LGS < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Mi 02.02.2005 | | Autor: | kalm177 |
Hi,
hab eine Frage bzgl. LGS. Für andere mag sich die Frage vielleicht lächerlich anhören, aber wie bestimmt man z.B. in einem LGS wie diesem:
a + 2b + 2c + d = 6
2a + b + c + 2d = 9
-a + 2b + 2c -d = -2
3a +3b +3c +3d = 15
die freie Variable, mit der man die Lösungsmenge ausdrücken kann?
Vielen lieben Dank!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Mi 02.02.2005 | | Autor: | kalm177 |
Es geht um folgendes: man soll das LGS in eine Matrix überführen, durch einige Umformungen fallen die letzten beiden Zeilen raus; Lösung. Man soll dan die Lösungsmenge in Abhängigkeit der freien Variable angeben, z.B L = ( a, b, 1-b, 4-a). Ich würde gerne wissen, wie man erkennt, welche Variable frei ist.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:46 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo kalm177
> Hi,
> hab eine Frage bzgl. LGS. Für andere mag sich die Frage
> vielleicht lächerlich anhören, aber wie bestimmt man z.B.
> in einem LGS wie diesem:
> a + 2b + 2c + d = 6
> 2a + b + c + 2d = 9
> -a + 2b + 2c -d = -2
> 3a +3b +3c +3d = 15
> die freie Variable, mit der man die Lösungsmenge
> ausdrücken kann?
Zuerst erstellst du einfach mit Hilfe des Gauss-Algorithmus folgebnde Form:
[mm] $\pmat{1&2&2&1&|&6\\0&1&1&0&|&1}$
[/mm]
Das heisst, unterhalb der Diagonalen von links oben nach rechts unten sollen lauter Nullen stehen.
Alle Variablen, die rechts von der Diagonale stehen, sind die freien Variablen.
Am einfachsten ist es wohl, wenn man zuerst über der Diagonalen auch Nullen erzeugt:
[mm] $\pmat{1&0&0&1&|&4\\0&1&1&0&|&1}$
[/mm]
Jetzt gehst du folgendermassen vor: zuerst setzt du alle freien Variablen gleich Null und berechnest aus dem entstehenden Gleichungssystem die nciht freien Variablen, um eine spezielle Lösung zu erhalten. Die ist dann wohl diese:
[mm] $\vektor{4\\1\\0\\0}$
[/mm]
Dann machst du aus dem Inhomogenen Gleichungssystem ein Homogenes, das heisst, du setzt einfach mutig auf der rechten Seite Nullen ein:
[mm] $\pmat{1&0&0&1&|&0\\0&1&1&0&|&0}$
[/mm]
Was jetzt kommt, musst du für jede freie Variable machen: setze eine freie Variable gleich $1_$, alle übrigen freien Variablen $0_$ und löse das Homogene Gleichungssystem auf. Für jede freie Variable bekommst du so einen unabhängigen Vektor, der das Homogene Gleichungssystem löst.
Also: zunächst für $c_$ den Wert $1_$ einsetzen, für $d_$ den wert $0_$
Dann bekommst du folgenden Lösungsvektor:
[mm] $\vektor{0\\-1\\1\\0}$
[/mm]
Das Entsprechende für die andere freie Variable: $d:=1_$ und $c:=0_$
Das gibt dann diesen Vektor (immer noch im Homogenen Glecihungssystem):
[mm] $\vektor{-1\\0\\0\\1}$
[/mm]
Somit hast du die Allgemeine Lösung deines Systems:
[mm] $\vektor{4\\1\\0\\0}+r*\vektor{0\\-1\\1\\0}+s*\vektor{-1\\0\\0\\1}$
[/mm]
Wenn du magst, kannst du das auch so schreiben:
[mm] $\vektor{4-s\\1-r\\r\\s}$
[/mm]
Oder sogar $r_$ durch $c_$ und $s_$ durch $d_$ ersetzen. Das geht aber nur, wenn du nichts weiteres manipuliert hast, d.h. wenn die 3. Komponente $r_$ ist, und die 4. Komponente $s_$.
Somit ergibt sich die vermutlich von dir gewünschte Form:
[mm] $\vektor{4-d\\1-c\\c\\d}$
[/mm]
Ich persönlich ziehe eigentlich diese Form vor:
[mm] $\vektor{4\\1\\0\\0}+r*\vektor{0\\-1\\1\\0}+s*\vektor{-1\\0\\0\\1}$
[/mm]
Das ist wohl Geschmacksache. 
Und noch was: welche Variablen die freien sind, ist nicht eindeutig bestimmt. Du hättest dein Gleichungssystem ja auch so schreiben können:
$d + 2c + 2b + a = 6_$
$2d + c + b+ 2a = 9_$
$-d + 2c + 2b -a = -2_$
$3d +3c +3b +3a = 15_$
Dann wären nach obigem Verfahren die Variablen a und b die freien Variablen, und die Lösung sähe so aus:
[mm] $\vektor{a\\b\\1-b\\4-a}$
[/mm]
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Do 03.02.2005 | | Autor: | kalm177 |
Hallo Paulus,
vorerst mal vielen dank für die ausführliche antwort. hätte da allerdings noch eine frage: muß man nur 2 zeilen des lgs abschreiben oder warum hast du die unteren 2 weggelassen? Wenn ich aus dem inhomogenen lgs ein homogenes mache, bleiben dann die unfreien variablen außen vor und die anderen freien werden gleich 0 gesetzt?
Liebe Grüße Marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Do 03.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Marie
> Hallo Paulus,
> vorerst mal vielen dank für die ausführliche antwort.
> hätte da allerdings noch eine frage: muß man nur 2 zeilen
> des lgs abschreiben oder warum hast du die unteren 2
Ich habe die nicht einfach weggelassen, sondern mit dem Gauss-Algorithmus begonnen, das Gleichungssystem zu lösen. Dabei ergabe sich 2 Null-Zeilen, und die habe ich weggelassen.
Ich war eigentlich davon ausgegangen, dass du selber schon mal so weit warst.
> weggelassen? Wenn ich aus dem inhomogenen lgs ein homogenes
> mache, bleiben dann die unfreien variablen außen vor und
> die anderen freien werden gleich 0 gesetzt?
Ich denke, du solltest meine Antwort nochmals durcharbeiten. Da ich mit Fieber im Bett liege, musst du dich wohl damit begnügen.
Ich lasse die Frage aber noch auf teilöweise beantwortet, vielleich findet sich jemand, der für mich einspringt.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe Marie
heute geht es mir wieder ein Bisschen besser, so dass ich noch einige Ergänzungen machen kann.
> Hallo Paulus,
> vorerst mal vielen dank für die ausführliche antwort.
> hätte da allerdings noch eine frage: muß man nur 2 zeilen
> des lgs abschreiben oder warum hast du die unteren 2
> weggelassen?
Das Gleichungssystem war das dieses:
$a+2b+2c+d=6_$
$2a+b+c+2d=9_$
$-a+2b+2c-d=-2_$
$3a+3b+3c+3d=15_$
Oder in Martrizenschreibweise:
[mm] $\pmat{1&2&2&1&|&6\\2&1&1&2&|&9\\-1&2&2&-1&|&-2\\3&3&3&3&|&15}$
[/mm]
Dividieren der 4. Zeile durch 3:
[mm] $\pmat{1&2&2&1&|&6\\2&1&1&2&|&9\\-1&2&2&-1&|&-2\\1&1&1&1&|&5}$
[/mm]
Mit Hilfe der 1. Zeile in der 1. Spalte Nullen erzeugt:
[mm] $\pmat{1&2&2&1&|&6\\0&3&3&0&|&3\\0&4&4&0&|&4\\0&1&1&0&|&1}$
[/mm]
Dividieren der 2. Zeile durch 3, 3. Zeile durch 4:
[mm] $\pmat{1&2&2&1&|&6\\0&1&1&0&|&1\\0&1&1&0&|&1\\0&1&1&0&|&1}$
[/mm]
Mit Hilfe der 2. Zeile in der 3. und 4. Zeile in der 2. Spalte Nullen erzeugt:
[mm] $\pmat{1&2&2&1&|&6\\0&1&1&0&|&1\\0&0&0&0&|&0\\0&0&0&0&|&0}$
[/mm]
Denkpause einlegen! Jetzt kann man entscheiden, ob das Gleichungssystem überhaupt lösbar ist. Das ist hier der Fall! Würde in der 3. oder 4. Zeile rechts des vertikalen Strichs nicht Null stehen, wären wir fertig: das Gleichungssystem wäre zwar lösbar, die Lösungsmenge wäre aber leer.
Für das Weitere dürfen die unteren beiden Zeilen weggelassen werden:
[mm] $\pmat{1&2&2&1&|&6\\0&1&1&0&|&1}$
[/mm]
Oftmals (bei der Aneignung von Abi-Wissen) hört man hier, meiner Meinung aber eindeutig zu früh, mit dem Gauss-Algorithmus auf! Man lässt die freien Variablen einfach als Variablen stehen und löst das Gleichungssystem mühsam nach den anderen Variablen weiter auf.
Ich denke aber, man sollte zunächst mit dem Gauss-Algorithmus noch weiter fahren, mit dem Ziel, auch oberhalb der berühmten Diagonalen Nullen zu erzeugen. Das geht hier in einem Schritt, weil die Diagonale nur aus 2 Elementen besteht:
[mm] $\pmat{1&0&0&1&|&4\\0&1&1&0&|&1}$
[/mm]
Wenn man nur an einer Angabe der Lösungen interessiert ist, kann man jetzt tatsächlich wie oben beschrieben vorgehen: man lässt die freien Variablen stehen und berechnet die gebundenen Variablen. Das Gleichungssystem sieht jetzt ja so aus:
$a+d=4_$
$b+c=1_$
Das führt sofort zu:
$a=4-d_$
$b=1-c_$
Oder als Lösungsvektor so geschrieben:
[mm] $\vektor{4-d\\1-c\\c\\d}$
[/mm]
Das genügt fürs Abi und ist einfach und einleuchtend. Wenn man aber im Sinne der Linearen Algebra auch an der Struktur der Lösungsmenge interessiert ist, dann sollte man so vorgehen, wie ich es in der ersten Antwort beschrieben hatte:
Setze alle freien Variablen Null und bestimme so eine spezielle Lösung. Also in folgender Gleichung werden c und d gleich Null gesetzt:
$a+d=4_$
$b+c=1_$
ergibt:
$a+0=4_$
$b+0=1$
oder
$a=4_$
$b=1_$
Damit ist also eine spezielle Lösung bestimmt:
[mm] $\vektor{4\\1\\0\\0}$
[/mm]
Jetzt erzeugen wir das zugehörige Homogene Gleichungssystem:
$a+d=0_$
$b+c=0_$
$c_$ wird als freie Variable 1 gesetzt, alle anderen freien Variablen Null:
$a+0=0_$
$b+1=0_$
Das müssen wir aber schon noch nach $a_$ und $b_$ auflösen ($c_$ hat ja den Wert $1$)
$a=0_$
$b=-1$
Somit ist ein Lösungsvektor des Homogenen Systems gefunden:
[mm] $\vektor{0\\-1\\1\\0}$
[/mm]
Und jetzt das Gleiche mit $d_$: $d_$ wird $1_$ gesetzt, alle übrigen freien Variablen (das ist in diesem Beispile halt nur das $c_$) werden Null gesetzt:
$a+1=0_$
$b+0=0_$
Und wieder nach den gebundenen Variablen aufgelöst:
$a=-1$
$b=0_$
Also ist auch ein 2., linear unabhängiger Vektor gefunden:
[mm] $\vektor{-1\\0\\0\\1}$
[/mm]
Womit sich die allgemeine Lösung ergibt:
[mm] $\vektor{4\\1\\0\\0}+r*\vektor{0\\-1\\1\\0}+s*\vektor{-1\\0\\0\\1}$
[/mm]
Das entpuppt sich als Parameterdarstellung einer Ebene, in einen 4-dimensionalen Raum eingebettet. Die Lösungsstruktur tritt so sehr schön zu Tage. 
Mit lieben Grüssen
Paul
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