LGS mit Brüchen < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Löse das lineare Gleichungssystem und gib die Lösungsmenge an:
[mm]x*\bruch{a^2+b^2}{2a} + y*\bruch{a^2-b^2}{2a} = a[/mm]
[mm]x*(\bruch{a^2+b^2}{2a})^2 - y*(\bruch{a^2-b^2}{2a})^2 = b^2 [/mm]
Die Lösungsmenge lautet L={(1;1)}. Geben Sie den Lösungsweg an. |
Jetzt meine Frage:
Wie bekomme ich die Brüche weg?
Mir ist schon aufgefallen, dass die Nenner und die Koeffizienten gleich sind, oben und unten, aba ich weiß nicht wirklich, was ich nun damit anfangen soll.
Von der gegebenen Gleichung ist mein Professor, auf diese gekommen:
[mm] x(a^2+b^2) [/mm] + [mm] y(a^2-b^2)= 2a^2
[/mm]
[mm] x(a^2+b^2)^2 [/mm] - [mm] y(a^2-b^2)^2 [/mm] = [mm] 4a^2b^2
[/mm]
Was hat er gemacht, um von der gegebenen Gleichung auf diese hier zu kommen?
Viele Grüße,
F.
- Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. -
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Mi 03.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Löse das lineare Gleichungssystem und gib die
> Lösungsmenge an:
>
> [mm]x*\bruch{a^2+b^2}{2a} + y*\bruch{a^2-b^2}{2a} = a[/mm]
>
> [mm]x*(\bruch{a^2+b^2}{2a})^2 - y*(\bruch{a^2-b^2}{2a})^2 = b^2[/mm]
>
> Die Lösungsmenge lautet L={(1;1)}. Geben Sie den
> Lösungsweg an.
> Jetzt meine Frage:
>
> Wie bekomme ich die Brüche weg?
> Mir ist schon aufgefallen, dass die Nenner und die
> Koeffizienten gleich sind, oben und unten
Das stimmt aber nicht. Schau nochmal genau hin !
> , aba
aba ? Abba ? aber ?
> ich weiß
> nicht wirklich, was ich nun damit anfangen soll.
>
> Von der gegebenen Gleichung ist mein Professor, auf diese
> gekommen:
>
> [mm]x(a^2+b^2)[/mm] + [mm]y(a^2-b^2)= 2a^2[/mm]
> [mm]x(a^2+b^2)^2[/mm] - [mm]y(a^2-b^2)^2[/mm]
> = [mm]4a^2b^2[/mm]
>
> Was hat er gemacht, um von der gegebenen Gleichung auf
> diese hier zu kommen?
Die erste Gleichung hat er mit 2a durchmultipliziert, die zweite mit [mm] 4a^2
[/mm]
FRED
>
>
> Viele Grüße,
> F.
>
>
>
>
> - Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. -
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Ok. Soweit verstanden. Danach kann ich die Klammern mit x und y ausmultiplizieren und bekomme dadurch diesen längeren Term:
[mm] xa^2+xb^2+ya^2-yb^2=2a^2
[/mm]
[mm] xa^4+xa^2b^2+xb^2a^2+xb^4-ya^4-ya^2b^2-yb^2a^2-yb^4=4a^2b^2
[/mm]
Wie komme ich von diesem dann zur Lösung L{1,1}?
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Hallo Funnybunnygirly,
> Ok. Soweit verstanden. Danach kann ich die Klammern mit x
> und y ausmultiplizieren
Oh, das ist keine gute Idee!
Das macht es meistens nur total unübersichtlich ...
> und bekomme dadurch diesen
> längeren Term:
>
> [mm]xa^2+xb^2+ya^2-yb^2=2a^2[/mm]
>
> [mm]xa^4+xa^2b^2+xb^2a^2+xb^4-ya^4-ya^2b^2-yb^2a^2-yb^4=4a^2b^2[/mm]
>
> Wie komme ich von diesem dann zur Lösung L{1,1}?
Ja, dem Term sieht man nix mehr an ...
Mein Vorschlag:
Addiere das [mm] $(a^2-b^2)$-fache [/mm] der ersten Zeile auf die zweite Zeile.
Dann fällt dort das $y$ weg und du kannst leicht nach $x$ auflösen ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:05 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Funnygirly |
Das habe ich soweit verstanden. Wenn ich nun auf Zeile 2, das [mm] (a^2-b^2)-fache [/mm] der ersten Zeile addiere erhalte ich folgenden Term:
[mm] x(a^2+b^2)*(a^2+b^2)+x(a^2+b^2)*(a^2-b^2)=4a^2b^2+2a^2*(a^2-b^2)
[/mm]
gekürzt komme ich am Ende auf [mm] x=a^2+1
[/mm]
Wie rechne ich nun weiter?
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weiter ginge es dann mit
[mm] 2x(a^2+b^2)=2a^2(a^2-b^2)+4a^2b^2 [/mm]
das ganze geteilt durch 2 ist:
[mm] x(a^2+b^2)=a^2(a^2-b^2)+2a^2b^2 [/mm]
ab hier fällt mir auf das ich mich etwas vertan habe, komme aber gerade auch nicht weiter.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:15 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Dann rechne hier bitte schritt- bzw. zeilenweise vor.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Mi 03.07.2013 | | Autor: | Funnygirly |
nachdem ich durch 2 geteilt habe erhalte ich
[mm] x(a^2+b^2)=a^2(a^2-b^2)+2a^2b^2
[/mm]
ausmultipliziert ergibt das:
[mm] xa^2+xb^2=a^4-a^2b^2+2a^2b^2
[/mm]
[mm] xa^2+xb^2=a^4+a^2b^2
[/mm]
ab hier weiß ich dann nichtmehr weiter...
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nachdem ich durch 2 geteilt habe erhalte ich
$ [mm] x(a^2+b^2)=a^2(a^2-b^2)+2a^2b^2 [/mm] $
ausmultipliziert ergibt das:
$ [mm] xa^2+xb^2=a^4-a^2b^2+2a^2b^2 [/mm] $
$ [mm] xa^2+xb^2=a^4+a^2b^2 [/mm] $
ab hier weiß ich dann nicht mehr weiter...
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> [mm]xa^2+xb^2=a^4+a^2b^2[/mm]
Hallo,
hier kannst Du links x und rechts [mm] a^2 [/mm] ausklammern.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 09:58 Do 04.07.2013 | | Autor: | Funnygirly |
Ok. Weitergerechnet komme ich dann auf
[mm] xa^2+b^2=a^4+a^2b^2 [/mm] =>
[mm] x(a^2+b^2)= a^2(a^2+b^2)
[/mm]
geteilt durch [mm] (a^2+b^2)ergibt [/mm]
[mm] x=a^2
[/mm]
Wie komme ich nun weiter zur Lösungsmenge L={1/1}?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:02 Do 04.07.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
Siehe unten. Dein Fehler liegt schon vorher beim Zusammenfassen nach der Addition der beiden Gleichungen.
Daher hatte ich Dich auch gebeten, Deine Rechnung schrittweise aufzuschreiben.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:18 Do 04.07.2013 | | Autor: | Funnygirly |
Also nochmal ab Addition des [mm] (a^2-b^2) [/mm] -fachen der ersten auf die zweite Gleichung:
[mm] x(a^2+b^2)*(a^2+b^2)+x(a^2+b^2)*(a^2-b^2)=4a^2b^2+2a^2(a^2-b^2)
[/mm]
hatte dies gestern zu
[mm] 2x(a^2+b^2) [/mm] = [mm] 2a^2(a^2-b^2)+4a^2b^2 [/mm]
zusammengefasst. Ist das soweit richtig?!
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:26 Do 04.07.2013 | | Autor: | Funnygirly |
Also nochmal ab Addition des $ [mm] (a^2-b^2) [/mm] $ -fachen der ersten auf die zweite Gleichung:
$ [mm] x(a^2+b^2)\cdot{}(a^2+b^2)+x(a^2+b^2)\cdot{}(a^2-b^2)=4a^2b^2+2a^2(a^2-b^2) [/mm] $
hatte dies gestern zu
$ [mm] 2x(a^2+b^2) [/mm] $ = $ [mm] 2a^2(a^2-b^2)+4a^2b^2 [/mm] $
zusammengefasst. Ist das soweit richtig?!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 Do 04.07.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Funnygirly!
Nein, das ist nicht richtig zusammengefasst.
Bitte rechne schrittweise vor!
Gruß
Loddar
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[mm] x(a^2+b^2)\cdot{}(a^2+b^2)+x(a^2+b^2)\cdot{}(a^2-b^2)=4a^2b^2+2a^2(a^2-b^2)
[/mm]
1. Schritt:
Ich fasse den ersten Teil
[mm] x(a^2+b^2)*(a^2+b^2) [/mm]
zu
[mm] x(a^2+b^2)^2 [/mm] zusammen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:45 Do 04.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
>
> [mm]x(a^2+b^2)\cdot{}(a^2+b^2)+x(a^2+b^2)\cdot{}(a^2-b^2)=4a^2b^2+2a^2(a^2-b^2)[/mm]
>
> 1. Schritt:
> Ich fasse den ersten Teil
> [mm]x(a^2+b^2)*(a^2+b^2)[/mm]
> zu
> [mm]x(a^2+b^2)^2[/mm] zusammen
>
Das kannst du sicher tun, eleganter wäre es, x auszuklammern, das ist dir auch schon mehrfach vorgeschlagen worden.
[mm]x(a^2+b^2)\cdot{}(a^2+b^2)+x(a^2+b^2)\cdot{}(a^2-b^2)=4a^2b^2+2a^2(a^2-b^2)[/mm]
[mm]\Leftrightarrow x\cdot((a^2+b^2)\cdot{}(a^2+b^2)+(a^2+b^2)\cdot{}(a^2-b^2))=4a^2b^2+2a^2(a^2-b^2)[/mm]
[mm]\Leftrightarrow x\cdot(a^2+b^2)\cdot((a^2+b^2)+(a^2-b^2))=4a^2b^2+2a^2(a^2-b^2)[/mm]
[mm]\Leftrightarrow x\cdot(a^2+b^2)\cdot2a^2=4a^2b^2+2a^2(a^2-b^2)[/mm]
Marius
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Ok danke, das hat mir jetzt schonmal etwas geholfen, jetzt gehe ich von deiner letzten Zeile aus weiter:
[mm] x(a^2+b^2)*2a^2=4a^2b^2+2a^2(a^2-b^2)
[/mm]
und würde das ganze durch [mm] 2a^2 [/mm] teilen.
[mm] x(a^2+b^2)= 2a^2b^2+(a^2-b^2)
[/mm]
stimmt das so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:11 Do 04.07.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Ok danke, das hat mir jetzt schonmal etwas geholfen, jetzt
> gehe ich von deiner letzten Zeile aus weiter:
>
> [mm]x(a^2+b^2)*2a^2=4a^2b^2+2a^2(a^2-b^2)[/mm]
>
> und würde das ganze durch [mm]2a^2[/mm] teilen.
Guter Plan
>
> [mm]x(a^2+b^2)= 2a^2b^2+(a^2-b^2)[/mm]
>
> stimmt das so?
Rechts steht nur noch [mm] 2b^{2}+a^{2}-b^{2}
[/mm]
Das kannst du noch zusammenfassen, und dann solltest du die Lösung x=1 quasi schon durch scharfes Hinsehen ermitteln können.
Marius
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> weiter ginge es dann mit
>
> [mm]2x(a^2+b^2)=2a^2(a^2-b^2)+4a^2b^2[/mm]
Hallo,
nein.
Es wäre hilfreich - auch für Dich!-, würdest Du die vorhergehende Zeile mit angeben.
Diese lautete:
> > > > [mm] x(a^2+b^2)\cdot{}(a^2+b^2)+x(a^2+b^2)\cdot{}(a^2-b^2)=4a^2b^2+2a^2\cdot{}(a^2-b^2) [/mm]
Wenn Du von hier aus schrittweise, langsam und gründlich rechnest, siehst Du Deinen Fehler.
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Do 04.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Löse das lineare Gleichungssystem und gib die
> Lösungsmenge an:
>
> [mm]x*\bruch{a^2+b^2}{2a} + y*\bruch{a^2-b^2}{2a} = a[/mm]
>
> [mm]x*(\bruch{a^2+b^2}{2a})^2 - y*(\bruch{a^2-b^2}{2a})^2 = b^2[/mm]
>
> Die Lösungsmenge lautet L={(1;1)}.
Das stimmt aber im Falle [mm] a^2=b^2 [/mm] nicht. Zunächst ist klar, dass a [mm] \ne [/mm] 0 sein soll.
Im Falle [mm] a^2=b^2 [/mm] reduziert sich das LGS auf die Gleichung xa=a.
Damit ist in diesem Falle jedes Paar (1;y) Lösung des LGS.
> Geben Sie den
> Lösungsweg an.
> Jetzt meine Frage:
>
> Wie bekomme ich die Brüche weg?
> Mir ist schon aufgefallen, dass die Nenner und die
> Koeffizienten gleich sind, oben und unten, aba ich weiß
> nicht wirklich, was ich nun damit anfangen soll.
>
> Von der gegebenen Gleichung ist mein Professor, auf diese
> gekommen:
>
> [mm]x(a^2+b^2)[/mm] + [mm]y(a^2-b^2)= 2a^2[/mm]
> [mm]x(a^2+b^2)^2[/mm] - [mm]y(a^2-b^2)^2[/mm]
> = [mm]4a^2b^2[/mm]
>
> Was hat er gemacht, um von der gegebenen Gleichung auf
> diese hier zu kommen?
Das hatten wir oben schon.
Wir müssen nur noch den Fall [mm] a^2 \ne b^2 [/mm] behandeln.
Wir setzen [mm] u:=a^2+b^2 [/mm] unb v:= [mm] a^2-b^2.
[/mm]
Wir erhlten das LGS
(I) xu+yv=u+v
(II) [mm] xu^2-yv^2=u^2-v^2
[/mm]
Wir multiplizieren (I) mit u und bekommen:
(III) [mm] xu^2+yuv=u^2+uv
[/mm]
Die Differenz (II)-(III) liefert:
[mm] y(uv+v^2)=uv+v^2
[/mm]
Nun ist [mm] uv+v^2=0 \gdw [/mm] a=0 oder [mm] a^2=b^2. [/mm] Beides ist nicht der Fall, folglich haben wir
y=1.
Jetzt mach Du mal weiter, um auf x=1 zu kommen.
FRED
>
>
> Viele Grüße,
> F.
>
>
>
>
> - Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt. -
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Bis hierher stimmt es.
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]"){kind=small}
