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| Aufgabe | Für welche t [mm] \in \IR [/mm] exestiert eine lineare Abbildung [mm] \delta_{t}:\IR^{3}\mapsto\IR^{3}:
[/mm]
[mm] \delta_{t}:=\begin{cases} \vektor{1 \\ 1 \\ -1}\mapsto\vektor{-1 \\ 2 \\ -4-t}, \\ \vektor{0 \\ 1 \\ t}\mapsto\vektor{1 \\ 2 \\ -1}, \\\vektor{0 \\ 1 \\ 1}\mapsto\vektor{7 \\ 2 \\ 2t+7}? \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie für diese t die Matrix M, bezüglich der geordneten Standardbasis von [mm] \IR^{3}. [/mm] |
Hallo liebe Community,
ich habe die Matrix bereits ausgerechnet indem ich nach Definition:
M = [mm] (s_{1},...,s_{n}) [/mm] | [mm] s_{i} [/mm] = [mm] \Kappa_{B}(\delta_{t}(v_{i})) [/mm] , [mm] v_{i} \in [/mm] B
die Spalten berechnet habe.
[mm] M=\pmat{ -8-\bruch{12}{t-1} & 7+\bruch{6}{t-1} & \bruch{-6}{t-1}
\\ 0 & 2 & 0
\\ \bruch{-3t^{2}-12t-5}{t-1} & \bruch{2t^{2}+7t+1}{t-1} & \bruch{-8-2t}{t-1} }
[/mm]
Folglich schliess ich das [mm] t\in\IR [/mm] \ {1}, was auch logisch ist da das Teilen durch 0 nicht definiert ist. Außerdem würde es dann 2 Gleiche Basen geben, wodurch [mm] \delta [/mm] nichtmehr linear wäre.
Leider habe ich es nicht geschafft dies durch die Bedingungen der linearen Abbildung zu zeigen. Kann mir hier jemand weiter helfen?
LG,
Michael
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Benutze die Tatsache "eine lineare Abbildung ist durch die Bilder der Basis eindeutig bestimmt".
(falls du den Satz noch nicht hattest, er lässt sich recht einfach beweisen:
jeder Vektor lässt sich als Linearkombination der Basisvektoren schreiben.
Somit, da die Abbildung linear sein soll, kannst du also den Funktionswert eines beliebigen Vektors als Linearkombination der Funktionswerte der Basisvektoren schreiben)
Das heißt sobald deine drei Vektoren da eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] bilden bist du fertig, denn da du nirgends durch t teilst liegen die Funktionswerte dann auch wieder im [mm] $\IR^3$ [/mm] und du hast die gewünschte lineare Abbildung.
Also rechne einfach aus für welche $t [mm] \in \IR$ [/mm] die drei Vektoren eine Basis des [mm] $\IR^3$ [/mm] bilden.
Für die t, für die die Vektoren keine Basis bilden musst du die Linearität nachrechnen.
Das machst du indem du guckst welcher Vektor sich als Linearkombination der anderen schreiben lässt (da [mm] $\IR$ [/mm] ein Körper ist findest du so einen immer wenn sie linear abhängig sind) und dann für beide "Schreibweisen" dieses Vektors die Funktionswerte ausrechnest und guckst ob das gleiche rauskommt.
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