm] = 0
> also muss ich [mm]x_{2}ln(x_{3})[/mm] hinzu addieren und nach [mm]x_{2}[/mm]
> integrieren -> [mm]\bruch{x_{2}^{2}}{2}ln(x_{3})[/mm]
>
> [mm]F_{1}[/mm] = [mm]\bruch{x_{1}^{2}}{2}ln(x_{3})[/mm] +
> [mm]\bruch{x_{2}^{2}}{2}ln(x_{3})[/mm] + [mm]c(x_{3})[/mm]
>
> Nun nach [mm]x_{3}[/mm] differenzieren
> [mm]F_{x_{3}}[/mm] = [mm]\bruch{x_{1}^{2}}{2x_{3}}[/mm] +
> [mm]\bruch{x_{2}^{2}}{2x_{3}}[/mm] + c
>
> Nun sollte dies doch mit der dritten Komponente des
> Vektorfeldes, doch fällt mir nicht ein wie ich dies
> anstellen soll.
>
> Wo liegt mein Fehler ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Bindl |
> Das Vektorfeld G hat keine Stammfunktion ! Kümmere Dich
> mal um die Rotation !
rot G = [mm] \begin{pmatrix} 0 - \bruch{x_{2}}{x_{3}} \\ \bruch{x_{1}}{x_{3}} - 0 \\ 0 - 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -\bruch{x_{2}}{x_{3}} \\ \bruch{x_{1}}{x_{3}} \\ 0 \end{pmatrix}
[/mm]
Das habe ich nun gemacht. (Hoffentlich richtig)
Und wie kann ich nun das Integral berechnen? Ich kenne das bisher nur mit der Stammfunktion.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:44 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Das Vektorfeld G hat keine Stammfunktion ! Kümmere Dich
> > mal um die Rotation !
>
> rot G = [mm]\begin{pmatrix} 0 - \bruch{x_{2}}{x_{3}} \\ \bruch{x_{1}}{x_{3}} - 0 \\ 0 - 0 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} -\bruch{x_{2}}{x_{3}} \\ \bruch{x_{1}}{x_{3}} \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Das habe ich nun gemacht. (Hoffentlich richtig)
Ja
>
> Und wie kann ich nun das Integral berechnen? Ich kenne das
> bisher nur mit der Stammfunktion.
Das glaube ich Dir nicht. Ihr habt doch sicher mal das Kurvenintegral definiert !! Schau nach.
Für Dich verrate ich es Dir , für den obigem speziellen Fall:
$ [mm] \integral_{C}^{}{G dx}=\integral_{0}^{2}{G(x(t))*x'(t) dt} [/mm] $,
wobei $G(x(t))*x'(t)$ das Skalarprodukt von G(x(t)) und x'(t) ist.
FRED der Verräter
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Mi 03.12.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
diese Definition hatten wir.
Nur wieso habe ich jetzt die Rotation berechnet?
Deswegen habe ich verzweifelt nach einer Definition mit der Rotation in der Formel gesucht. Beim googeln bin ich hin und wieder auf den Satz von Stokes gestoßen, jedoch hatten wir diesen noch nicht behandelt und deswegen dachte ich das der Aufgabensteller nicht von uns verlangt diesen anzuwenden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:18 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
> diese Definition hatten wir.
Na also !
>
> Nur wieso habe ich jetzt die Rotation berechnet?
Mann, Mann ....
Ich bin nicht im Bilde, welche Sätze Ihr hattet. Dies aber ganz bestimmt:
1. Ist D ein einfachzusammenhängendes Gebiet im [mm] \IR^n [/mm] und G:D [mm] \to \IR^n [/mm] ein stetig differenzierbares Vektorfeld, so gilt:
G besitzt auf D eine Stammfunktion [mm] \gdw [/mm] rot G=0 auf D.
2. D und G seien wie in 1. und [mm] \gamma:[a,b] \to [/mm] D sei ein stückweise stetig differenzierbarer Weg. Weiter besitze G auf D eine Stammfunktion F. Dann gilt
(*) [mm] \integral_{\gamma}^{}{G(x) *dx}=F(\gamma(b))-F(\gamma(a)).
[/mm]
Was lernen wir daraus ? Antwort: das:
Ist ein Integral der Form [mm] \integral_{\gamma}^{}{G(x) *dx} [/mm] zu berechnen, so prüft man zuerst, ob G eine Stammfunktion besitzt.
Ist das der Fall, so kann man das Integral [mm] \integral_{\gamma}^{}{G(x) *dx} [/mm] mit (*) berechnen.
Ist das nicht der Fall, so muss man das Integral "zu Fuß" berechnen und zwar mit der Def. von der Du gesagt hast, dass Ihr das hattet.
Ob G eine Stammfunktio besitzt, prüft man mit (*).
Ich mach Dir ein Beispiel:
D= [mm] \IR^2 [/mm] , [mm] G(x,y)=(2x+y,2y+x)^T [/mm] und [mm] \gamma:[0, \pi] \to \IR^2 [/mm] def. durch
[mm] \gamma(t)=(sin(t*exp(cost*sint)), cost*e^{t- \pi})^T
[/mm]
Wenn Du das Integral [mm] \integral_{\gamma}^{}{G(x,y) *d(x,y)} [/mm] zu Fuss ausrechnen willst, wirst Du zum Hirsch !
Es ist leicht zusehen, dass G eine Stammfunktion besitzt und dass eine solche gegeben ist durch
[mm] F(x,y)=x^2+y^2+xy
[/mm]
(zeige das !)
Eine lockere Rechnung liefert
[mm] \integral_{\gamma}^{}{G(x,y) *d(x,y)} =F(\gamma(\pi))-F(\gamma(0))=2.
[/mm]
FRED der rotierer
>
> Deswegen habe ich verzweifelt nach einer Definition mit der
> Rotation in der Formel gesucht. Beim googeln bin ich hin
> und wieder auf den Satz von Stokes gestoßen, jedoch hatten
> wir diesen noch nicht behandelt und deswegen dachte ich das
> der Aufgabensteller nicht von uns verlangt diesen
> anzuwenden.
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