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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:44 Mi 21.09.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
habe folgendes LGS:
$ [mm] \red{\pmat{ H & -A^T \\ A & 0 }\vektor{d\\ \lambda}=\vektor{-g \\ -a}} [/mm] $
A hat vollen Rang, H ist positiv definit.
Jetzt sagt die Lösung:
[mm]\lambda=(AH^{-1}A^T)^{-1}*(-a+AH^{-1}g) \newline
d=H^{-1}(A^T\lambda-g)[/mm],
Beim besten Willen kommen ich nicht darauf.
Der Tipp "invertiere [mm]\pmat{ H & -A^T \\
A & 0 }[/mm]" hilft leider nicht weiter...
Gruß und Dank
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:09 Mi 21.09.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
ich will ja keine Infos unterschlagen:
[mm]H\in\IR^{n\times{n}}[/mm], [mm]A\in\IR^{l\times{n}}[/mm]
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:53 Mi 21.09.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
sehe gerade, bei der Eingabe ist was schiefgelaufen!
Es muss heißen:
[mm]\red{\pmat{ H & -A^T \\
A & 0 }\vektor{d\\
\lambda}=\vektor{-g \\
-a}}[/mm]
> Jetzt sagt die Lösung:
>
> [mm]\lambda=(AH^{-1}A^T)^{-1}*(-a+AH^{-1}g) \newline
d=H^{-1}(A^T\lambda-g)[/mm],
Sorry! Jetzt vielleicht eine Idee?
Gruß
barsch
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moin barsch,
Die Inverse ist:
[mm] $\pmat{0 & A^{-1} \\ (-A^{-1})^T &(A^{-1})^T*H*A^{-1}}$
[/mm]
Somit wäre, wenn man diese auf beiden Seiten drannmultipliziert:
[mm] $\vektor{d \\ \lambda} [/mm] = [mm] \pmat{0 & A^{-1} \\ (-A^{-1})^T &(A^{-1})^T*H*A^{-1}}\vektor{-g \\ -a} [/mm] = [mm] \vektor{-gA^{-1} \\ g(A^{-1})^T -a(A^{-1})^T*H*A^{-1}}$
[/mm]
Ich sehe jetzt grad nicht ob oder wie man das zu deiner Lösung umstellen kann, aber vielleicht hilft es dir ja weiter... ;)
MfG
Schadowmaster
edit: huch, A ist nicht quadratisch?
sicher?
Das lässt die Aussage "A hat vollen Rang" natürlich deutlich an Wert verlieren. -.-
Ich hoffe mal du hast da in der Info H und A vertauscht, denn sonst ist meine Inverse leider Müll. :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Mi 21.09.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo Schadowmaster ,
vielen Dank für deine Antwort!
> edit: huch, A ist nicht quadratisch?
> sicher?
So wahr ich hier sitze: A ist nicht quadratisch!
Das ist das Problem!
> Das lässt die Aussage "A hat vollen Rang" natürlich
> deutlich an Wert verlieren. -.-
Das ist richtig.
> Ich hoffe mal du hast da in der Info H und A vertauscht,
Leider nein.
> denn sonst ist meine Inverse leider Müll. :-(
Es handelt sich hierbei um die Bildraum-Methode zur Lösung von nichtlinearen Gleichungssystem. Und dort wird eben dieses KKT-System (Karush-Kuhn-Tucker) gelöst. Leider steht dann nur diese Lösung im Skript.
Trotzdem vielen Dank.
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 23.09.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:50 Di 27.09.2011 | | Autor: | barsch |
Hallo,
ich nehme an, die Frage war so speziell, dass die Antwort wohl Niemanden außer mir interessieren wird. Da ich es eben dann doch rausbekommen habe, nachdem ich ein paar Tage Abstand genommen hatte von dem Problem, poste ich meine Lösung jetzt einfach mal ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]")
[mm] H\in\IR^{n\times{n}} [/mm] ist positiv definit, also hat H vollen Rang. Somit ist H invertierbar.
[mm]\red{\pmat{ H & -A^T \\
A & 0 }\vektor{d\\
\lambda}=\vektor{-g \\
-a}}[/mm]
Damit ergibt sich:
1. [mm]H*d-A^T*\lambda=-g[/mm]
2. [mm]A*d=-a[/mm]
Betrachten wir 1.:
[mm]H*d-A^T*\lambda=-g\gdw{H*d=-g+A^T*\lambda}\gdw{d=H^{-1}*(A^T*\lambda-g)}[/mm]
Dies nun in die 2. Gleichung einsetzen, umstellen und fertig.
Gruß
barsch
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