L^2-Projektion < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] V:= \{ f \in L^2(G) | f fast ueberall konstant \} [/mm] .
Zeigen Sie, dass die [mm]L^2 [/mm] -Projektion auf V der Mittelwert ist, d.h.
[mm] inf_{v \in V} ||u-v||_{L^2(G)} = ||u- \overline{u}||_{L^2(G)} [/mm]
wobei [mm] \overline{u}:= \bruch{1}{|G|} \integral_{G}{u} [/mm]. |
Hallo!
Erstmal: Tut mir Leid, für die Eingabe, ich habe nicht gefunden, wie ich im Teil, den ich als mathematische Eingabe markiere, normalen Text schreiben kann, ohne dass es so komisch aussieht. Kann mir das jemand sagen?
Und zur Aufgabe:
Ich denke, dass ich mit dem Projektionssatz vorgehen sollte, der mir sagt,
dass wenn V ein abgeschlossener Unterraum des Hilbertraumes [mm] L^2(G) [/mm] ist, zu jedem [mm] u \in L^2(G) [/mm] ein [mm] v \in V [/mm] existiert, sodass:
[mm] inf_{v \in V} ||u-v||_{L^2(G)} = ||u-v||_{L^2(G)}[/mm]
Also müsste ich zeigen, dass V ein abgeschlossener Unterraum des Hilbertraumes [mm] L^2(G) [/mm] ist, oder?
Aber was mache ich mit dem Unterschied in den Gleichungen, dass auf der rechten Seite einmal v und einmal [mm] \overline{u} [/mm] steht?
Kann mir hier jemand helfen? Das wäre toll!
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Sa 29.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm]V:= \{ f \in L^2(G) | f fast ueberall konstant \}[/mm] .
>
> Zeigen Sie, dass die [mm]L^2[/mm] -Projektion auf V der Mittelwert
> ist, d.h.
>
> [mm]inf_{v \in V} ||u-v||_{L^2(G)} = ||u- \overline{u}||_{L^2(G)}[/mm]
>
> wobei [mm]\overline{u}:= \bruch{1}{|G|} \integral_{G}{u} [/mm].
>
> Hallo!
> Erstmal: Tut mir Leid, für die Eingabe, ich habe nicht
> gefunden, wie ich im Teil, den ich als mathematische
> Eingabe markiere, normalen Text schreiben kann, ohne dass
> es so komisch aussieht. Kann mir das jemand sagen?
>
> Und zur Aufgabe:
> Ich denke, dass ich mit dem Projektionssatz vorgehen
> sollte, der mir sagt,
> dass wenn V ein abgeschlossener Unterraum des
> Hilbertraumes [mm]L^2(G)[/mm] ist, zu jedem [mm]u \in L^2(G)[/mm] ein [mm]v \in V[/mm]
> existiert, sodass:
> [mm]inf_{v \in V} ||u-v||_{L^2(G)} = ||u-v||_{L^2(G)}[/mm]
links und rechts v ? Das geht nicht gut ! . Du meinst sicher:
[mm]inf_{w \in V} ||u-w||_{L^2(G)} = ||u-v||_{L^2(G)}[/mm].
>
> Also müsste ich zeigen, dass V ein abgeschlossener
> Unterraum des Hilbertraumes [mm]L^2(G)[/mm] ist, oder?
Ja.
> Aber was mache ich mit dem Unterschied in den Gleichungen,
> dass auf der rechten Seite einmal v und einmal [mm]\overline{u}[/mm]
> steht?
Zeige:
1. [mm] \overline{u} \in [/mm] V
und
2. $||u- [mm] \overline{u}||_{L^2(G)} \le [/mm] ||u- [mm] v||_{L^2(G)}$ [/mm] für alle v [mm] \in [/mm] V.
FRED
>
> Kann mir hier jemand helfen? Das wäre toll!
> Grüßle, Lily
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Hallo!
Danke erstmal für deine Antwort!! 
> links und rechts v ? Das geht nicht gut ! . Du meinst
> sicher:
>
> [mm]inf_{w \in V} ||u-w||_{L^2(G)} = ||u-v||_{L^2(G)}[/mm].
Ups, ja, das macht wesentlich mehr Sinn!
>
>
> >
> > Also müsste ich zeigen, dass V ein abgeschlossener
> > Unterraum des Hilbertraumes [mm]L^2(G)[/mm] ist, oder?
>
> Ja.
>
> Zeige:
>
>
> 1. [mm]\overline{u} \in[/mm] V
Dafür muss ich ja zeigen, dass [mm] \overline{u} [/mm] zweimal integrierbar (was stimmt, da sowohl das Integral als auch der Bruch beschränkt und stetig sind) und fast überall konstant ist.
Das zweite finde ich nicht so einfach. Ich habe überlegt das so umzuformulieren, dass die Ableitung für fast alle Elemente Null ist.
Also habe ich [mm] \overline{u} [/mm] abgeleitet, und das wäre dann [mm] \bruch{1}{|G|}u [/mm] ... oder? Irgendwie fühlt sich das nicht richtig an, kann auch gut sein, dass ich auf dem Schlauch stehe -.-
Und selbst wenn, wie geht es dann weiter? Denn [mm] \bruch{1}{|G|} > 0 [/mm] und u ist ja nicht fast überall 0!?
>
> und
>
> 2. [mm]||u- \overline{u}||_{L^2(G)} \le ||u- v||_{L^2(G)}[/mm] für
> alle v [mm]\in[/mm] V.
Kann mir nochmal jemand helfen?
Grüßle, Lily
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:04 Mo 01.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
> Danke erstmal für deine Antwort!!
>
>
> > links und rechts v ? Das geht nicht gut ! . Du meinst
> > sicher:
> >
> > [mm]inf_{w \in V} ||u-w||_{L^2(G)} = ||u-v||_{L^2(G)}[/mm].
>
> Ups, ja, das macht wesentlich mehr Sinn!
>
> >
> >
> > >
> > > Also müsste ich zeigen, dass V ein abgeschlossener
> > > Unterraum des Hilbertraumes [mm]L^2(G)[/mm] ist, oder?
> >
> > Ja.
> >
> > Zeige:
> >
> >
> > 1. [mm]\overline{u} \in[/mm] V
>
> Dafür muss ich ja zeigen, dass [mm]\overline{u}[/mm] zweimal
> integrierbar
??? Dir scheint nicht klar zu sein, was [mm] L^2(G) [/mm] ist !?
> (was stimmt, da sowohl das Integral als auch
> der Bruch beschränkt und stetig sind) und fast überall
> konstant ist.
> Das zweite finde ich nicht so einfach. Ich habe überlegt
> das so umzuformulieren, dass die Ableitung für fast alle
> Elemente Null ist.
Von Differenzierbarkeit ist nirgendwo die Rede !
> Also habe ich [mm]\overline{u}[/mm] abgeleitet, und das wäre dann
> [mm]\bruch{1}{|G|}u[/mm] ... oder?
Das ist völliger Unsinn !
FRED
> Irgendwie fühlt sich das nicht
> richtig an, kann auch gut sein, dass ich auf dem Schlauch
> stehe -.-
> Und selbst wenn, wie geht es dann weiter? Denn
> [mm]\bruch{1}{|G|} > 0[/mm] und u ist ja nicht fast überall 0!?
>
> >
> > und
> >
> > 2. [mm]||u- \overline{u}||_{L^2(G)} \le ||u- v||_{L^2(G)}[/mm] für
> > alle v [mm]\in[/mm] V.
>
> Kann mir nochmal jemand helfen?
> Grüßle, Lily
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:36 Mo 01.12.2014 | | Autor: | Mathe-Lily |
Ich sagte ja, dass ich auf dem Schlauch stehe.
Vielen Dank für deine Mühe!
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