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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Kurvenintegrale
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Kurvenintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:38 So 20.05.2012
Autor: racy90

Hallo

ich stehe mal wieder bei einer Augabe an

Ich soll [mm] \integral{v dx} [/mm] mit [mm] v=\vektor{y \\ y-x} [/mm]  und C soll jene Kurve sein,die aus 3 Geradenstücken besteht ,welche die drei Punkte (0,0) ,(1,0) und (1,1) in der Reihenfolge verbindet

bzw in den anderen Unterpunkten ist C das Geradenstück welches (0,0) und (1,1) direkt verbindet

und im letzten Punkt ist C jenes Stück der Parabel [mm] y=x^2 [/mm] welches (0,0) und (1,1) verbindet

Mein Problem liegt jetzt nicht im integrieren sondern eher im finden von C.Könnt ihr mir hierbei etwas helfen

        
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Kurvenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 So 20.05.2012
Autor: MathePower

Hallo racy90,

> Hallo
>  
> ich stehe mal wieder bei einer Augabe an
>  
> Ich soll [mm]\integral{v dx}[/mm] mit [mm]v=\vektor{y \\ y-x}[/mm]  und C
> soll jene Kurve sein,die aus 3 Geradenstücken besteht
> ,welche die drei Punkte (0,0) ,(1,0) und (1,1) in der
> Reihenfolge verbindet
>  
> bzw in den anderen Unterpunkten ist C das Geradenstück
> welches (0,0) und (1,1) direkt verbindet
>
> und im letzten Punkt ist C jenes Stück der Parabel [mm]y=x^2[/mm]
> welches (0,0) und (1,1) verbindet
>  


Demnach geht das erste Geradenstück von (0,0) nach (1,0)
Das zweite Geradenstück von (1,0) nach (1,1)
Das dritte Geradenstück von (1,1) nach (0,0)


> Mein Problem liegt jetzt nicht im integrieren sondern eher
> im finden von C.Könnt ihr mir hierbei etwas helfen


Die erste Gerade lautet dann:

[mm]\gamma_{1}\left(t\right)=\pmat{0 \\ 0}+t*\pmat{1-0 \\ 0-0} , \ 0 \le t \le 1[/mm]

Analog für die anderen beiden Geradenstücke.


Gruss
MathePower

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Kurvenintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 So 20.05.2012
Autor: racy90

aber wie kommt man darauf das C= [mm] \vektor{t \\ 0} [/mm] ist?

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Kurvenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:54 So 20.05.2012
Autor: MathePower

Hallo racy90,

> aber wie kommt man darauf das C= [mm]\vektor{t \\ 0}[/mm] ist?


Das ergibt sich, wenn Du durch die Punkte (0,0) und (1,0)
eine Gerade legst.

Und C setzt sich aus 3 Geraden zusammen.
Obiges ist nur die erste Gerade davon.


Gruss
MathePower

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Kurvenintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:01 So 20.05.2012
Autor: racy90

die zweite gerade wäre dann (0,t) und die dritte (0,0) oder?

und diese addiere ich dann damit ich  C habe?

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Kurvenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 So 20.05.2012
Autor: MathePower

Hallo racy90,

> die zweite gerade wäre dann (0,t) und die dritte (0,0)
> oder?
>  


Leider nicht.

Die zweite Gerade startet doch bei (1,0) und endet bei (1,1)

Demnach ergibt sich die zweite Gerade zu:

[mm]\gamma_{2}\left(t\right)=\pmat{1 \\ 0}+t*\pmat{1 - 1 \\ 1 - 0}, \ 0 \le t \le 1[/mm]


> und diese addiere ich dann damit ich  C habe?


Gruss
MathePower

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Kurvenintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:18 So 20.05.2012
Autor: racy90

und die dritte wäre dann [mm] \gamma_{3}=\vektor{1 \\ 1}+t*\vektor{ 0-1\\ 0-1} [/mm]

also folglich dann [mm] \vektor{1-t \\ 1-t} [/mm]

Jetzt muss ich 3mal intergrieren mit verschiedenen [mm] \gamma [/mm]

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Kurvenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:23 So 20.05.2012
Autor: MathePower

Hallo racy90,

> und die dritte wäre dann [mm]\gamma_{3}=\vektor{1 \\ 1}+t*\vektor{ 0-1\\ 0-1}[/mm]
>  
> also folglich dann [mm]\vektor{1-t \\ 1-t}[/mm]


[ok]


>  
> Jetzt muss ich 3mal intergrieren mit verschiedenen [mm]\gamma[/mm]  


Dann leg mal los.


Gruss
MathePower


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Kurvenintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:41 So 20.05.2012
Autor: racy90

also wenn ich von 0-1 integriere ( ich weiß nicht ob die Integrationsgrenzen richtig sind)

kommt für den ersten Teil 0 heraus ,2.Teil =1 und 3.Teil =1

Falls es nicht stimmen sollte ,ich bin so vorgegangen:

Mein C habe ich abgeleitet also zb für den ersten Teil (t,0)--> (1,0)

für mein v habe ich das unabgeitete C eingesetzt und danach kann man ja schon integrieren

für Teil 1 : [0*1+ (-t)*0 dx] =0

Sorry für die etwas unmathematische Ausdrucksweise

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Kurvenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:55 So 20.05.2012
Autor: MathePower

Hallo racy90,

> also wenn ich von 0-1 integriere ( ich weiß nicht ob die
> Integrationsgrenzen richtig sind)
>  
> kommt für den ersten Teil 0 heraus ,2.Teil =1 und 3.Teil
> =1
>  
> Falls es nicht stimmen sollte ,ich bin so vorgegangen:
>  
> Mein C habe ich abgeleitet also zb für den ersten Teil
> (t,0)--> (1,0)
>  
> für mein v habe ich das unabgeitete C eingesetzt und
> danach kann man ja schon integrieren
>  
> für Teil 1 : [0*1+ (-t)*0 dx] =0
>  


Mit dx ist doch wohl [mm]d\vec{x}=\pmat{dx \\ dy}[/mm] gemeint.


> Sorry für die etwas unmathematische Ausdrucksweise



Gruss
MathePower

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Kurvenintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:56 So 20.05.2012
Autor: racy90

ja genau

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Kurvenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:06 So 20.05.2012
Autor: MathePower

Hallo racy90,

> ja genau


Dann habe ich nur für den ersten Weg das gleiche heraus wie Du.

Für den zweiten und dritten Weg habe ich etwas anderes heraus.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                                
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Kurvenintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:39 Mo 21.05.2012
Autor: racy90

Würde -0,5 für Teil 2 und 3 stimmen?

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Kurvenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 Mo 21.05.2012
Autor: MathePower

Hallo racy90,

> Würde -0,5 für Teil 2 und 3 stimmen?


Ja, das stimmt.


Gruss
MathePower

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Kurvenintegrale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:08 Mo 21.05.2012
Autor: racy90

danke super!

eine letzte Frage habe ich noch.

Wenn nun C jenes Stück der Parabel [mm] y=x^2 [/mm] ist,welches (0,0) und (1,1) verbindet.

Wie bekomme ich da mein C?

Meine Idee war: [mm] y=ax^2+bx+c [/mm]

jeweils für (0,0) und (1,1)

Bekommt man dann c=0 und 1=a+b

Nun setze ich zb b=1-a wieder in [mm] y=ax^2+bx+c [/mm] ein

und komme auf [mm] y=ax^2+x-ax [/mm] aber das kann es doch noch nicht sein

Kann es vielleicht [mm] C=(t,t^2) [/mm] sein?

Bezug
                                                                                                        
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Kurvenintegrale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:21 Mo 21.05.2012
Autor: MathePower

Hallo racy90,

> danke super!
>  
> eine letzte Frage habe ich noch.
>  
> Wenn nun C jenes Stück der Parabel [mm]y=x^2[/mm] ist,welches (0,0)
> und (1,1) verbindet.
>  
> Wie bekomme ich da mein C?
>  
> Meine Idee war: [mm]y=ax^2+bx+c[/mm]
>  
> jeweils für (0,0) und (1,1)
>  
> Bekommt man dann c=0 und 1=a+b
>  
> Nun setze ich zb b=1-a wieder in [mm]y=ax^2+bx+c[/mm] ein
>  
> und komme auf [mm]y=ax^2+x-ax[/mm] aber das kann es doch noch nicht
> sein


Punkte auf der Parabel sind [mm]\left(x, \ x^{2}\right)[/mm]

Setze x=t, dann lautet die Kurve so:

[mm]\gamma\left(t\right)=\pmat{t \\ t^{2}}, \ 0 \le t \le1[/mm]


Gruss
MathePower

Bezug
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