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Hallo! Wir sollten diese folgende unendliche Reihe ob sie die Konvergenzkriterien von LEIBNITZ erfüllt
[mm] 1-\bruch{1}{5^1}+ \bruch{1}{2}- \bruch{1}{5^2}+ \bruch{1}{3}- \bruch{1}{5^3}+...
[/mm]
nun ist meine Frage wie stell ich diese Folge als Term dar.
mein versuch war folgender:
[mm] \summe_{i=1}^{ \infty} \bruch{1}{n}- \bruch{1}{5^n}.
[/mm]
Nun dachte ich, dass sie nicht alternierend ist. Ist sie aber. Ich denke es liegt an der Darstellungsform. Wie kann ich sie anders darstellen bzw. kann mir jemand die shrite dazu erkläuter wie ich das berümte [mm] (-1)^n [/mm] bekomme.*
*(mathematisch professionell ausgedrückt)
Gruß niesel
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Du wirst hier keine einheitliche Darstellung für die einzelnen Summanden finden. Was du nur machen kannst, ist so etwas wie
[mm]a_n = \begin{cases} \frac{2}{n + 1} \ , & \text{falls} \ n \ \text{ungerade} \\ \frac{1}{5^{\frac{n}{2}}} \ , & \text{falls} \ n \ \text{gerade} \end{cases}[/mm]
und dann
[mm]\sum_{n=1}^{\infty}~(-1)^{n+1} a_n[/mm]
Aber das ist hier ja auch nebensächlich. Es geht um etwas ganz anderes:
Das Leibnizsche Konvergenzkriterium beinhaltet zwei wichtige Voraussetzungen. Beide müssen erfüllt sein. Überlege noch einmal, ob das hier der Fall ist.
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