Kurvenintegral im Komplexen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 06:19 Do 11.02.2010 | | Autor: | Pidgin |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Integral [mm] \int\limits_{\gamma} \frac{dz}{(z-\alpha)(z-\beta)} [/mm] über den Kreis [mm] \gamma [/mm] mit |z|=1 und [mm] |\alpha|\neq1, |\beta|\neq [/mm] 1. Berücksichtige die folgenden Fälle: i) [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta, [/mm] ii) 1 < [mm] |\alpha|,|\beta|; [/mm] iii) [mm] \alpha \neq \beta, |\alpha|, |\beta| [/mm] <1; iv) [mm] |\alpha|<1<|\beta|. [/mm] (Die Fälle i) und ii) sind leicht. Verwende Partialbruchzerlegung in Fällen iii) und iv). |
Frage 1: Ich weiß irgendwie nicht was rechnerisch für ein Unterschied zwischen Fall iii) und iv) besteht. Ich habe das Integral mit Partialbruchzerlung gelöst und habe an keiner Stelle erkannt, warum man diese zwei Fälle unterscheiden sollte.
Frage 2: Ich habe leider keine Ahnung wie ich die Integrale i) und ii) lösen soll. Außerdem sehe ich wieder nicht warum man diese zwei Fälle unterscheiden sollte. Kann ich hier irgendwie den Cauchy Integralsatz anwenden?
Danke für eure Hilfe. Wenn ihr Details zur Partialbruchzerlegung aus Frage 1 braucht, kann ich das bei Bedarf nachliefern.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:45 Do 11.02.2010 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das Integral [mm]\int\limits_{\gamma} \frac{dz}{(z-\alpha)(z-\beta)}[/mm]
> über den Kreis [mm]\gamma[/mm] mit |z|=1 und [mm]|\alpha|\neq1, |\beta|\neq[/mm]
> 1. Berücksichtige die folgenden Fälle: i) [mm]\alpha[/mm] = [mm]\beta,[/mm]
> ii) 1 < [mm]|\alpha|,|\beta|;[/mm] iii) [mm]\alpha \neq \beta, |\alpha|, |\beta|[/mm]
> <1; iv) [mm]|\alpha|<1<|\beta|.[/mm] (Die Fälle i) und ii) sind
> leicht. Verwende Partialbruchzerlegung in Fällen iii) und
> iv).
> Frage 1: Ich weiß irgendwie nicht was rechnerisch für
> ein Unterschied zwischen Fall iii) und iv) besteht. Ich
> habe das Integral mit Partialbruchzerlung gelöst und habe
> an keiner Stelle erkannt, warum man diese zwei Fälle
> unterscheiden sollte.
Dan zeig doch mal Deine Rechnungen !!!
>
> Frage 2: Ich habe leider keine Ahnung wie ich die Integrale
> i) und ii) lösen soll. Außerdem sehe ich wieder nicht
> warum man diese zwei Fälle unterscheiden sollte. Kann ich
> hier irgendwie den Cauchy Integralsatz anwenden?
Zu i): hier integrierst Du über die Funktion $z [mm] \to \bruch{1}{(z-\alpha)^2}$ [/mm] ($z [mm] \ne \alpha$). [/mm] Diese Funktion besitzt eine Stammfunktion, also ist das Integral = ???
Zu ii): Sei $f(z) = [mm] \bruch{1}{(z-\alpha)(z-\beta)}$. [/mm] Es gibt ein r>1, so dass f auf
[mm] $G:=\{z \in \IC: |z|
holomorph ist. Der Integrationsweg [mm] \gamma [/mm] liegt im Gebiet G, also ist das Integral = ???
FRED
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> Danke für eure Hilfe. Wenn ihr Details zur
> Partialbruchzerlegung aus Frage 1 braucht, kann ich das bei
> Bedarf nachliefern.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 07:17 Do 11.02.2010 | | Autor: | Pidgin |
> > Frage 1: Ich weiß irgendwie nicht was rechnerisch für
> > ein Unterschied zwischen Fall iii) und iv) besteht. Ich
> > habe das Integral mit Partialbruchzerlung gelöst und habe
> > an keiner Stelle erkannt, warum man diese zwei Fälle
> > unterscheiden sollte.
>
>
> Dan zeig doch mal Deine Rechnungen !!!
iii) [mm] \int\limits_{\gamma} \frac{dz}{(z-\alpha)(z-\beta)} [/mm] = [mm] \int\limits_0^{2\pi} \frac{ie^{it}}{(e^{it}-\alpha)(e^{it}-\beta)} [/mm] dt = [mm] \int\limits_0^{2\pi} \frac{B}{(e^{it}-\alpha)} [/mm] + [mm] \frac{A}{e^{it}-\beta}dt
[/mm]
Partialbruchzerlegung:
[mm] (e^{it}-\alpha)A [/mm] + [mm] B(e^{it}-\beta)= ie^{it}
[/mm]
A+B=i; [mm] \Rightarrow [/mm] B = i-A (1)
[mm] A\alpha [/mm] + [mm] B\beta [/mm] = 0 (2)
[mm] \Rightarrow [/mm] A = [mm] \frac{i\beta}{\beta - \alpha}; [/mm] B = [mm] \frac{i\alpha}{\alpha - \beta}
[/mm]
[mm] \frac{1}{\alpha -\beta} \int\limits_0^{2\pi} \frac{i\alpha}{e^{it}-\alpha} [/mm] dt + [mm] \frac{1}{\beta - \alpha} \int\limits_0^{2\pi} \frac{i\beta}{e^{it}-\beta} [/mm] dt = [mm] \frac{1}{\alpha - \beta}\cdot (-2i\pi) [/mm] - [mm] \frac{2i\pi}{\beta -\alpha} [/mm] = 0
In meiner Rechnung sehe ich jetzt keinen Schritt der für Fall iv) nicht gehen würde. Sind dann Fall iii) und Fall iv) gleich Null?
> >
> > Frage 2: Ich habe leider keine Ahnung wie ich die Integrale
> > i) und ii) lösen soll. Außerdem sehe ich wieder nicht
> > warum man diese zwei Fälle unterscheiden sollte. Kann ich
> > hier irgendwie den Cauchy Integralsatz anwenden?
>
>
> Zu i): hier integrierst Du über die Funktion [mm]z \to \bruch{1}{(z-\alpha)^2}[/mm]
> ([mm]z \ne \alpha[/mm]). Diese Funktion besitzt eine
> Stammfunktion, also ist das Integral = ???
Ich sehe gerade die Stammfunktion nicht. Kannst du mir weiterhelfen?
>
> Zu ii): Sei [mm]f(z) = \bruch{1}{(z-\alpha)(z-\beta)}[/mm]. Es gibt
> ein r>1, so dass f auf
>
> [mm]G:=\{z \in \IC: |z|
>
> holomorph ist. Der Integrationsweg [mm]\gamma[/mm] liegt im Gebiet
> G, also ist das Integral = ???
>
Unter diesen Voraussetzungen ist das Integral über die geschlossene Kurve gleich Null nehme ich an. Ist deine Rechnung nicht auf Fall iii) bezogen, da der Aufgabensteller in Fall ii) [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta [/mm] glaube ich vergessen hat. Sonst wären ja ii) und iii) gleich.
Dann stellt sich mir die Frage was der Unterschied zwischen der Rechnung in Fall i) und ii) sein soll.
Ich hoffe ich stifte nicht noch mehr Verwirrung.
Danke für eure Hilfe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:47 Do 11.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Partialbruchzerlegung:
Durch die kämpf ich mich jetzt nicht, aber dusolltest das mit den einfachsten Veriablen machen, so zB [m]\bruch{A}{z-a}+\bruch{B}{z-b}=\bruch{1}{(z-a)(z-b)}[/m] als leichteste Variante ...
> > Zu i): hier integrierst Du über die Funktion [mm]z \to \bruch{1}{(z-\alpha)^2}[/mm]
> > ([mm]z \ne \alpha[/mm]). Diese Funktion besitzt eine
> > Stammfunktion, also ist das Integral = ???
>
> Ich sehe gerade die Stammfunktion nicht. Kannst du mir
> weiterhelfen?
Leite mal [m]g(z)=1/z[/m] ab.
> Unter diesen Voraussetzungen ist das Integral über die
> geschlossene Kurve gleich Null nehme ich an.
Nimmst du an?
> Ist deine
> Rechnung nicht auf Fall iii) bezogen, da der
> Aufgabensteller in Fall ii) [mm]\alpha[/mm] = [mm]\beta[/mm] glaube ich
> vergessen hat.
Wieso vergessen? Das wird in i.) erschlagen und ist auch völlig egal.
> Sonst wären ja ii) und iii) gleich.
??? Kommt jeweils 0 raus, ja.
> Dann stellt sich mir die Frage was der Unterschied
> zwischen der Rechnung in Fall i) und ii) sein soll.
Das bei ii.) die beiden Nullstellen nicht gleich sein müssen?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:26 Do 11.02.2010 | | Autor: | Pidgin |
> > Ich sehe gerade die Stammfunktion nicht. Kannst du mir
> > weiterhelfen?
>
> Leite mal [m]g(z)=1/z[/m] ab.
Mir ist schon klar dass das die Stammfunktion ist, habe aber trotzdem folgendes Problem. Ich muss ja einmal um den Einheitskreis integrieren, deshalb dachte ich man muss das Integral erstmal in Polarkoordinaten parametrisieren:
[mm] \int\limits_{|z|=1} \frac{1}{(z-\alpha)^2} [/mm] dz = [mm] \int\limits_0^{2\pi} \frac{ie^{it}}{(e^{it}-\alpha)^2}dt [/mm] Wie komm ich dann von diesem Punkt aus weiter?
>
> > Unter diesen Voraussetzungen ist das Integral über die
> > geschlossene Kurve gleich Null nehme ich an.
>
> Nimmst du an?
Nehme nicht ich an, sondern das behauptet der liebe Herr Cauchy mit seinem Integralsatz
>
> > Ist deine
> > Rechnung nicht auf Fall iii) bezogen, da der
> > Aufgabensteller in Fall ii) [mm]\alpha[/mm] = [mm]\beta[/mm] glaube ich
> > vergessen hat.
>
> Wieso vergessen? Das wird in i.) erschlagen und ist auch
> völlig egal.
>
> > Sonst wären ja ii) und iii) gleich.
>
> ??? Kommt jeweils 0 raus, ja.
>
> > Dann stellt sich mir die Frage was der Unterschied
> > zwischen der Rechnung in Fall i) und ii) sein soll.
>
> Das bei ii.) die beiden Nullstellen nicht gleich sein
> müssen?
>
Ok jetzt formuliere ich meine Frage zu dem Unterschied der verschiedenen Fälle hoffentlich nochmal klarer.
Fall i) [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta
[/mm]
Fall ii) [mm] |\alpha|,|\beta| [/mm] < 1 (Nehme an das folgende Korrektur notwendig ist: [mm] \alpha [/mm] = [mm] \beta)
[/mm]
Fall iii) [mm] \alpha \neq \beta; |\alpha|, |\beta| [/mm] <1
Fall iv) [mm] |\alpha| [/mm] < 1 < [mm] |\beta|
[/mm]
In Fall iii) und iv) wird mir Partialbruchzerlegung empfohlen. Ich habe aber keine Ahnung warum ich diese zwei Fälle getrennt betrachten muss, da bei der Partialbruchzerlegung keine Probleme auftreten.
Ok ich glaube ich hab jetzt Fall ii) gelöst:
Ich habe mir als [mm] \gamma(t) [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] e^{i*t} [/mm] definiert.
Dann sieht mein Integral wie folgt aus:
[mm] \int\limits_0^{2\pi} \frac{ie^{it}}{e^{2it}} [/mm] dt = ... = 0
Diese Methode kann ich in Fall i) aber glaube ich nicht anwenden, da ja [mm] |\alpha|>1 [/mm] gelten könnte und es dann nicht in meinem Integrationsgebiet liegt.
Jetzt bräuchte ich noch einen Tipp für Fall i) und warum Fall iii) und Fall iv) verschieden sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:31 Do 11.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > Ich sehe gerade die Stammfunktion nicht. Kannst du mir
> > > weiterhelfen?
> >
> > Leite mal [m]g(z)=1/z[/m] ab.
>
> Mir ist schon klar dass das die Stammfunktion ist, habe
> aber trotzdem folgendes Problem. Ich muss ja einmal um den
> Einheitskreis integrieren, deshalb dachte ich man muss das
> Integral erstmal in Polarkoordinaten parametrisieren:
>
> [mm]\int\limits_{|z|=1} \frac{1}{(z-\alpha)^2}[/mm] dz =
> [mm]\int\limits_0^{2\pi} \frac{ie^{it}}{(e^{it}-\alpha)^2}dt[/mm]
> Wie komm ich dann von diesem Punkt aus weiter?
Wenn [mm] $\gamma(t) [/mm] = [mm] e^{i t}$ [/mm] ist, dann ist dies [mm] $-\int_0^{2 \pi} g'(\gamma(t)) \gamma'(t) [/mm] dt$. Nach der Kettenregel also [mm] $-\int_0^{2 \pi} [/mm] (g [mm] \circ \gamma)' [/mm] dt$. Und dies ist eben $-((g [mm] \circ \gamma)(2 \pi) [/mm] - (g [mm] \circ \gamma)(0))$.
[/mm]
> Ok jetzt formuliere ich meine Frage zu dem Unterschied der
> verschiedenen Fälle hoffentlich nochmal klarer.
> Fall i) [mm]\alpha[/mm] = [mm]\beta[/mm]
> Fall ii) [mm]|\alpha|,|\beta|[/mm] < 1 (Nehme an das folgende
> Korrektur notwendig ist: [mm]\alpha[/mm] = [mm]\beta)[/mm]
Nein, hier kann [mm] $\alpha \neq \beta$ [/mm] sein. Allerdings gilt [mm] $|\alpha|, |\beta| [/mm] > 1$ und nicht $< 1$! Ansonsten hast du ja Fall iii)!
> Fall iii) [mm]\alpha \neq \beta; |\alpha|, |\beta|[/mm] <1
> Fall iv) [mm]|\alpha|[/mm] < 1 < [mm]|\beta|[/mm]
>
> In Fall iii) und iv) wird mir Partialbruchzerlegung
> empfohlen. Ich habe aber keine Ahnung warum ich diese zwei
> Fälle getrennt betrachten muss, da bei der
> Partialbruchzerlegung keine Probleme auftreten.
Du kannst dann die beiden Brueche einzelnd integrieren. Bei iv) ist das eine Integral nach Cauchy 0. Das andere Integral, und die beiden bei iii), loest du aehnlich wie [mm] $\int_{|z| = 1} \frac{1}{z} [/mm] dz$. (Weisst du wie man das loest?)
> Ok ich glaube ich hab jetzt Fall ii) gelöst:
> Ich habe mir als [mm]\gamma(t)[/mm] = [mm]\alpha[/mm] + [mm]e^{i*t}[/mm] definiert.
Wieso?! Es soll doch [mm] $\gamma(t) [/mm] = 0 + [mm] e^{i t}$ [/mm] sein!
> Dann sieht mein Integral wie folgt aus:
> [mm]\int\limits_0^{2\pi} \frac{ie^{it}}{e^{2it}}[/mm] dt = ... = 0
Nein. (Insbesondere nicht weil [mm] $\alpha \neq \beta$ [/mm] ist.)
Verwende bei (ii) einfach den Cauchyschen Integralsatz. Die Funktion ist doch holomorph auf einer Umgebung des Einheitskreises.
> Jetzt bräuchte ich noch einen Tipp für Fall i)
Siehe oben.
> und warum Fall iii) und Fall iv) verschieden sind?
Weil du bei einem dich mit zwei Bruechen herumschlagen musst, beim anderen nur mit einem (der andere wird vom Integralsatz erschlagen).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:20 Sa 13.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Do 11.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Zur Klärung: im Folgenden sei [mm] $|z_0| \ne [/mm] 1 und m und n seien ganze Zahlen
1. Sei $I = [mm] \integral_{\gamma}^{}{\bruch{dz}{(z-z_0)^n}}$
[/mm]
Fall 1: n [mm] \ne [/mm] 1. Dann besitzt z [mm] \to \bruch{1}{(z-z_0)^n} [/mm] eine Stammfunktion und somit ist I =0
Fall 2: n= 1.
Fall2.1: [mm] $|z_0| [/mm] > 1$. Der Cauchysche Integralsatz liefert: I =0.
Fall2.1: [mm] $|z_0| [/mm] < 1$. Dann ist I das Integral der Funktionentheorie und wie man sofort nachrechnet ist $I = 2 [mm] \pi [/mm] i$
FRED
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