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Forum "Lineare Gleichungssysteme" - LGS mit mehr unbekannten
LGS mit mehr unbekannten < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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LGS mit mehr unbekannten: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:38 Fr 16.11.2012
Autor: prinzessin258

Aufgabe
Leichtes LGS:
4x + y - z = 4
8x + 2y -2z = 8

Ich habe leider die Gleichungssysteme mit mehreren unbekannten als Gleichungen immer noch nicht verstanden.

Wenn ich jetzt II - 2*I habe ich:
4x + y - z = 4
-2z = 0

wie gehts jetzt weiter?

Danke für Hilfe,lg


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
LGS mit mehr unbekannten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:44 Fr 16.11.2012
Autor: reverend

Hallo Prinzessin,


> Leichtes LGS:
>  4x + y - z = 4
>  8x + 2y -2z = 8
>  Ich habe leider die Gleichungssysteme mit mehreren
> unbekannten als Gleichungen immer noch nicht verstanden.
>
> Wenn ich jetzt II - 2*I habe ich:
>  4x + y - z = 4
>  -2z = 0

Nein, das stimmt nicht. Bei II-2*I kommt 0=0 heraus.
Die zweite Gleichung ist doch genau das Doppelte der ersten, oder hast Du Dich oben vertippt?

> wie gehts jetzt weiter?

Wenn die Gleichungen so stimmen, wie Du sie eingegeben hast, geht nicht mehr viel weiter. Dann bleibt ja nur eine Gleichung für die drei Variablen übrig. Du kannst Dir also zwei Variablen beliebig als Parameter wählen, z.B. [mm] y=\lambda [/mm] und [mm] z=\mu. [/mm]

Dann ist [mm] x=1-\bruch{1}{4}\lambda+\bruch{1}{4}\mu [/mm]

Und damit wärst Du fertig.

Grüße
reverend

Bezug
                
Bezug
LGS mit mehr unbekannten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:07 Fr 16.11.2012
Autor: prinzessin258

Aufgabe
2x1 - 3x2 - x3 -x4 + x5 = 1
            x3 -2x4 -x5= -8
           -x3 +x4 -2x5= 12

Oje sorry, nein nicht vertippt aber beim Rechnen falsch abgeschrieben.

Ok das war jetzt doch zu leicht.

Ich verstehe das mit den Parameter frei wählen nicht.
Habe jetzt ein anderes beispiel gesucht.

Wie starte ich da am besten?
Bezug
                        
Bezug
LGS mit mehr unbekannten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:21 Fr 16.11.2012
Autor: M.Rex

Hallo

Hier kannst du das ganze auf mehrere Arten angehen.

Variante 1:

[mm] $\begin{vmatrix}2x_1 - 3x_2 - x_3 -x_4 + x_5 = 1\\x_3 -2x_4 -x_5= -8 \\-x_3 +x_4 -2x_5= 12\end{vmatrix} [/mm] $

Setze nun [mm] x_{1}=\lambda [/mm] und [mm] x_{2}=\mu, [/mm] dann wird aus:

[mm] $\begin{vmatrix}2x_1 - 3x_2 - x_3 -x_4 + x_5 = 1\\x_3 -2x_4 -x_5= -8 \\-x_3 +x_4 -2x_5= 12\end{vmatrix} [/mm] $
das LGS:
[mm] $\begin{vmatrix}- x_3 -x_4 + x_5 = 1-2\lambda+3\mu\\x_3 -2x_4 -x_5= -8 \\-x_3 +x_4 -2x_5= 12\end{vmatrix} [/mm] $

Hier hast du relativ wenige Parameter in den Ausgangsgleichungen

Nun kannst du den MBGauß-Algorithmus (alternative Erklärung bei []Arndt Brünner) anwenden.

Variante 2:

Wähle einen der Parameter [mm] x_{1} [/mm] oder [mm] x_{2} [/mm] mit einem Parameter und einen aus der Menge [mm] x_{3}, x_{4}, x_{5}. [/mm]
Nehmen wir z.B. [mm] x_{1}=\nu [/mm] und [mm] x_{5}=\rho [/mm]
Dann wird
[mm] $\begin{vmatrix}2x_1 - 3x_2 - x_3 -x_4 + x_5 = 1\\x_3 -2x_4 -x_5= -8 \\-x_3 +x_4 -2x_5= 12\end{vmatrix} [/mm] $
zu

[mm] $\begin{vmatrix}- 3x_2 - x_3 -x_4 = 1-2\nu-\rho\\x_3 -2x_4 = \rho-8 \\-x_3 +x_4 = 2\rho+12\end{vmatrix} [/mm] $

Der Vorteil hier ist, dass du hier nur noch die letzen beiden Gleichungen in Zeilenstufenform bringen musst, du musst also nur noch in der dritten Zeile das [mm] x_3 [/mm] eliminieren.


Da zwei Variablen nur in der ersten Gleichung vorkommen, musst du mindestens eine dieser Variablen in Parameter wandeln.

Wenn du beide Parameter in die Menge [mm] x_{3}, x_{4} [/mm] und [mm] x_{5} [/mm] legst, bekommst du dann zwei Gleichungen, mit der übriggebliebenen Variable.

Marius

Marius

Bezug
                                
Bezug
LGS mit mehr unbekannten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:12 Di 20.11.2012
Autor: prinzessin258

Hallo Marius, danke für deine Antwort. Ich habe mich auch für Variante 2 entschieden.
Habe für x1 = r und für x5 = s genommen

und bekomme für
x2 = 2/3r +6s -31/3
x3= -5s -16
x4= -3s-4
heraus.

ABER: und jetzt ist das wo ich mich nicht auskenne. Wenn ich jetzt für x1 = r und x2 = s nehme, bekomme ich vollkommen andere Ergebnisse heraus. Ich konnte auch dieses Gleichungssystem in eine schöne Stufenform bringen.
Wie kann das möglich sein?

Danke und lg
Bezug
                                        
Bezug
LGS mit mehr unbekannten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:28 Di 20.11.2012
Autor: reverend

Hallo Prinzessin,

> Hallo Marius, danke für deine Antwort. Ich habe mich auch
> für Variante 2 entschieden.
>  Habe für x1 = r und für x5 = s genommen
>
> und bekomme für
> x2 = 2/3r +6s -31/3
>  x3= -5s -16
>  x4= -3s-4
>  heraus.

Das habe ich nicht nachgerechnet, aber Du kannst ja leicht eine Probe machen.

> ABER: und jetzt ist das wo ich mich nicht auskenne. Wenn
> ich jetzt für x1 = r und x2 = s nehme, bekomme ich
> vollkommen andere Ergebnisse heraus. Ich konnte auch dieses
> Gleichungssystem in eine schöne Stufenform bringen.
>  Wie kann das möglich sein?

Du hast doch nur 3 linear unabhängige Gleichungen für 5 Unbekannte. Also kannst Du Dir hier irgendwelche zwei Unbekannten frei wählen.

Das geht nicht immer so beliebig, sondern hängt von den Gleichungen ab.
Wenn Du die 5 Variablen a,b,c,d,e hast und die drei Gleichungen
c+e=0
c+d=2
d+e=0
..., dann sind c,d,e eindeutig bestimmt und a,b frei wählbar - die kommen ja auch gar nicht im Gleichungssystem vor.
Lauten die Gleichungen aber
a+c+e=0
b+c+d=2
d+e=0
..., dann ist das wieder ein Fall, wo Du Dir einfach zwei Variablen aussuchen darfst, die Du als Parameter wählst.

Grüße
reverend

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Bezug
LGS mit mehr unbekannten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:30 Mi 21.11.2012
Autor: prinzessin258

Alles klar,
danke für Deine Hilfe :)

glg
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