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LGS nach Gauss: komische Ergebnisse
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:16 Fr 05.11.2004
Autor: Anis

Kann mir bitte jemand mal das folgende Gleichungssystem ausführlich vorrechnen, bei mir kommen da so merkwürkdige Werte raus. Ist eigentlich doch ein sehr simples LGS, sodass meine Werte wahrscheinlich falsch sind.

     2x1 - 4x2 + 5x3 = 3
     3x1 + 3x2 + 7x3= 13
     4x1 - 2x2 - 3x3 = -1

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
LGS nach Gauss: eigene Lösungsschritte
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:14 Fr 05.11.2004
Autor: informix

Hallo Anis,
> Kann mir bitte jemand mal das folgende Gleichungssystem
> ausführlich vorrechnen, bei mir kommen da so merkwürkdige
> Werte raus.

nein, so haben wir nicht gewettet ;-)
Bitte zeige uns hier deine Rechenschritte, damit wir sehen können, bei welchem dir ein Fehler unterlaufen ist, den wir dann gemeinsam korrigieren.

> Ist eigentlich doch ein sehr simples LGS,
> sodass meine Werte wahrscheinlich falsch sind.
>  
>       [mm]2x_1 - 4x_2 + 5x_3 = 3[/mm]
>       [mm] $3x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 7x_3= [/mm] 13$
>       [mm] $4x_1 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 3x_3 [/mm] = -1$
>  

.. und benutze bitte unseren Formeleditor.



Bezug
                
Bezug
LGS nach Gauss: Rechenschritte
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:19 Fr 05.11.2004
Autor: Anis

na schööön, hier also meine peinlich falsche rechnung ;o)
   [mm] 2x_1 [/mm] - [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 5x_2 [/mm] = 3
   [mm] 3x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 7x_3= [/mm] 13
   [mm] 4x_1 [/mm] - [mm] 2x_2 [/mm] - [mm] 3x_3= [/mm] -1        III - 2I

    [mm] 2x_1 [/mm] - [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 5x_2 [/mm] = 3
   [mm] 3x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 7x_3 [/mm] = 13    III - 2II
               [mm] 6x_2 [/mm] - [mm] 13x_3 [/mm] = -33

    [mm] 2x_1 [/mm] - [mm] 4x_2 [/mm] + [mm] 5x_2 [/mm] = 3
    [mm] 3x_1 [/mm] + [mm] 3x_2 [/mm] + [mm] 7x_3 [/mm] = 13    2II - 3I
                        [mm] -27x_3 [/mm] = -33 <=>
                             [mm] x_3 [/mm] = 11/9


                             [mm] x_3 [/mm] = 11/9
                     [mm] 18x_2 [/mm]     = 18 2/9


usw. hier hab ich nicht mehr weitergerechnet, weil unser lehrer meinte, es kämen glatte werte heraus...
Also, was hab ich falsch gemacht? *schulterzuck*
    
    


  

Bezug
                        
Bezug
LGS nach Gauss: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 Fr 05.11.2004
Autor: informix

Hallo Anis,
> na schööön, hier also meine peinlich falsche rechnung ;o)

nana, jeder macht mal Fehler ...

>     [mm]2x_1[/mm] - [mm]4x_2[/mm] + [mm]5x_2[/mm] = 3
>     [mm]3x_1[/mm] + [mm]3x_2[/mm] + [mm]7x_3=[/mm] 13
>     [mm]4x_1[/mm] - [mm]2x_2[/mm] - [mm]3x_3=[/mm] -1        III - 2I
>  
> [mm]2x_1[/mm] - [mm]4x_2[/mm] + [mm]5x_2[/mm] = 3
>     [mm]3x_1[/mm] + [mm]3x_2[/mm] + [mm]7x_3[/mm] = 13    III - 2II
>                 [mm]6x_2[/mm] - [mm]13x_3[/mm] = -33 [notok]

hier steckt mindestens der erste Fehler!

>  
> [mm]2x_1[/mm] - [mm]4x_2[/mm] + [mm]5x_2[/mm] = 3
>      [mm]3x_1[/mm] + [mm]3x_2[/mm] + [mm]7x_3[/mm] = 13    2II - 3I
>                          [mm]-27x_3[/mm] = -33 <=>   und wie kommst du hierauf?
> [mm]x_3[/mm] = 11/9
>  
>
> [mm]x_3[/mm] = 11/9
>                       [mm]18x_2[/mm]     = 18 2/9
>  
>
> usw. hier hab ich nicht mehr weitergerechnet, weil unser
> lehrer meinte, es kämen glatte werte heraus...
>  Also, was hab ich falsch gemacht? *schulterzuck*
>      

ich rechne jetzt mal selbst weiter - aber vielleicht findest du schon das richtige Ergebnis?


Bezug
                        
Bezug
LGS nach Gauss: Lösung mit Rechnug
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Sa 06.11.2004
Autor: Viviane

Hallo,

da es bis jetzt keiner gemacht hat, werde ich Dir das ganze vorrechnen. Ist gar nicht so schwer!

Du hast erstmal die drei Gleichungen:
I. [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] 4x_{2} [/mm] + [mm] 5x_{3} [/mm] = 3
II. [mm] 3x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + [mm] 7x_{3} [/mm] = 13
III. [mm] 4x_{1} [/mm] - [mm] 2x_{2} [/mm] - [mm] 3x_{3} [/mm] = -1

___________________________________________________________

Die Gleichung I. lässt Du immer stehen:
I. [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] 4x_{2} [/mm] + [mm] 5x_{3} [/mm] = 3

Da Du bei der II. Gleichung [mm] x_{1} [/mm] 0 haben musst, rechnest Du so weiter:
3I. - 2II.
==>
[mm] 0x_{1} [/mm] - [mm] 18x_{2} [/mm] + [mm] 1x_{3} [/mm] = -17

Bei der Gleichung III. musst Du am Schluss für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] auch 0 rausbekommen. Aber erstmal [mm] x_{1} [/mm] so ausrechnen, dass es Null wird:
4II. - 3III.
==>
[mm] 0x_{1} [/mm] + [mm] 18x_{2} [/mm] + [mm] 37x_{3} [/mm] = 55


Du hast jetzt also folgende Gleichungen:
I. [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] 4x_{2} [/mm] + [mm] 5x_{3} [/mm] = 3
II. [mm] 0x_{1} [/mm] - [mm] 18x_{2} [/mm] + [mm] 1x_{3} [/mm] = -17
III. [mm] 0x_{1} [/mm] + [mm] 18x_{2} [/mm] + [mm] 37x_{3} [/mm] = 55
___________________________________________________________

Der nächste Schritt wäre: I. und II. lässt Du stehen. Jetzt musst Du nur noch gucken, dass Du bei der III. Gleichung [mm] x_{2} [/mm] auch auf 0 kommst:

Stehen lassen:
I. [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] 4x_{2} [/mm] + [mm] 5x_{3} [/mm] = 3
II. [mm] 0x_{1} [/mm] - [mm] 18x_{2} [/mm] + [mm] 1x_{3} [/mm] = -17

Bei III. rechnest Du so:
II.+III.
==>
III. [mm] 0x_{1} [/mm] + [mm] 0x_{2} [/mm] + [mm] 38x_{3} [/mm] = 38
___________________________________________________________

Jetzt hast Du die folgenden Gleichungen:
I. [mm] 2x_{1} [/mm] - [mm] 4x_{2} [/mm] + [mm] 5x_{3} [/mm] = 3
II. [mm] 0x_{1} [/mm] - [mm] 18x_{2} [/mm] + [mm] 1x_{3} [/mm] = -17
III. [mm] 0x_{1} [/mm] + [mm] 0x_{2} [/mm] + [mm] 38x_{3} [/mm] = 38
___________________________________________________________

Jetzt brauchst Du nur noch einsetzen:

[mm] x_{3}: 38x_{3} [/mm] = 38  |/38
            [mm] x_{3} [/mm] = 1

[mm] x_{3} [/mm] in II.: [mm] -18x_{2} [/mm] + 1 = -17  |-1
                    [mm] -18x_{2} [/mm] = -18  |/(-18)
                            [mm] x_{2} [/mm] = 1

[mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{3} [/mm] in I.: [mm] 2x_{1} [/mm] - 4 + 5 = 3
                                     [mm] 2x_{1} [/mm] + 1 = 3  | -1
                                     [mm] 2x_{1} [/mm] = 2  |/2
                                       [mm] x_{1} [/mm] = 1

So und schon bist Du fertig.
Ein kleiner Tipp noch: Wenn Du sowas rechnest, rechne das in einer Tabelle, indem Du oben die Buchstaben hinschreibst, ganz links die Gleichung bezeichnest (I.,II.,III.) dann unter den jeweiligen Buchstaben, die dazugehörige Zahl (beachten, dass Du die Vorzeichen mitnimmst), ziehst dann ganz rechts eine Linie und schreibst dann die Ergebnisse der jeweiligen Gleichung hin.
Das ist viel einfacher als, wenn man die Buchstaben mit in die Gleichung setzt!

Ich hoffe ich habe Dir geholfen!!!
Viel Glück beim Weiteren Rechnen mit Gauß!!!

Liebe Grüße

Viviane
                    

Bezug
        
Bezug
LGS nach Gauss: Lösung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:49 Fr 05.11.2004
Autor: Bastiane

Sorry, ich sehe gerade, dass schon jemand anders schneller war als ich. Aber da ich nicht weiß, was er dir antworten wird, schreibe ich trotzdem was, aber nur kurz.
Also es muss rauskommen [mm] x_1=x_2=x_3=1. [/mm]
Ich habe mich auch zuerst verrechnet und erst als mein Computer mir die richtige Lösung berechnet hatte, habe ich es noch einmal versucht und dann kam es hin.
Vielleicht hast du dich irgendwo bei den Vorzeichen verrechnet, schreib es am besten ganz ausführlich hin.
Die ersten zwei Schritte hatte ich übrigens genauso gemacht wie du, aber danach kannst du die 3. Zeile in einem Schritt auf Null bekommen, also die erste Zahl 0.

Viele Grüße
Bastiane
[banane]


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