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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:39 Mi 02.03.2011 | | Autor: | SolRakt |
Hallo, habe mal kurz eine Frage zu den komplexen Zahlen. Und zwar:
1+i sei die komplexe Zahl
Wie bringe ich das jetzt in die Form mit cos und sin? Ich weiß, dass der Betrag [mm] \wurzel{2} [/mm] ist. Aber wie finde ich heraus, was im Argument des sin und cos steht? So muss das ja nachher aussehn:
[mm] 1+i=\wurzel{2}[cos(...)+i(sin(...))]
[/mm]
Danke sehr. Gruß
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Hallo SolRakt,
> Hallo, habe mal kurz eine Frage zu den komplexen Zahlen.
> Und zwar:
>
> 1+i sei die komplexe Zahl
>
> Wie bringe ich das jetzt in die Form mit cos und sin? Ich
> weiß, dass der Betrag [mm]\wurzel{2}[/mm] ist. Aber wie finde ich
> heraus, was im Argument des sin und cos steht? So muss das
> ja nachher aussehn:
Ganz allgemein eine Übersicht bei ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia. Gibt leider einige Fallunterscheidungen.
>
> [mm]1+i=\wurzel{2}[cos(...)+i(sin(...))][/mm]
z=a+bi
Dann ist die Polarkoordinatendarstellung von z entweder
[mm] \qquad $\|z\|\left(\cos\varphi+\sin\varphi i\right)$ \qquad [/mm] oder [mm] $\|z\|e^{i\varphi}$
[/mm]
wobei [mm] \varphi=\arctan{\frac{a}{b}} [/mm] (speziell in diesem Fall a=1, b=1).
Dabei ist [mm] \arctan{\frac{1}{1}}=\frac{\pi}{4}
[/mm]
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> Danke sehr. Gruß
>
>
Gruß
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Hallo SolRakt,
kurze Ergänzung:
bei derart "einfachen" komplexen Zahlen wie [mm]z=1+i[/mm] kann man das Argument ohne jegliche Rechnung und ohne dass ein Korrektor meckert, im Koordinatensystem ablesen.
Wenn du mal [mm]1+i[/mm] einzeichnest, so liegt das doch auf der 1.Winkelhalbierenden und im 1.Quadranten.
Und die schließt mit der x-Achse welchen Winkel ein? ...
Also [mm]\operatorname{arg}(1+i)=\frac{\pi}{4}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:05 Mi 02.03.2011 | | Autor: | SolRakt |
Ich danke euch beiden. :) Habt mir sehr geholfen ;)
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