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LGS mit 3 unbekannten: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:24 Do 28.04.2005
Autor: Amy2912

Asche auf mein Haupt, ich hab in den wohl entscheidenden letzten 5 Minuten in der Mathestunde nicht so recht aufgepasst.

Wie löst man nach dem Gauß-Verfahren ein lineares Gleichungssystem mit 3 Variablen?
Die Aufgabe war:

A, B und C sind zusammen 200 Jahre alt.
Daraus folgt: a+b+c=200

C war vor 60 Jahren genauso alt wie A und B zusammen. (heute)
--> c-60=a+b

Die Differenz zwischen B und C ist doppelt so groß wie der Altersunterschied zwischen B und A.
Also: c-b=2(b-a)

Unser Ansatz war dann die Aufagaben folgerndermaßen umzustellen:
I. 1a+1b+1c= 200
II. 1a+1b-1c=-60
III. 2a-3b+1c=0

Wegen den ersten beiden hab ich behauptet, dass C 70 Jahre alt sein muss. Aber wie komme ich rechnerisch jetzt mit diesem Gauß-Verfahren weiter?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
LGS mit 3 unbekannten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Do 28.04.2005
Autor: Bastiane

Hallo!
> Asche auf mein Haupt, ich hab in den wohl entscheidenden
> letzten 5 Minuten in der Mathestunde nicht so recht
> aufgepasst.

Tja - und was lernen wir daraus? ;-)

> Wie löst man nach dem Gauß-Verfahren ein lineares
> Gleichungssystem mit 3 Variablen?
>  Die Aufgabe war:
>  
> A, B und C sind zusammen 200 Jahre alt.
>  Daraus folgt: a+b+c=200
>  
> C war vor 60 Jahren genauso alt wie A und B zusammen.
> (heute)
>  --> c-60=a+b

>  
> Die Differenz zwischen B und C ist doppelt so groß wie der
> Altersunterschied zwischen B und A.
>  Also: c-b=2(b-a)
>  
> Unser Ansatz war dann die Aufagaben folgerndermaßen
> umzustellen:
>  I. 1a+1b+1c= 200
>  II. 1a+1b-1c=-60
>  III. 2a-3b+1c=0
>  
> Wegen den ersten beiden hab ich behauptet, dass C 70 Jahre
> alt sein muss. Aber wie komme ich rechnerisch jetzt mit
> diesem Gauß-Verfahren weiter?

Wie kommst du denn auf c=70? Ich erhalte da ganz etwas anderes...
Ich lass mal deine ganzen Einsen als Vorfaktoren weg - die irritieren nur:

I. a+b+c=200
II. a+b-c=-60
III. 2a-3b+c=0

Nun lassen wir die mittlere Gleichung stehen und berechnen I-II und schreiben das anstelle der ersten:
I. 2c=260
II. a+b-c=-60
III. 2a-3b+c=0

Nun lassen wir die ersten beiden Gleichungen stehen und rechnen: III-2*II (und schreiben es anstelle der dritten Gleichung):
I. 2c=260
II. a+b-c=-60
III. -5b+3c=120

Wenn wir es richtig schön nach dem Gauß-Algorithmus haben wollen, müssen wir die Gleichungen noch vertauschen:
a+b-c=-60
-5b+3c=120
2c=260

(am besten schreibst du es so untereinander, dass man sehen kann, dass in der ersten Gleichung noch alle drei Variablen vorkommen, in der zweiten nur noch die letzten beiden und in der letzten nur noch die letzte)

Nun kannst du von unten nach oben auflösen:
c=130
[mm] \Rightarrow [/mm] -5b=120-3*130
[mm] \gdw [/mm] b=54
[mm] \Rightarrow [/mm] a=-60-54+130
[mm] \gdw [/mm] a=16

und schon bist du fertig. :-)

Alles klar? Vielleicht schaust du auch mal hier: MBGauß-Algorithmus. ;-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


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LGS mit 3 unbekannten: Antwort auf Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:25 Do 28.04.2005
Autor: Amy2912

130 hatte ich auch schon mal raus, kam mir aber recht komisch vor. Also komplett bin ich nicht durchgestiegen, aber ich könnte das wohl nach dem Schema jetzt auch lösen. Danke!
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LGS mit 3 unbekannten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:47 Do 28.04.2005
Autor: Bastiane

Hallo!
> 130 hatte ich auch schon mal raus, kam mir aber recht
> komisch vor. Also komplett bin ich nicht durchgestiegen,
> aber ich könnte das wohl nach dem Schema jetzt auch lösen.
> Danke!

Ja, die 130 kam mir auch komisch vor, weil es ja ein Alter sein sollte. Aber als ich alle Werte nachher eingesetzt hatte, waren alle Gleichungen erfüllt, deswegen musste es ja stimmen.
Aber was meinst du denn mit "komplett bin ich nicht durchgestiegen"? Hast du's jetzt verstanden oder nicht? Und solltet ihr das unbedingt mit dem Gauß-Verfahren lösen?
Frag doch ruhig nochmal nach, wenn du was nicht verstehst. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[banane]

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LGS mit 3 unbekannten: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:18 Fr 06.05.2005
Autor: Amy2912

Wie kann man sowas denn sonst lösen? Wir haben Aufgaben bekommen, die ebenfalls aus 3 Gleichungen bestanden.

Eine davon:

I. 7x+3y+8z=35
II. 3x-5y+6z=9
III. 5x-19y+5z=-18

Irgendwie hab ichs versucht, ging aber so absolut nicht....
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LGS mit 3 unbekannten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:05 Fr 06.05.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Amy,

> Wie kann man sowas denn sonst lösen? Wir haben Aufgaben
> bekommen, die ebenfalls aus 3 Gleichungen bestanden.
>  
> Eine davon:
>  
> I. 7x+3y+8z=35
>  II. 3x-5y+6z=9
>  III. 5x-19y+5z=-18
>  

Naja: Wenn Du das Gauß-Verfahren nicht verwenden möchtest, kannst Du Additions-, Einsetz- und Gleichsetzungsverfahren kombinieren
oder auch
das Determinantenverfahren (Cramersche Regel) benutzen.

Letzteres führ' ich hier mal vor:

D = [mm] \vmat{ 7 & 3 & 8 \\ 3 & -5 & 6 \\ 5 & -19 & 5 } [/mm] = 412.

[mm] D_{1} [/mm] = [mm] \vmat{ 35 & 3 & 8 \\ 9 & -5 & 6 \\ -18 & -19 & 5 } [/mm] = 568.

Daher: x = [mm] \bruch{568}{412} [/mm] (Kürzen musst Du selbst!)

[mm] D_{2} [/mm] = [mm] \vmat{ 7 & 35 & 8 \\ 3 & 9 & 6 \\ 5 & -18 & 5 } [/mm] = 804.

Daher: y = [mm] \bruch{804}{412} [/mm] (wie oben!)

[mm] D_{3} [/mm] = [mm] \vmat{ 7 & 3 & 35 \\ 3 & -5 & 9 \\ 5 & -19 & -18 } [/mm] = 1004.

Daher: z = [mm] \bruch{1004}{412} [/mm] (wie oben!)





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LGS mit 3 unbekannten: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:24 Mi 25.10.2006
Autor: chrissy1710

kannst du bitte noch mal schritt für schritt das determinantenverfahren mit drei unbekannten erklären? ich hatte das nie in der mittelstufe und jetzt wird es als bekannt vorrausgesetzt.aber in unserem mathebuch steht nicht drin,wie es funktioniert.das wäre echt super nett und würde mir sehr weiter helfen.danke chrissy
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Bezug
LGS mit 3 unbekannten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 Mi 25.10.2006
Autor: Herby

Hallo chrissy,


und ein herzliches [willkommenmr]



das Verfahren geht so:


[mm] 7x+3y+8z=\red{35} [/mm]
[mm] 3x-5y+6z=\red{9} [/mm]
[mm] 5x-19y+5z=\red{-18} [/mm]


du schreibst die Koeffizienten (das sind die Zahlen vor x,y und z), in eine Determinantenform


D = [mm] \vmat{ 7 & 3 & 8 \\ 3 & -5 & 6 \\ 5 & -19 & 5 } [/mm]


berechnet wird diese nach folgendem Schema:  [guckstduhier] []Regel von Sarrus

daher ist D=412



nun wird (ich habe dir das oben schon rot angemarkert)  x,y und z ermittelt:


dabei ist [mm] x=\bruch{D_1}{D} [/mm]   mit    [mm] D_1=\vmat{ \red{35} & 3 & 8 \\ \red{9} & -5 & 6 \\ \red{-18} & -19 & 5 }=568 [/mm]


es wird die erste [bzw. zweite, dritte] Spalte der Determinante durch die Lösungen der einzelnen Gleichungen (den Lösungsvektor) ersetzt. Analog bei y und z


[mm] y=\bruch{D_2}{D} [/mm]   mit    [mm] D_2=\vmat{ 7 & \red{35} & 8 \\ 3 & \red{9} & 6 \\ 5 & \red{-18} & 5 }=804 [/mm]




[mm] z=\bruch{D_3}{D} [/mm]   mit    [mm] D_3=\vmat{ 7 & 3 & \red{35} \\ 3 & -5 & \red{9} \\ 5 & -19 & \red{-18} }=1004 [/mm]


und so ergibt sich die Lösung :-)



Liebe Grüße
Herby

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Bezug
LGS mit 3 unbekannten: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:37 Sa 07.05.2005
Autor: Amy2912

Also die Zahlen in der breiten Spalte sind klar immer die, die man nicht errechnen möchte. Aber wie kommt man auf das Ergebnis? Wahrscheinlich ist das was für die Oberstufe, in der ich eh noch nicht bin.

Aber wie kann ich das am Einfachsten lösen? Damit es auch für ein Matheallergiker wie mich verständlich ist?
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LGS mit 3 unbekannten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:04 Sa 07.05.2005
Autor: Zwerglein

Hi, Amy,

vereinfacht gesagt: Ihr habt die Cramersche Regel noch nicht gehabt.
Dann also anders:

I.   7x + 3y + 8z = 35
II.  3x - 5y + 6z = 9
III. 5x - 19y + 5z = -18

3*I - 7*II: 9y +35y + 24z - 42z = 105 - 63
IV. 44y - 18z = 42  bzw.  22y - 9z = 21

5*II - 3*III: -25y + 57y + 30z - 15z = 45 + 54
V.  32y + 15z = 99

5*IV + 3*V: 110y + 96y = 105 + 297
206y = 402

y = [mm] \bruch{402}{206} [/mm] =  [mm] \bruch{201}{103} [/mm]
(Ist diesmal gekürzt!)

Setzen wir das in Gleichung IV ein:

[mm] 22*\bruch{201}{103} [/mm] - 9z = 21

oder: 9z = [mm] 22*\bruch{201}{103} [/mm] - 21
Also: z = [mm] \bruch{251}{103} [/mm]
(ebenfalls gekürzt!)

Aus Gleichung II erhalten wir schließlich x:

3x - [mm] 5*\bruch{201}{103} [/mm] +6* [mm] \bruch{251}{103} [/mm] = 9

3x = 9 + [mm] \bruch{1005}{103} [/mm] -  [mm] \bruch{1506}{103} [/mm]

x = [mm] \bruch{927 + 1005 - 1506}{3*103} [/mm]

x = [mm] \bruch{142}{103} [/mm]
(wieder gekürzt!)

Klaro?
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