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Kurze Frage: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:12 Mi 31.01.2007
Autor: peter_d

Aufgabe
[mm] $\text{Sei V ein }\mathbb{R}-\text{Vektorraum und }f\in\text{End}_{\mathbb{R}}(V)\text{ mit } f^2=\text{id}$ [/mm]

[mm] $\text{Zeigen Sie, dass Spek}(f)\subseteq\{-1,1\}$ [/mm]

Hallo, ich bins noch mal.
Also, ich hab das jetzt mit vollst. Induktion versucht, aber das hat nicht wirklich funktioniert :(

Hoffe, jemand hat bessere Vorschläge und kann mir helfen.

Danke und Gruß

        
Bezug
Kurze Frage: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:22 Mi 31.01.2007
Autor: Walde

Hi Peter,

ich glaube Induktion macht hier wenig Sinn, ich wüsste nicht mal nach was man die machen soll.Hier mein Versuch:

Sei [mm] $\lambda\in [/mm] Spek(f)$, d.h. [mm] \lambda [/mm] ist Eigenwert zum Eigenvektor [mm] $x\not=0$,d.h. $f(x)=\lambda [/mm] x$ ausserdem [mm] $f^2=id$ [/mm] nach Vorraussetzung.

Es gilt dann:


[mm] $x=f^2(x)=f(f(x))=f(\lambda x)=\lambda f(x)=\lambda^2 [/mm] x$

Es gilt also [mm] $\lambda^2x=x$. [/mm]

Ich denke, man kann hier schon sehen, dass [mm] \lambda^2=1 [/mm] und somit für
[mm] \lambda \in \IR, [/mm] also [mm] \lambda=1 [/mm] oder [mm] \lambda=-1 [/mm] gelten muss.

Damit ist die Behauptung gezeigt.

LG walde

Bezug
                
Bezug
Kurze Frage: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:58 Mi 31.01.2007
Autor: peter_d

Ich danke dir vielmals, das war ja doch einfacher als ich je gedacht hätte :-) , und ich wollt da mit vollst. Ind. machen... :lol:

Danke und Gruß

Bezug
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