L-Integrierbarkeit < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:28 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Limaros |
| Aufgabe | | Seien ein Maßraum [mm] (\Omega, [/mm] A, µ) gegeben sowie meßbare Funktionen f,g: [mm] \Omega \to \IR \cup \{ -\infty, \infty \}. [/mm] Seien f² und g² in L¹(µ). Dann gilt auf fg [mm] \in [/mm] L¹(µ). |
Hallo zusammen,
nach längerer Zeit ohne Vorhilfebedarf hänge ich mal wieder total. Meine Grundidee bisher war etwa so: Da f² und g² µ-integrierbar sind gibt es nichtnegative Funktionen [mm] \phi_1 [/mm] und [mm] \phi_2, [/mm] sodaß f² = [mm] \phi_1 [/mm] - [mm] \phi_2 [/mm] gilt und genauso mit g² = [mm] \gamma_1 [/mm] - [mm] \gamma_2. [/mm] Dann kann ich meine Funktionen [mm] \phi_1 [/mm] und [mm] \phi_2 [/mm] und [mm] \gamma_1 [/mm] und [mm] \gamma_2 [/mm] durch Folgen von elementar integrierbaren Treppenfunktionen annähren, mit denen ich dann versuche zu rechnen, bis ich dann auf Funktionen komme, die gegen fg konvergieren. Funktioniert aber nicht!
Also, ist der Ansatz komplett falsch? Dann: was ist der richtige Ansatz? Oder geht es im Prinzip so, aber irgendwo auf dem Weg dahin mache ich was falsch? Dann wären ein paar Tipps über die geeignete Vorgehensweise hilfreich...
Danke im voraus für die Hilfestellung,
Limaros
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:57 Mi 17.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Dass das Produkt fg meßbar ist, dürfte klar sein. Du mußt also nur noch zeigen:
(*) [mm] $\integral_{\Omega}^{}{|f(x)*g(x)| dx} [/mm] < [mm] \infty$
[/mm]
Auf [mm] \Omega [/mm] gilt sicher: $2*|f*g| [mm] \le f^2+g^2$
[/mm]
Hilft das ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:53 Mi 17.11.2010 | | Autor: | Limaros |
Hi Fred!
ja, danke, das hilft! Mathe ist so einfach, wenn man's sieht! Da muß ich wohl noch ein bißchen üben...
Gruß, Limaros
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