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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:08 Fr 20.02.2009 | | Autor: | uniklu |
| Aufgabe | [mm] \lambda [/mm] x + y + z = 1
x + [mm] \lambda [/mm] y + z = [mm] \lambda
[/mm]
x + y + [mm] \lambda [/mm] z = [mm] \lambda^2
[/mm]
Für welche Werte von [mm] \lambda [/mm] ist das System unlösbar, eindeutig lösbar, universell lösbar. Im Falle der Lösbarkeit berechne die Lösungsmenge |
Als Koeffizientenmatrix verwenden:
[mm] \pmat{ \lambda&1&1&1 \\ 1&\lambda&1&\lambda \\ 1&1&\lambda&\lambda^2}
[/mm]
1. und 2. Zeile tauschen
[mm] \pmat{1&\lambda&1&\lambda \\ 0&1-\lambda^2&1-\lambda&1-\lambda \\ 0&1-\lambda&\lambda - 1&\lambda^2 - 1}
[/mm]
II = II - I * [mm] \lambda
[/mm]
III = III - I
III = III * (-1)*(1 + [mm] \lambda) [/mm] + II
[mm] \pmat{1&\lambda&1&\lambda \\ 0&1-\lambda^2&1-\lambda&1-\lambda \\ 0&0&-(1 + \lambda)(\lambda - 1) + (1 - \lambda)&(1-\lambda)-(1 + \lambda)*(\lambda^2 - 1)}
[/mm]
Offensichtlich ist die Lösung des LGS 2-Parametrig!
jetzt kommt bei mir der knackpunkt der aufgabe:
ich untersuche nun
a) -(1 + [mm] \lambda)(\lambda [/mm] - 1) + (1 - [mm] \lambda) [/mm]
und
b) [mm] (1-\lambda)-(1 [/mm] + [mm] \lambda)*(\lambda^2 [/mm] - 1)
ich setze also GL a) und GL b) 0
-(1 + [mm] \lambda)(\lambda [/mm] - 1) + (1 - [mm] \lambda) [/mm] = 0
[mm] (1-\lambda)-(1 [/mm] + [mm] \lambda)*(\lambda^2 [/mm] - 1) = 0
ad a) (1 - [mm] \lambda) [/mm] * [1 + (1 + [mm] \lambda)] [/mm] = 0
durch die umformung sieht man sofort dass [mm] \lambda_1 [/mm] = 1 und [mm] \lambda_2 [/mm] = -1, damit gleichung erfüllt - ich betrachte beide terme separat
ad b) [mm] (1-\lambda)-(1 [/mm] + [mm] \lambda)*(\lambda^2 [/mm] - 1) = 0
[mm] (1-\lambda)*[1+(1+\lambda)^2] [/mm] = 0
=> [mm] \lambda_1 [/mm] = 1
[mm] \lambda_2,3 [/mm] = -1 +- [mm] \sqrt(1-2) \notel\ \IR
[/mm]
so bis hier hin verstehe ich alles.
warum fällt nun [mm] \lambda_1 [/mm] = 1 bei a) weg?
warum ist [mm] \lambda [/mm] = -2 keine lösung und ein widerspruch zu a)?
wie sieht die form der lösung aus? bzw warum so?
FORM: ( [mm] (-1-\lambda)/(2+\lambda), (1)/(2+\lambda), (1+2\lambda [/mm] + [mm] \lambda^2)/(2 [/mm] + [mm] \lambda) [/mm] )
wie gesagt ich habe diese musterlösung, aber wie man auf den unteren teil kommt ist mir ein rätsel.
Außerdem stellt sich mir die Frage auf welche Form ich die Koeffizientenmatrix bringen muss. Gauß Jordan Form ist es wohl nicht.
vielen dank für jede Hilfe!
mfg
crosspost:
http://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=118338
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Fr 20.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Wieder eine Musterlösung, bei der sich der Autor nichts gedacht hat !
Ich habe sie mir nicht komplett angesehen, denn:
Es geht einfacher:
Man sieht leicht, dass die Determinante von
$ [mm] \pmat{ \lambda&1&1 \\ 1&\lambda&1 \\ 1&1&\lambda} [/mm] $
ganau dann [mm] \not= [/mm] 0 ist, wenn [mm] \lambda \not= [/mm] 1 und [mm] \lambda \not= [/mm] -2 ist. In diesem Fall ist das LGS eindeutig lösbar.
Im Falle [mm] \lambda [/mm] = 1 sieht man so umgehend wie geschwind:
Das LGS ist mehrdeutig lösbar und die Lösungsmenge kann man auch sofort hinschreiben.
Im Falle [mm] \lambda [/mm] = -2 sieht man ebenso so umgehend wie geschwind:
Das LGS ist unlösbar
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:15 Fr 20.02.2009 | | Autor: | uniklu |
Hallo!
In diesem Fall haben wir noch nichts mit Determinanten gerechnet -> es ist also so wie in der Musterlösung vorzugehen (hätte ich vielleich erwähnen sollen).
Nun ich finde das ganze trotzdem verwirrend. weil normalerweise - nach gauß jordan sollte jede zeile eine führende 1 haben. im fall der 2ten zeile haben wir jedoch ( [mm] 1-\lambda^2 [/mm] )
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> Nun ich finde das ganze trotzdem verwirrend. weil
> normalerweise - nach gauß jordan sollte jede zeile eine
> führende 1 haben. im fall der 2ten zeile haben wir jedoch (
> [mm]1-\lambda^2[/mm] )
Hallo,
für [mm] \lambda\not=\pm [/mm] 1 kannst Du die 1 ja schnell bekommen, indem Du durch [mm] 1-\lambda^2 [/mm] dividierst.
Die Fälle [mm] \lambda=1 [/mm] und [mm] \lambda=-1 [/mm] müßtest Du dann anschließend gesondert untersuchen.
Gruß v. Angela
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Hallo uniklu,
du hast dich unterwegs verrechnet und kannst "geschickter" zusammenfassen, dann kannst du die Bedingung(en) für Lösbarkeit ablesen:
> [mm]\lambda[/mm] x + y + z = 1
> x + [mm]\lambda[/mm] y + z = [mm]\lambda[/mm]
> x + y + [mm]\lambda[/mm] z = [mm]\lambda^2[/mm]
>
> Für welche Werte von [mm]\lambda[/mm] ist das System unlösbar,
> eindeutig lösbar, universell lösbar. Im Falle der
> Lösbarkeit berechne die Lösungsmenge
> Als Koeffizientenmatrix verwenden:
> [mm]\pmat{ \lambda&1&1&1 \\ 1&\lambda&1&\lambda \\ 1&1&\lambda&\lambda^2}[/mm]
>
>
> 1. und 2. Zeile tauschen
>
> [mm]\pmat{1&\lambda&1&\lambda \\ 0&1-\lambda^2&1-\lambda&1-\lambda \\ 0&1-\lambda&\lambda - 1&\lambda^2 - 1}[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
In der 2.Zeile muss am Ende [mm] $1-\lambda^2$ [/mm] stehen
>
> II = II - I * [mm]\lambda[/mm]
> III = III - I
>
>
> III = III * (-1)*(1 + [mm]\lambda)[/mm] + II
> [mm]\pmat{1&\lambda&1&\lambda \\ 0&1-\lambda^2&1-\lambda&1-\lambda \\ 0&0&-(1 + \lambda)(\lambda - 1) + (1 - \lambda)&(1-\lambda)-(1 + \lambda)*(\lambda^2 - 1)}[/mm]
In der letzten Zeile kannst du linkerhand zusammenfassen zu [mm] $(\lambda+2)(1-\lambda)$
[/mm]
Rechterhand ist ein Fehler, dort sollte stehen [mm] $(\lambda+1)(1-\lambda^2)$
[/mm]
Also als Zeilenstufenform:
[mm] $\pmat{1&\lambda&1&\mid&\lambda\\0&1-\lambda^2&1-\lambda&\mid&1-\lambda^2\\0&0&(\lambda+2)(1-\lambda)&\mid&(\lambda+1)(1-\lambda^2)}$
[/mm]
Und hier kannst du nun die Lösbarkeit in Abh. von [mm] \lambda [/mm] ablesen - vgl. Freds Werte ...
LG
schachuzipus
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