LGS in Abh. von Param. < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Fr 18.12.2009 | | Autor: | schumann |
| Aufgabe | 1. Für welche Zahlen s element R ist das LGS Ax=b mit
[mm] A=\pmat{ -2 & 6 & -4\\ 0 & 9 & -5 \\ 1 & -3 & 4\\ 2 & 3 & s} [/mm] und b=(-2,-10,5,2) lösbar?
2. Wie lautet die allg. Lösung für diese s? |
zu 1.:
Wenn ich mein LGS aus Zeilenstufenform bringe - auf was muss ich dann bzgl s achten?
Zwischenfrage: Darf ich bei meinen Zeilenumformungen auch mit meinem Parameter in einer Zeile durhmultiplizieren oder verfälscht das die Lösung?
nach einem Umformschritt steht da bei mir
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 9 & -5 & -10 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 9 & s-4 & 0}
[/mm]
das ist die erweiterte Koeffmatrix, der rechte Zeilenvektor entspricht b.
Kann ich hier schon Rückschlüsse ziehen?
Ich müsste doch ein s finden, für welche sein Widerspruch entsteht, sodass ich sagen kann: Die Lsg-Menge ist alle s aus R ausser s=... ?
zu 2.:
Nach einmaliger Umformung kann ich ja schon meine Ergebnisse in Abh. v. s fast ablesen / nach x1,x2,x3 auflösen. Das müsste doch das Ergebnis sein. (?)
Danke für Hilfe!
Ich habe diese Frage nur hier im Forum gestellt.
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Hallo schumann,
> 1. Für welche Zahlen s element R ist das LGS Ax=b mit
>
> [mm]A=\pmat{ -2 & 6 & -4\\ 0 & 9 & -5 \\ 1 & -3 & 4\\ 2 & 3 & s}[/mm]
> und b=(-2,-10,5,2) lösbar?
>
> 2. Wie lautet die allg. Lösung für diese s?
> zu 1.:
> Wenn ich mein LGS aus Zeilenstufenform bringe - auf was
> muss ich dann bzgl s achten?
Fast nichts, außer:
> Zwischenfrage: Darf ich bei meinen Zeilenumformungen auch
> mit meinem Parameter in einer Zeile durhmultiplizieren oder
> verfälscht das die Lösung?
Das darfst Du, wenn Du am Ende Deine Lösung gesondert für s=0 untersuchst. Das ist ja der einzige Fall, in dem eine Multiplikation mit s die Lösung verfälscht.
> nach einem Umformschritt steht da bei mir
>
> [mm]\pmat{ 1 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 9 & -5 & -10 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ 0 & 9 & s-4 & 0}[/mm]
>
> das ist die erweiterte Koeffmatrix, der rechte Zeilenvektor
> entspricht b.
>
> Kann ich hier schon Rückschlüsse ziehen?
Ja.
Die dritte Zeile sagt mir vor allem, dass [mm] x_3\not=0 [/mm] ist.
Wenn Du nun das 10fache dieser Zeile zur zweiten Zeile addierst, hast Du zwei fast gleich aussehende Zeilen. Mit dem Wissen, dass [mm] x_3\not=0 [/mm] ist, kannst Du dann direkt eine Aussage über s folgern.
> Ich müsste doch ein s finden, für welche sein
> Widerspruch entsteht, sodass ich sagen kann: Die Lsg-Menge
> ist alle s aus R ausser s=... ?
Die Lösungsmenge ist viel kleiner. 
> zu 2.:
> Nach einmaliger Umformung kann ich ja schon meine
> Ergebnisse in Abh. v. s fast ablesen / nach x1,x2,x3
> auflösen. Das müsste doch das Ergebnis sein. (?)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du kannst die Ergebnisse sogar unabhängig von s ablesen. Trotzdem muss s die in 1) ermittelte Bedingung erfüllen, damit Dein überbestimmtes LGS überhaupt lösbar ist.
Alles klar?
Na dann, viel Erfolg!
lg
reverend
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> 1. Für welche Zahlen s element R ist das LGS Ax=b mit
>
> [mm]A=\pmat{ -2 & 6 & -4\\ 0 & 9 & -5 \\ 1 & -3 & 4\\ 2 & 3 & s}[/mm]
> und b=(-2,-10,5,2) lösbar?
>
> 2. Wie lautet die allg. Lösung für diese s?
> zu 1.:
> Wenn ich mein LGS aus Zeilenstufenform bringe - auf was
> muss ich dann bzgl s achten?
> Zwischenfrage: Darf ich bei meinen Zeilenumformungen auch
> mit meinem Parameter in einer Zeile durhmultiplizieren oder
> verfälscht das die Lösung?
>
> nach einem Umformschritt steht da bei mir
>
> [mm]\pmat{ 1 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 9 & -5 & -10 \\ \red{0} & \red{0} & \red{4} & \red{1} \\ 0 & 9 & s-4 & 0}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> das ist die erweiterte Koeffmatrix, der rechte Zeilenvektor
> entspricht b.
Hallo schumann,
reverend hat dir schon geantwortet. Ich habe ein
bisschen nachgerechnet und kann nicht nachvoll-
ziehen, wie du auf die dritte Zeile in deiner neuen
Matrix gekommen bist. Die ist wohl falsch ...
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Fr 18.12.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Al,
wenn die Zeile (0 0 4 8) hieße, wäre sie verständlicher...
Auch das dann folgende s sähe für eine Übungsaufgabe "normaler" aus als gerade 39.
Wie Du siehst, hatte ich diesen Schritt nicht nachgerechnet. Pardon.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Fr 18.12.2009 | | Autor: | schumann |
Danke für die Antwort(en)!
Also, da ist natürlich ein Rechenfehler drin.
Nur vom Prinzip her:
das ist ja ein überbestimmtes LGS, welches dann auch unendl viele Lsg. haben kann.
Zielt die Frage der Aufgabe also darauf ab, für welche s es GENAU EINE Lösung gibt? Dann muesste ich ja nur schauen, für welche s 2 Zeilen im LGS identisch werden, sodass ich 3 Gleichungen für 3 Variable habe.
Muss ich dann im weiteren für dieses gefundene s die Lösung angeben oder wie ist das gemeint in Abhängigkeit von s?
Oder kann ich sagen:
x3=2
-> x2=(2s+4)/3
->x1=...
und das ist die lösung??
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Hallo nochmal,
ein überbestimmtes LGS steht eher in der Gefahr, gar keine Lösung zu haben.
Das ist auch hier der Fall. Es gibt überhaupt nur ein s, für das eine Lösung existiert.
Darum kommt (logischerweise) das s auch nicht mehr als Parameter in der Lösung vor.
lg
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Fr 18.12.2009 | | Autor: | schumann |
bei einem überbestimmten LGS hab ich doch die möglichkeit, einen parameter einzuführen und den Lösungsraum anzugeben. Zählt das nciht als Lösung?
1000Dank für Deine Geduld! :)
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Hallo,
> bei einem überbestimmten LGS hab ich doch die
> möglichkeit, einen parameter einzuführen und den
> Lösungsraum anzugeben. Zählt das nciht als Lösung?
Falsch. Das gilt für ein unterbestimmtes LGS!
> 1000Dank für Deine Geduld! :)
Wie ich sehe, bist Du jetzt eigentlich fertig.
Dazu unten mehr.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:15 Fr 18.12.2009 | | Autor: | schumann |
Wie sieht es hiermit aus:
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 8 \\ 0 & 9 & s-4 & 0}
[/mm]
Für s-4=0 <-> s=4
ist das Ding eindeutig lösbar?
Ist das die Lsg?
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> Wie sieht es hiermit aus:
>
> [mm]\pmat{ 1 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 8 \\ 0 & 9 & s-4 & 0}[/mm]
Forme dies doch noch ein wenig weiter um !
(subtrahiere die zweite Zeile von der vierten,
und dann dividiere die zweite Zeile durch 9,
die dritte durch 4 !)
> Für s-4=0 <-> s=4
>
> ist das Ding eindeutig lösbar?
> Ist das die Lsg?
Hallo,
eigentlich hattest du ja ein Gleichungssystem mit
4 Gleichungen und 4 Unbekannten ! Und ja, die
Lösung ist eindeutig bestimmt. Du solltest sie nur
noch vollständig angeben !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Fr 18.12.2009 | | Autor: | schumann |
Dann habe ich:
[mm] \pmat{ 1 & -3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & s-4 & 0}
[/mm]
Für s=4 muss doch was besonderes sein! Dann ist das LGS eindeutig bestimmt. Wenn s nicht 4 ist, sonder 5, gibt es keien Lösung. Und für alle anderen ungleich 4.
Muesste ich dann hinschreiben:
Für s=4 x3=2, x2=0, x1=-3. Für s [mm] \not= [/mm] 4 : leere L-Menge!
?
Danke für Deine Hilfe! :)
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Hi,
> Muesste ich dann hinschreiben:
>
> Für s=4 x3=2, x2=0, x1=-3. Für s [mm]\not=[/mm] 4 : leere
> L-Menge!
Ja, genau. Allerdings habe ich nur s=4 nachgerechnet...
ciao
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:27 Fr 18.12.2009 | | Autor: | schumann |
Danke!!
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