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| Aufgabe | Gegeben sei die Funktionenschar [mm] f_t(x) [/mm] = [mm] \bruch{-x^3+4t^3}{tx^2} [/mm] , t>0
Führen Sie eine Kurvendiskussion durch ( Asymptote , Definitionslücken , Nullstellen , Extrema , Wendepunkte) |
Hallo , hab bis jetzt nur die Asymptote , Polstelle und die Nullstelle geschafft , der Rest folgt später , ich bitte aber um Kontrolle :
Asymptote :
[mm] (-x^3 +4t^3) [/mm] / [mm] (tx^2) [/mm] = - [mm] \bruch{x}{t} [/mm] + [mm] \bruch{4t^2}{x^2}
[/mm]
[mm] -(-x^3)
[/mm]
[mm] 4t^3
[/mm]
[mm] a_t(x) [/mm] = - [mm] \bruch{x}{t} [/mm] + [mm] \bruch{4t^2}{x^2}
[/mm]
Polstelle :
N(x) = 0 , Z(x) [mm] \not= [/mm] 0
[mm] tx^2 [/mm] = 0
x = 0 Pollstelle bei x = 0
=> D = [mm] x\in\IR\backslash\{0\}
[/mm]
Nullstellen :
Z(X) = 0
N(X) [mm] \not= [/mm] 0
[mm] -x^3+4t^3 [/mm] = 0
[mm] -x^3 [/mm] = [mm] -4t^3
[/mm]
[mm] x^3 [/mm] = [mm] 4t^3
[/mm]
x= [mm] \wurzel[3]{4t^3}
[/mm]
=> keine reellen Lösungen; keine Nullstellen
Ist das bis hierhin richtig ?
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> Hallo pc_doctor!
>
>
>
> > Asymptote :
> >
> > [mm](-x^3 +4t^3)[/mm] / [mm](tx^2)[/mm] = - [mm]\bruch{x}{t}[/mm] + [mm]\bruch{4t^2}{x^2}[/mm]
>
> ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> > [mm]a_t(x)[/mm] = - [mm]\bruch{x}{t}[/mm] + [mm]\bruch{4t^2}{x^2}[/mm]
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Unter der Asymptoten versteht man eine Gerade,
> welche sich für sehr große und kleine [mm]x_[/mm] an die
> betrachtete Funktion anschmiegt.
>
Also ist es nur - [mm] \bruch{x}{t} [/mm] ?? , aber ich verstehe nicht warum [mm] \bruch{4t^2}{x^2} [/mm] nicht dazu gehört , es ist ja auch kein Rest , verstehe nicht , warum das keine Asymptote ist.
> Es ist bei Deiner Lösung als der hintere Term zuviel!
>
>
> >
> > Polstelle :
> > N(x) = 0 , Z(x) [mm]\not=[/mm] 0
> >
> > [mm]tx^2[/mm] = 0
> > x = 0 Pollstelle bei x = 0
> > => D = x [mm]\in\\
IR[/mm] \ { 0 }
>
>
>
>
>
> > Nullstellen :
> >
> > Z(X) = 0
> > N(X) [mm]\not=[/mm] 0
>
>
>
>
> > [mm]-x^3+4t^3[/mm] = 0
> >
> > [mm]-x^3[/mm] = [mm]-4t^3[/mm]
> >
> > [mm]x^3[/mm] = [mm]4t^3[/mm]
> >
> > x= [mm]\wurzel[3]{4t^3}[/mm]
>
>
>
>
> > => keine reellen Lösungen; keine Nullstellen
>
> ![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Huch, wieso das? Was stört Dich denn an Deinem
> obigen Ergebnis, welches man noch etwas vereinfachen kann
> auf [mm]x_N \ = \ t*\wurzel[3]{4}[/mm] ?
>
Okay , dann keine reelle Lösung :D.
Danke für die Korrektur , aber könntest du mir bitte kurz die Frage mit der Asymptote beantworten.
>
> Gruß
> Loddar
>
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Hallo pc_doctor,
> > Hallo pc_doctor!
> >
> >
> >
> > > Asymptote :
> > >
> > > [mm](-x^3 +4t^3)[/mm] / [mm](tx^2)[/mm] = - [mm]\bruch{x}{t}[/mm] + [mm]\bruch{4t^2}{x^2}[/mm]
> >
> >
> >
> >
> > > [mm]a_t(x)[/mm] = - [mm]\bruch{x}{t}[/mm] + [mm]\bruch{4t^2}{x^2}[/mm]
> >
> > Unter der Asymptoten versteht man eine Gerade,
> > welche sich für sehr große und kleine [mm]x_[/mm] an die
> > betrachtete Funktion anschmiegt.
> >
> Also ist es nur - [mm]\bruch{x}{t}[/mm] ?? , aber ich verstehe nicht
> warum [mm]\bruch{4t^2}{x^2}[/mm] nicht dazu gehört , es ist ja auch
> kein Rest , verstehe nicht , warum das keine Asymptote
> ist.
>
Weil [mm]\limes_{x \to \pm \infty}{\bruch{4*t^2}{x^2}}=0[/mm]
>
> > Es ist bei Deiner Lösung als der hintere Term zuviel!
> >
> >
> > >
> > > Polstelle :
> > > N(x) = 0 , Z(x) [mm]\not=[/mm] 0
> > >
> > > [mm]tx^2[/mm] = 0
> > > x = 0 Pollstelle bei x = 0
> > > => D = x [mm]\in\\
IR[/mm] \ { 0 }
> >
> >
> >
> >
> >
> > > Nullstellen :
> > >
> > > Z(X) = 0
> > > N(X) [mm]\not=[/mm] 0
> >
> >
> >
> >
> > > [mm]-x^3+4t^3[/mm] = 0
> > >
> > > [mm]-x^3[/mm] = [mm]-4t^3[/mm]
> > >
> > > [mm]x^3[/mm] = [mm]4t^3[/mm]
> > >
> > > x= [mm]\wurzel[3]{4t^3}[/mm]
> >
> >
> >
> >
> > > => keine reellen Lösungen; keine Nullstellen
> >
> > Huch, wieso das? Was stört Dich denn an Deinem
> > obigen Ergebnis, welches man noch etwas vereinfachen kann
> > auf [mm]x_N \ = \ t*\wurzel[3]{4}[/mm] ?
> >
> Okay , dann keine reelle Lösung :D.
>
Natürlich gibt es eine reelle Lösung.
> Danke für die Korrektur , aber könntest du mir bitte kurz
> die Frage mit der Asymptote beantworten.
> >
> > Gruß
> > Loddar
> >
>
Gruss
MathePower
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>
> Weil [mm]\limes_{x \to \pm \infty}{\bruch{4*t^2}{x^2}}=0[/mm]
Das verstehe ich leider nicht..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:52 So 08.01.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Wie habt ihr denn Asymptoten definiert bzw. was verstehst Du denn darunter?
Gruß
Loddar
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Naja eine Definition hatten wir nicht , wir haben einfach nur gerechnet.
Immer Polynomdivisionen gemacht und dann geguckt , was die Asymptote ist.
Ich hatte eigentlich immer gedacht , dass wenn man eine Polynomdivision macht und KEIN Rest rauskommt , sondern halt nur Polynome , dass es dann automatisch die Asymptote ist..
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Hallo pc_doctor,
> Naja eine Definition hatten wir nicht , wir haben einfach
> nur gerechnet.
>
> Immer Polynomdivisionen gemacht und dann geguckt , was die
> Asymptote ist.
>
> Ich hatte eigentlich immer gedacht , dass wenn man eine
> Polynomdivision macht und KEIN Rest rauskommt , sondern
> halt nur Polynome , dass es dann automatisch die Asymptote
> ist..
Die Asymptote ist der ganzrationale Teil bei einer Polynomdivision.
Gruss
MathePower
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Hallo pc_doctor,
>
> >
> > Weil [mm]\limes_{x \to \pm \infty}{\bruch{4*t^2}{x^2}}=0[/mm]
>
>
> Das verstehe ich leider nicht..
Für [mm]x \to \pm \infty[/mm] geht [mm]{\bruch{4*t^2}{x^2}[/mm] gegen 0.
Gruss
MathePower
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Stimmt , jetzt kann ich die Antwort mit der der vorherigen Antwort verknüpfen.
Vielen Dank dafür.
Jetzt geht es aber weiter mit dem Extrema :
[mm] f_t(x) [/mm] = [mm] \bruch{-x^3+4t^3}{tx^2} [/mm] , t>0
1.Ableitung :
Quotientenregel :
u= [mm] -x^3 [/mm] + [mm] 4t^3
[/mm]
u' = [mm] -3x^2
[/mm]
v= [mm] tx^2
[/mm]
v'= 2tx
[mm] v^2= (tx^2)^2
[/mm]
[mm] \bruch{u'v - uv'}{v^2}
[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{(-3x^2*tx^2)-(-2tx^4+8t^4x)}{(tx^2)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{(-3x^2*tx^2)-(-2tx^4+8t^4x)}{(tx^2)^2}
[/mm]
= [mm] \bruch{-3tx^4+2tx^4+8t^4x)}{(tx^2)^2)}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{(-tx^4+8t^4x)}{(tx^2)^2}
[/mm]
Ist das richtig ?
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Hallo, kleiner Vorzeichenfehler, im Zähler steht [mm] -tx^{4}-8t^{4}x [/mm] Steffi
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Upppsss , stimmt ja , danke für den Hinweis , sonst hätte ich falsch weitergerechnet :D
Dann geht es weiter :
Extrema: f'(x) = 0
Zähler wird Null gesetzt :
[mm] -tx^4-8t^4x [/mm] = 0 | * (-1)
[mm] tx^4 [/mm] + 8 t^4x = 0
1. Stelle ist Null => [mm] x_1 [/mm] = 0
[mm] tx^4 [/mm] + 8t^4x = 0
[mm] tx^4 [/mm] = -8t^4x | : t
[mm] x^4 [/mm] = [mm] -8t^3
[/mm]
x = [mm] \wurzel[4]{-8t^3}
[/mm]
Aus negativen kann man keine Wurzel ziehen , außer man ist im Bereich der komplexen Zahlen , oder ?
Von daher habe ich nur die Stelle x= 0 , als Extrema raus , ist das richtig ?
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Hallo pc_doctor,
> Upppsss , stimmt ja , danke für den Hinweis , sonst hätte
> ich falsch weitergerechnet :D
>
> Dann geht es weiter :
>
>
> Extrema: f'(x) = 0
>
> Zähler wird Null gesetzt :
>
> [mm]-tx^4-8t^4x[/mm] = 0 | * (-1)
>
> [mm]tx^4[/mm] + 8 t^4x = 0
>
> 1. Stelle ist Null => [mm]x_1[/mm] = 0
>
> [mm]tx^4[/mm] + 8t^4x = 0
> [mm]tx^4[/mm] = -8t^4x | : t
>
> [mm]x^4[/mm] = [mm]-8t^3[/mm]
>
Hier hast Du offenbar durch [mm]x \not=0[/mm] geteilt.
Dann muss es hier aber so lauten:
[mm]x^{\red{3}}[/mm] = [mm]-8t^3[/mm]
> x = [mm]\wurzel[4]{-8t^3}[/mm]
>
> Aus negativen kann man keine Wurzel ziehen , außer man ist
> im Bereich der komplexen Zahlen , oder ?
>
> Von daher habe ich nur die Stelle x= 0 , als Extrema raus ,
> ist das richtig ?
Gruss
MathePower
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Das versteh ich jetzt nicht , ich habe durch nichts geteilt.
Dsa ist doch ganz normale Umformung , oder nciht ?
Verstehe nicht , warum [mm] x^4 [/mm] falsch ist..
Ich habe es gerechnet , ohne auszuklammern.
Einfach nur Termumformungen.
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Hallo pc_doctor,
> Das versteh ich jetzt nicht , ich habe durch nichts
> geteilt.
>
> Dsa ist doch ganz normale Umformung , oder nciht ?
>
> Verstehe nicht , warum [mm]x^4[/mm] falsch ist..
>
> Ich habe es gerechnet , ohne auszuklammern.
>
Dann erkläre mal, wie Du von
[mm]tx^4 = -8t^4x | : t [/mm]
zu
[mm] x^4 = -8t^3[/mm]
kommst.
> Einfach nur Termumformungen.
Anscheinend aber nicht konsequent angewendet.
Gruss
MathePower
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Oh , das war mein Tippfehler.
Okay , dann ist das mit [mm] x^3 [/mm] richtig , tut mir Leid , hatte zu schnell getippt.
Das heißt jetzt für mich , es gibt nur ein Extrema oder ?
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Hallo, ja, es gibt nur eine Extremstelle, [mm] x=(-8t^{3})^{\bruch{1}{3}}= [/mm] kannst du noch vereinfachen, Steffi
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Stimmt , das habe ich wieder vergessen..
Danke für den Hinweis.
Jetzt kommt die zweite Ableitung :
f'(x) = [mm] \bruch{-tx^4-8t^4x}{(tx^2)^2}
[/mm]
u= [mm] -tx^4 [/mm] - 8t^4x
u'= [mm] -4tx^3 [/mm] - [mm] 8t^4
[/mm]
[mm] v=(tx^2)^2
[/mm]
v' [mm] 2(tx^2)*2tx
[/mm]
[mm] v^2= (tx^2)^4
[/mm]
[mm] \bruch{u'v - uv'}{v^2}
[/mm]
[mm] \bruch{((-4tx^3 - 8t^4)*(tx^2)^2) - (-(tx^4 - 8t^4x)*(2(tx^2)*2tx)}{(tx^2)^4}
[/mm]
= [mm] (tx^2) [/mm] * [mm] \bruch{((-4tx^3-8t^4)*tx^2) - ((-tx^4-8t^4x)*4tx)}{(tx^2)^4}
[/mm]
[mm] \bruch{(-4tx^3-8t^4)*tx^2 - ((-tx^4-8t^4x)*4tx)}{(tx^2)^3}
[/mm]
= [mm] \bruch{-4t^2x^5-8t^5x^2 - ( -4t^2x^5- 32t^5x^2)}{(tx^2)^3}
[/mm]
= [mm] \bruch{-4t^2x^5 - 8t^5x^2 + 4t^2x^5 + 32t^5x^2}{(tx^2)^3}
[/mm]
f''(x) = [mm] \bruch{24t^5x^2}{(tx^2)^3}
[/mm]
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Hallo
du hast richtig gerechnet, kannst aber noch vereinfachen
[mm] f''(x)=\bruch{24t^5x^2}{(tx^2)^3}=\bruch{24t^5x^2}{t^3x^6}=\bruch{24t^2}{x^4}
[/mm]
du bist viel schneller fertig, schreibe die 1. Ableitung
[mm] f'(x)=-\bruch{1}{t}-\bruch{8t^2}{x^3}
[/mm]
Steffi
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Alles klar danke für die Korrektur , die Vereinfachungen habe ich mir notiert , danke auch dafür.
Jetzt muss ich ja die Extremstelle :
(-8t^3)^\bruch{1}{3}
Das muss ich jetzt in die 2. Ableitung einsetzen , um rauszufinden , ob ich einen Hoch-oder Tiefpunkt habe:
f''(x) = \bruch{24t^2}{x^4}
f''((-8t^3)^\bruch{1}{3})
Also :
\bruch{24t^2}{((-8t^3)^(\bruch{1}{3})^4
= \bruch{24t^2}{-8t^3}^(^\bruch{4}{3}
Kann ich jetzt erstmal die -8 mit \bruch{4}{3} potenzieren , kommt 16 raus, kann ich das jetzt so aufschreiben
Nenner : 16(t^3)^(\bruch{4}{3} , die 16 ist mir ja wichtig , da es positiv ist , ist es ein Tiefpunkt.
Ist das so richtig ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 So 08.01.2012 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise
> auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung
> gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Alles klar danke für die Korrektur , die Vereinfachungen
> habe ich mir notiert , danke auch dafür.
>
> Jetzt muss ich ja die Extremstelle :
>
> (-8t^3)^\bruch{1}{3}
>
> Das muss ich jetzt in die 2. Ableitung einsetzen , um
> rauszufinden , ob ich einen Hoch-oder Tiefpunkt habe:
>
> f''(x) = \bruch{24t^2}{x^4}
>
> f''((-8t^3)^\bruch{1}{3})
>
> Also :
>
> \bruch{24t^2}{((-8t^3)^(\bruch{1}{3})^4
>
> = \bruch{24t^2}{-8t^3}^(^\bruch{4}{3}
>
> Kann ich jetzt erstmal die -8 mit \bruch{4}{3} potenzieren
> , kommt 16 raus, kann ich das jetzt so aufschreiben
>
> Nenner : 16(t^3)^(\bruch{4}{3} , die 16 ist mir ja wichtig
> , da es positiv ist , ist es ein Tiefpunkt.
>
> Ist das so richtig ?
Zunächst einmal: es kann sich in späteren Rechnungen bitter durch erforderliche Mehrarbeit rächen, wenn man vorher zu bequem war, mögliche Vereinfachungen vorzunehmen.
[mm](-8t^3)^\bruch{1}{3}[/mm] ist schlicht und ergreifend -2t.
Wie du allerdings selbst erkannt hast, ist die zweite Ableitung (sogar an jeder beliebigen Stelle) positiv. Schließlich sieht man bei dem Term [mm]f''(x) = \bruch{24t^2}{x^4}[/mm] sofort, dass der für jedes t und x ungleich 0 positiv ist.
Gruß Abakus
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> [mm](-8t^3)^\bruch{1}{3}[/mm] ist schlicht und ergreifend -2t.
Wie kommst du drauf , wenn ich fragen darf ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 So 08.01.2012 | | Autor: | abakus |
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> > [mm](-8t^3)^\bruch{1}{3}[/mm] ist schlicht und ergreifend -2t.
>
> Wie kommst du drauf , wenn ich fragen darf ?
Hallo,
[mm](-8t^3)^\bruch{1}{3}[/mm] ist eine andere Schreibweise für [mm]\wurzel[3]{-8t^3}[/mm].
Und das ist wiederum diejenige Zahl z, für die [mm]z^3=z*z*z=-8t^3[/mm] gilt.
Welcher Term ergigt denn bei dreifacher Mulltiplikation [mm]-8t^3[/mm] ?
Gruß Abakus
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Irgendwie klingt das logisch , kann das auch grad nachvollziehen.
Diesen Wert muss ich jetzt in die Ausgangsfunktion einsetzen damit ich die y-Koordinate für den Extrempunkt kriege.
Und für den Wendepunkt , ist ja [mm] 24t^2 [/mm] = 0
Also gibt es keinen Wendepunkt oder ?
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Hallo, an der Stelle x=-2t liegt ein Minimum, es ist f(-2t) zu berechnen, die Funktion hat keinen Wendepunkt, Steffi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 08.01.2012 | | Autor: | pc_doctor |
Alles klar , ich danke allen für die ausführlichen Hilfestellungen.
Schönes Rest-Wochenende noch.
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Hallo, an der Stelle x=0 kann doch keine Extremstelle liegen, beachte den Definitionsbereich, an der Stelle x=0 ist deine Funktion nicht definiert, Steffi
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