LGS < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:31 Fr 10.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Konstruiere ein LGS,das...
a) nur die Lösung (1;2;1) besitzt.
b) keine Lösung besitzt.
c) unter anderem die Lösung (1;2;1) besitzt. |
Hallo zusammen^^
Ich hab mal eine Frage zu dieser Aufgabe.Gibt es da ein bestimmtes Verfahren,wie man hier vorgehen kann oder versucht man das einfach hinzukriegen?
Ich hab zum Beispiel bei der a) einfach versucht eins zu konstruieren:
1.) 2x+y=4
2.) 3x+y=4
Wäre das so in Ordnung?
Bei der b) hab ichs auch versucht:
1.) 2x-y+z=1
2.) x+0.5y+2z=4
3.) 3x+y-z=4.
Nur bei der c) weiß ich nicht genau wie ich rangehen soll.Das LGS hat unendlich viele Lösungen,ob sie nun einparametrig oder zweiparametrig sind ist doch hier egal oder?
Kann mir jemand bei der c) weiterhelfen`?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Fr 10.04.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bei a) soll ja die Lösung [mm] \green{x=1, y=2} [/mm] und [mm] \green{z=1} [/mm] herauskommen, also finde mal drei Gleichungen, die die Bedingung erfüllen.
Also z.B.)
[mm] \blue{2}*\green{1}+\blue{2}*\green{2}+\blue{3}*\green{1}=\red{7}
[/mm]
[mm] \blue{1}*\green{1}+\blue{1}*\green{2}+\blue{1}*\green{1}=\red{4}
[/mm]
[mm] \blue{1}*\green{1}+\blue{(-2)}*\green{2}+\blue{3}*\green{1}=\red{0}
[/mm]
Die blauen Zahlen darfst du dir aussuchen, die roten Zahlen ergeben sich dann.
zu b)
Wenn ein LGS keine Lösung hat, gibt es Zeilen á la:
2x+3y+4z=4
und 4z+6y+8z=17
(die Koeffizienten sind vielfache voneinander, der "Restterm" aber nicht.)
Du brauchst jetzt nur noch eine weitere Gleichung "dazubauen"
zu c)
Wenn es "unter anderem" die Lösung [mm] \green{x=1, y=2} [/mm] und [mm] \green{z=1} [/mm] geben soll, kann es auch vielfache geben, wichtig ist nur, dass y=2x und z=x gilt. Also kannst du die Überlegungen zu a) umwandeln zu:
[mm] \blue{2}*\green{1x}+\blue{2}*\green{2x}+\blue{3}*\green{1x}=\red{...}
[/mm]
[mm] \blue{1}*\green{1x}+\blue{1}*\green{2x}+\blue{1}*\green{1x}=\red{...}
[/mm]
[mm] \blue{1}*\green{1x}+\blue{(-2)}*\green{2x}+\blue{3}*\green{1x}=\red{...}
[/mm]
Setze jetzt mal für x irgendwelche Zahlen ein, und bestimme dann das rote Ergebnis.
Kommst du jetzt erstmal weiter?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Do 16.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | d) Konstruieren Sie ein LGS,das die Lösungen (1:2:1) und (2;4;2) hat.
e) Konstruieren Sie ein LGS,das die Lösungsmenge [mm] L={(2-c;4+2c;c)c\in\IR}
[/mm]
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Ok,vielen Dank.Ich glaub ich habs verstanden.
Aber bei der d) und e) komme ich jetzt nicht mehr weiter.
Also bei der d) ist doch die 2.Lösung eine Vielfache der ersten.Dann könnte ich ja eigentlich das LGS aus c) nehmen,aber ich muss ja irgendwie das LGS so hinkriegen,dass es nur die zwei Lösungen (1;2;1) und (2;4;2) gibt.Ich weiß aber grad nicht wie ich das machen soll.Entweder krieg ich nur die eine oder nur die andere Lösung hin...???
Und bei der e) hab ich ja eine Lösungsmenge,d.h. ich müsste ein (2,3)-LGS konstruieren.Eine hab ich schonmal aufgestellt: 1.) x+y-z=6.Könnte ich als zweite einfach nehmen: 2.) 2x+2y-2z=6 ???
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:06 Fr 17.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu c) du kannst kein GS finden, das genau 2 Loesungen hat. lies noch mal den vorschlag GENAU durch und folge den anweisungen.
wenn 1,2,1 eine von unendlich vielen Loesg ist, dann auch k*1,k*2,k*1 nicht nur k=2.
ne aufgabe d) hab ich nicht gefunden. wenn du b) meinst halt dich doch einfach an die Anweisung. deine loesg ist dafuer auch moeglich.
Geh bitte genauer auf posts ein, und sag genau, was du daran nicht verstehst, bzw. wo du nicht weiterkommst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Fr 17.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | d) Konstruieren Sie ein LGS,das die Lösungen (1:2:1) und (2;4;2) hat.
e) Konstruieren Sie ein LGS,das die Lösungsmenge $ [mm] L={(2-c;4+2c;c)c\in\IR} [/mm] $
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Hallo leduart,
entschuldige,das war ein Fehler von mir.Die a),b) und c) hab ich verstanden.Bei der d) und e) hab ich noch Schwierigkeiten.Ich hab in meiner Frage anstatt d) und e) ausversehen c) und d) hingeschrieben.
Also die d) und e) stehen jetzt nochmal oben.
Die d) glaub hab ich jetzt auch verstanden.Ich kann hier doch einfach ein LGS konstrueiren,das die Lösung (1;2;1) hat und k*1,k*2,k*1 wären dann auch Lösungen von diesem LGS.
Und bei der e) hab ich ja eine Lösungsmenge mit einem Prameter,d.h. ich müsste ein (2,3)-LGS konstruieren.Eine hab ich schonmal aufgestellt: 1.) x+y-z=6.Könnte ich als zweite einfach nehmen: 2.) 2x+2y-2z=6 ???
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Fr 17.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
d ist so ok
in e) muss ja wohl c vorkommen!
also mach es wie in c) dir vorgemacht wurde, schreib y und z durch x,c auf. und dann so schoen wie dirs mit den blauen Zahlen vorgefuert wurde.
Wenn du in deine zweite Gl. x,y,z wie gegeben einsetzt kommt nicht 6 raus.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Hallo
> in e) muss ja wohl c vorkommen!
> also mach es wie in c) dir vorgemacht wurde, schreib y und
> z durch x,c auf. und dann so schoen wie dirs mit den blauen
> Zahlen vorgefuert wurde.
> Wenn du in deine zweite Gl. x,y,z wie gegeben einsetzt
> kommt nicht 6 raus.
Also ich hab mir das jetzt so aufgeschrieben:
x=2-c, y=4+2c, z=c
Wenn ich x nach c auflöse,hab ich c=2-x und das in y und z einsetze,hab ich y=8-2x und z=2-x.
Kann ich mir jetzt eine Gleichung aufschreiben,z.B.
x+8-2x+2-x=...
und für x eine Zahl einsetzen?
Aber dadurch hab ich ja kein LGS,mir fehlen noch y und z?
lg
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> Also ich hab mir das jetzt so aufgeschrieben:
>
> x=2-c, y=4+2c, z=c
Dein angewandtes Vorgehen wird leider nicht fruchten. Du gehst im Grunde genau so vor wie wenn du nicht unendlich viele Lösungen hättest: Du musst wieder "linke Seiten" mit
ax+by+dz
bilden und dann die rechte Seite entsprechend der dir bekannten Lösungen ausrechnen. Zum Beispiel a = 1, b = 1, d = 1, dann ist
x + y+ z
die linke Seite, also wäre die rechte
(2-c) + (4+2c) + (c) = 6 + 2c.
So. Und das ist jetzt noch die zusätzliche Herausforderung: Es darf auf der rechten Seite kein c entstehen, d.h. es muss dir gelingen a,b,d so zu wählen, dass sich c auf der linken Seite wieder rauskürzt. Davon erstellst du nun zwei Gleichungen, die verschiedenes aussagen (d.h. keine Vielfache voneinander), die dritte erhältst du einfach durch addieren der ersten beiden oder so.
Das mit dem Wählen von a,b,d ist nicht schwer: Du nimmst einfach a und b fest an (die kannst du also frei wählen) und guckst dann, was für einen Wert d du nehmen musst.
Ein Beispiel für eine Gleichung: Wir wählen frei a = 1 und b = 2 und lassen d noch offen:
Linke Seite: 1*x + 2*y + d*z
Rechte Seite: 1*(2-c) + 2*(4+2c) + d*(c).
Es entsteht durch die ersten beiden Summanden -c+4c = 3c, also muss d = -3 sein, damit die c's rausfallen. Also
Linke Seite: 1*x + 2*y + (-3)*z
Rechte Seite: 1*(2-c) + 2*(4+2c) + (-3)*(c) = 2 + 8 = 10, also
x + 2y + (-3)*z = 10
ist deine erste Gleichung. Weitere Gleichungen erhältst du schnell, wenn du jetzt zum Beispiel b und c frei wählst und a dann entsprechend "berechnest".
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
> Ein Beispiel für eine Gleichung: Wir wählen frei a = 1 und
> b = 2 und lassen d noch offen:
>
> Linke Seite: 1*x + 2*y + d*z
> Rechte Seite: 1*(2-c) + 2*(4+2c) + d*(c).
>
> Es entsteht durch die ersten beiden Summanden -c+4c = 3c,
Welche Summanden meinst du hier?Also ich versteh grad nicht,wie du auf -c+4c=3c kommst?
> also muss d = -3 sein, damit die c's rausfallen. Also
>
> Linke Seite: 1*x + 2*y + (-3)*z
> Rechte Seite: 1*(2-c) + 2*(4+2c) + (-3)*(c) = 2 + 8 =
> 10, also
>
> x + 2y + (-3)*z = 10
>
> ist deine erste Gleichung. Weitere Gleichungen erhältst du
> schnell, wenn du jetzt zum Beispiel b und c frei wählst und
> a dann entsprechend "berechnest".
>
> Viele Grüße, Stefan.
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>
> > Ein Beispiel für eine Gleichung: Wir wählen frei a = 1 und
> > b = 2 und lassen d noch offen:
> >
> > Linke Seite: 1*x + 2*y + d*z
> > Rechte Seite: 1*(2-c) + 2*(4+2c) + d*(c).
> >
> > Es entsteht durch die ersten beiden Summanden -c+4c = 3c,
>
> Welche Summanden meinst du hier?Also ich versteh grad
> nicht,wie du auf -c+4c=3c kommst?
>
Hallo!
Ich meine die ersten beiden Summanden, die in dem Term bei "Rechte Seite" stehen, also 1*(2-c) und 2*(4+2c). Wenn ich nur die beiden auswerte, komme ich schon auf 3c. Also muss ich d = -3 wählen, damit am Ende alle c's in der Summe 1*(2-c) + 2*(4+2c) + d*(c) bei "Rechter Seite" wieder rausfallen.
Viele Grüße, Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Achso,jetzt hab ich's verstanden.Vielen,vielen Dank nochmal für deine Hilfe =)
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | d) Konstruieren Sie ein LGS,das die Lösungen (1:2:1) und (2;4;2) hat. |
Hallo
zur d) hab ich doch noch eine Frage.Also wir hatten ja gesagt,dass wenn (1;2;1) eine Lösung des LGS ist,dann ist auch k*1,k*2,k*1 eine Lösung.
Wenn ich z.B.das LGS habe:
x+y+z=4
2x+2y+2z=8
3x+3y+3z=12
(Nebenbei eine Frage,kann man das als LGS ansehen?Weil eigentlich ist es ja die ein und selbe Gleichung,nur einmal mit 2 und einmal mit 3 multipliziert?)
Also wenn ich das LGS habe und da jetzt die Lösung (2;4;2) einsetze,dann kommt eine falsche Aussage raus???
lg
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> d) Konstruieren Sie ein LGS,das die Lösungen (1:2:1) und
> (2;4;2) hat.
> Hallo
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> zur d) hab ich doch noch eine Frage.Also wir hatten ja
> gesagt,dass wenn (1;2;1) eine Lösung des LGS ist,dann ist
> auch k*1,k*2,k*1 eine Lösung.
> Wenn ich z.B.das LGS habe:
>
> x+y+z=4
> 2x+2y+2z=8
> 3x+3y+3z=12
Hallo Mandy90,
Die Regel mit dem Vielfachen von Lösungen gilt nur bei homogenen LGS, also wenn jede Gleichung die Form
ax+by+cz = 0
hat, also auf der "rechten" Seite 0 steht. Das ist oben nicht der Fall, da haben wir auf der rechten Seite eine 4 (nicht dass du jetzt denkst, wir könnten das Problem einfach beheben indem wir auf beiden Seiten - 4 rechnen: Es geht natürlich drum, das überhaupt keine "lose" Zahl ohne dass sie Faktor vor einem x, y, z ist, in der Gleichung vorkommt  )
> (Nebenbei eine Frage,kann man das als LGS ansehen?Weil
> eigentlich ist es ja die ein und selbe Gleichung,nur einmal
> mit 2 und einmal mit 3 multipliziert?)
Die einzige Charakterisierung von einem LGS ist, dass die Unbekannten in den einzelnen Gleichungen in der ersten Potenz vorkommen. Also ist das ein LGS
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Vielen Dank,
> zu c)
>
> Wenn es "unter anderem" die Lösung [mm]\green{x=1, y=2}[/mm] und
> [mm]\green{z=1}[/mm] geben soll, kann es auch vielfache geben,
> wichtig ist nur, dass y=2x und z=x gilt. Also kannst du die
> Überlegungen zu a) umwandeln zu:
>
> [mm]\blue{2}*\green{1x}+\blue{2}*\green{2x}+\blue{3}*\green{1x}=\red{...}[/mm]
>
> [mm]\blue{1}*\green{1x}+\blue{1}*\green{2x}+\blue{1}*\green{1x}=\red{...}[/mm]
>
> [mm]\blue{1}*\green{1x}+\blue{(-2)}*\green{2x}+\blue{3}*\green{1x}=\red{...}[/mm]
>
Wenn ich das zusammenfasse hab ich ja ein System mit nur einer Variablen,nur x,was ist denn mit y und z?Ich kann dann z.B. x=1 einsetzen,dann krieg ich eine wahre Aussage.
> Setze jetzt mal für x irgendwelche Zahlen ein, und bestimme
> dann das rote Ergebnis.
> Kommst du jetzt erstmal weiter?
>
lg
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[mm]\blue{2}*\green{1x}+\blue{2}*\green{2x}+\blue{3}*\green{1x}=\red{...}[/mm]
> >
> >
> [mm]\blue{1}*\green{1x}+\blue{1}*\green{2x}+\blue{1}*\green{1x}=\red{...}[/mm]
> >
> >
> [mm]\blue{1}*\green{1x}+\blue{(-2)}*\green{2x}+\blue{3}*\green{1x}=\red{...}[/mm]
> >
>
> Wenn ich das zusammenfasse hab ich ja ein System mit nur
> einer Variablen,nur x,was ist denn mit y und z?Ich kann
> dann z.B. x=1 einsetzen,dann krieg ich eine wahre Aussage.
Deine Lösung soll (x,y,z) = (1,2,1). Du konstruierst dir nun ein LGS, indem du dir eine linke Seite aussucht (irgendwelche Zahlen vor x,y,z schreiben) und dann mit der bekannten Lösung ausrechnest. Beispiel: Eine Gleichung des LGS ist:
3x + 5x + 7x
die linke Seite steht nun oben (völlig willkürlich habe ich 3,5,7 ausgewählt). Du weißt nun, dass die Lösung (x,y,z) = (1,2,1) lauten soll, also setze für die Zahlen für die Variablen ein und guck was rauskommt. Hier
3*1 + 5*2 + 7*1 = 20,
also lautet die erste Gleichung deines Systems
3x + 5y + 7z = 20.
Nun musst du noch zwei weitere Gleichungen genau nach demselben Schema bestimmen, damit du die eindeutige Lösung (1,2,1) bestimmst und nicht noch weitere. Dafür ist es auch wichtig, am Ende noch einmal zu überprüfen ob das LGS wirklich eine eindeutige Lösung hat. (Es könnte ja sein, dass aus Versehen beim Konstruieren zwei Gleichungen zusammen die dritte ergeben oder so). Um das zu umgehen, kannst du auch gleich geschickter das LGS in einer Zeilenstufenform konstruieren.
Nur so: Im Grunde ist auch
x = 1
y = 2
z = 1
ein LGS
Jetzt noch zu der obigen Frage: Das von M.Rex angegebene LGS hast du falsch interpretiert. Die blauen Zahlen waren die Koeffizienten vor x in der ersten Spalte, y in der zweiten und z in der dritten Spalte. Die grünen Zahlen waren die Lösungen, du musst sie zum Aufstellen des LGS dann entsprechend in der ersten Spalte durch x, in der zweiten durch y und in der dritten durch z ersetzen.
Viele Grüße, Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:13 Mo 20.04.2009 | | Autor: | Mandy_90 |
Vielen Dank,
das hab och verstanden.
>
> Nun musst du noch zwei weitere Gleichungen genau nach
> demselben Schema bestimmen, damit du die eindeutige Lösung
> (1,2,1) bestimmst und nicht noch weitere.
Genau das ist es ja.Es soll ja gerade nicht nur diese Lösung ,sondern auch noch irgendeine andere existieren und das hatte mich halt ein wenig verwirrt,weil ich nicht wusste,wie ich das aufstellen soll.Ich hab z.B. das folgende LGS:
x+y+z=4
2x+2y+2z=8
3x-y+z=2
Dieses LGS hat die Lösung (1;2;1).Wie kann ich das jetzt so umstellen,dass es auch noch eine andere Lösung gibt?
M.Rex hat jetzt gesagt,es kann auch Vielfache geben.Heißt das,ich nehme mir irgendeine Zahl,z.B. 2 und mutipliziere alle Gleichungen und die Lösung (1;2;1) damit?
Irgendwie versteh ich das grad nicht...........=(
lg
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> Dieses LGS hat die Lösung (1;2;1).Wie kann ich das jetzt so
> umstellen,dass es auch noch eine andere Lösung gibt?
> M.Rex hat jetzt gesagt,es kann auch Vielfache geben.Heißt
> das,ich nehme mir irgendeine Zahl,z.B. 2 und mutipliziere
> alle Gleichungen und die Lösung (1;2;1) damit?
> Irgendwie versteh ich das grad nicht...........=(
Ein LGS kann nicht genau 2 Lösungen haben, es gibt nur die Möglichkeiten 0, eindeutig oder unendlich viele. Wenn dein LGS 2 Lösungen haben soll (in der Aufgabenstellung steht nicht genau 2), muss es unendlich viele Lösungen haben.
Da wir leicht sehen, dass die zweite Lösung ein Vielfaches der ersten ist, müssen wir also nur ein homogenes LGS erstellen, welches als Lösung (1,2,1) hat. Dann hat es automatisch auch die Lösung (k*1,k*2,k*1).
Zum Erstellen von homogenen LGS:
Wähle die Koeffizienten vor x und y frei, und bestimme dann z entsprechend, dass 0 herauskommt. Z.B.
Linke Seite: 2x+3y+d*z
Rechte Seite: 2*1 + 3*2 + d*1 = 0
also muss d = -8 sein.
--> Erste Gleichung 2x+3x -8z = 0
Nun noch eine weitere Gleichung bestimmen und dann die dritte durch z.B. Addition oder Vervielfachen der beiden ersten.
Viele Grüße, Stefan.
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